数学一轮复习高考帮第14章推理与证明数学文.docx
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数学一轮复习高考帮第14章推理与证明数学文
第十四章 推理与证明
题组1 合情推理与演绎推理
1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位:
米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位:
次)
63
a
75
60
63
72
70
a-1
b
65
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛
B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛
D.9号学生进入30秒跳绳决赛
2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(i)男学生人数多于女学生人数;
(ii)女学生人数多于教师人数;
(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .
②该小组人数的最小值为 .
3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:
(sin)-2+(sin)-2=×1×2;
(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2=×2×3;
(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×3×4;
(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2=×4×5;
……
照此规律,(sin)-2+(sin)-2+(sin)-2+…+(sin)-2= .
4.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
……
据此规律,第n个等式可为 .
5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
6.[2014福建,15,4分]若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= .
图14-1
8.[2014陕西,14,5分][文]已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为 .
9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.
图14-2
(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是 ;
(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).
题组2 直接证明与间接证明
10.[2017北京,20,13分]设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}
(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.
(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;
(Ⅱ)证明:
或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:
(Ⅰ)f(x)≥1-x+x2;
(Ⅱ) 12.[2013北京,20,13分]已知{an}是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. (Ⅰ)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值; (Ⅱ)设d是非负整数.证明: dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列; (Ⅲ)证明: 若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. A组基础题 1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b(k,b∈R,k≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值: f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0).利用这一方法,m=的近似代替值( ) A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定 2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说: 丙被录用了;乙说: 甲被录用了;丙说: 我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A.丙被录用了B.乙被录用了 C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了 3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33+43=()2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=( ) A.8B.9C.10D.11 4.[2017长春市高三第二次质量监测,14]将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 . 图14-3 5.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子: 1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论: 对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= . 6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表: 表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是 则5288用算筹可表示为 . B组提升题 7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( ) A.逆时针方向匀速前跑 B.顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( ) 2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029……………11 9 7 5 3 8064 8060……………………20 16 12 8 16124…………………………36 28 20 ………………………… A.2017×22016B.2018×22015 C.2017×22015D.2018×22016 9.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式: 三角形数: N(n,3)=n2+n;正方形数: N(n,4)=n2;五边形数: N(n,5)=n2-n;六边形数: N(n,6)=2n2-n,…,由此推测N(8,8)= . 10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择: 2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说: “我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说: “本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说: “哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 . 答案 1.B 由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30 秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B. 2.6 12 令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且x>y>z,①若教师人数为4,则4 3.n(n+1) 根据已知,归纳可得结果为n(n+1). 4.1-+-+…+-=++…+ 观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+-=++…+. 5.A 根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市,又知乙没去过C城市,故乙去过A城市. 6.6 因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6. 7. 解法一 直接递推归纳: 等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×()6=. 解法二 求通项: 等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=sin·an=an=2×()n,故a7=2×()6=. 8. 由f1(x)=⇒f2(x)=f()==;又可得f3(x)=f(f2(x))==,故可猜想f2014(x)=. 9.(Ⅰ)3,1,6 由定义知,四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S四边形DEFG=3. (Ⅱ)79 由待定系数法可得⇒, 故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79. 10.(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0, c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1, c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2. 当n≥3时, (bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0, 所以bk-nak关于k∈N*单调递减. 所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n. 所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1, 所以{cn}是等差数列. (Ⅱ)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则 bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n =b1-a1n+(d2-nd1)(k-1). 所以cn= ①当d1>0时, 取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1-a1n. 此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列. ②当d1=0时,对任意n≥1, cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1). 此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列. ③当d1<0时, 当n>时,有nd1 所以= =n(-d1)+d1-a1+d2+ ≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|. 对任意正数M,取正整数m>max{,}, 故当n≥m时,>M. 11.(Ⅰ)因为1-x+x2-x3==,x∈[0,1],所以≤,即1-x+x2-x3≤, 所以f(x)≥1-x+x2. (Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x,故 f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤. 由(Ⅰ)得f(x)≥1-x+x2=(x-)2+≥. 因为f()=>,所以f(x)>. 综上, 12.(Ⅰ)d1=d2=1,d3=d4=3. (Ⅱ)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以 a1≤a2≤…≤an≤…, 因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,…). (必要性)因为dn=-d≤0(n=1,2,3,…),所以An=Bn+dn≤Bn,又an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1, 于是,An=an,Bn=an+1, 因此an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为d的等差数列. (Ⅲ)因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意n≥1,an≥B1=1. 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项. 设m为满足am>2的最小正整数, 则m≥2,并且对任意1≤k 又a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与dm-1=1矛盾. 所以对于任意n≥1,有an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1,an≤2=a1,所以An=2. 故Bn=An-dn=2-1=1. 因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且am=1,即数列{an}有无穷多项为1. A组基础题 1.A 依题意,取f(x)=,则f'(x)=,则≈+(x-x0).令x=4.001,x0=4,则≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代替值大于m,故选A. 2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C. 3.C 13+23=()2=()2, 13+23+33=()2=()2, 13+23+33+43=()2=()2, … 由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[]2, 因为13+23+33+43+…+n3=3025,所以[]2=3025,所以n2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选C. 4.91 由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91. 5.n2 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2. 6. 根据题意知,5288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即 . B组提升题 7.C 令操场的周长为C,则学生B每隔50秒看一次,学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的. 8.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2017行只有一个数,其值为(2017+1)×22017-2=2018×22015.故选B. 9.176 由题意可得, 三角形数: N=(n,3)=n2+n; 正方形数: N=(n,4)=n2+0n; 五边形数: N=(n,5)=n2-n; 六边形数: N(n,6)=n2-n; …… 由此归纳可得N(n,k)=n2+n, 故N(8,8)=×82-×8=176. 10.8月4日 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.
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