老师第2讲相似三角形培优讲义2.docx
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老师第2讲相似三角形培优讲义2
第2讲相似三角形培优讲义
学习重点:
相似三角形综合应用
学习难点:
应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法
学习过程
典型例题
例1.已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=900,AD⊥BC于D,E是AB上一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,求证:
∠B=∠CFD
证明:
∵在Rt△AEC中,AF⊥EC,
∴AC²=CF•CE.【没学射影定理的话也可以根据△ACF∽△ECA得到AC/CE=CF/AC来证】
∵在Rt△ABC中,AD⊥BC,
∴AC²=CD•CB.
∴CF•CE=CD•CB.
∴CF/CB=CD/CE.
∵∠DCF=∠ECB,
∴△DCF∽△ECB.
∴∠B=∠CFD.
例2.已知:
如图,∠BDC=∠CEA=∠FGB,求证:
BE·BA+CD·CA=BC2
证明:
∵∠BDC=∠FGB,∠CBD=∠CBD,∴△BGF∽△BDC
∴BG/BD=BF/BC
∴BF.BD=BG.BC
(1)
∵∠BDC=∠CEA,即∠BEF=∠BDA,∠ABD=∠ABD,
∴△BEF∽△BDA
∴BF/BA=BE/BD
∴BE.BA=BF.BD
(2)
同理可证,△CFG∽△BCE
∴CF/BC=CG/CE
∴CG.BC=CE.CF.(3)
同理可证△CEA∽△CDF,
∴CE/CD=CA/CF,
∴CE.CF=CD.CA(4)
由
(1)
(2)得:
BE.BA=BG.BC(5)
∵BG=BC-CG
∴BE.BA=BC²-CG.BC(6)
由(3)(5)两式得:
BE.BA=BC²-CE.CF
由(4)(6)两式得:
BE.BA=BC²-CD.CA
∴BE.BA+CD.CA=BC²
例3、如图,在平面直角坐标系中,点
,点
分别在
轴,
轴的正半轴上,且满足
.
(1)求点
,点
的坐标.
(2)若点
从
点出发,以每秒1个单位的速度沿射线
运动,连结
.设
的面积为
,点
的运动时间为
秒,求
与
的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在
(2)的条件下,是否存在点
,使以点
为顶点的三角形与
相似?
若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由
解:
(1)∵∴OB2-3=0,OA-1=0.
∴OB=,OA=1.
点A,点B分别在x轴,y轴的正半轴上,∴A(1,0),B(0, ).
(2)由
(1),得AC=4,=12+()2=2,=()2+(3)2=2,
∴AB2+BC2=22+(2 )2=16=AC2.
∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°.
设CP=t,过P作PQ⊥CA于Q,由△CPQ∽△CBO,易得PQ=,
∴S=S△ABC-S△APC=×4×-×4×=2-t(0≤t<23).
(3)P(-3,0),(-1,),(1,),(3,)
例4、如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥BO交BC边于点E.
(1)求证:
△ABF∽△COE;
(2)当O为AC边中点,
时,如图2,求
的值;
(3)当O为AC边中点,
时,请直接写出
的值.
解:
(1)∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°
∵∠BAC=90°∴∠BAF=∠C.∵OE⊥OB,∠BOA+∠COE=90°,∴∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE∴△ABF∽△COE.
(2)作OG⊥AC,交AD的延长线于G,
∵AC=2AB,O是AC边的中点,∴AB=OC=OA.由
(1)有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE.
∴BF=OE,∠BAD+∠DAC=90°,∠DAB+∠ABD=90°,∴∠DAC=∠ABD.
又∠BAC=∠AOG=90°,AB=OA,△ABC≌△OAG.∴OG=AC=2AB,
∵OG⊥OA,∴△ABC≌△OAG.∴OC=AC=2AB,
∵OG⊥OA∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF,
∴
(3).
例5、如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形A1B1C1D1,使边A1B1在AF上,其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上.
(1)请直接写出图中两直角边之比等于1:
2的三个直角三角形(不另添加字母及辅助线);
(2)求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长;
(3)在
(2)的条件下,取出△AEF,将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠,求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积.
解:
(1)Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、
Rt△ED1C1、Rt△C1B1F.(写出其中三个即可)
(2)AF==5
过E作EM⊥AF,垂足为M,交D1C1于N,则
∵AD=4,DE=EC=2,CF=1,
∴EF=,AE==2,
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF,即5EM=×2,
∴EM=2,
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∴D1C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴
设正方形A1B1C1D1的边长为x,则
解得x=
∴正方形A1B1C1D1的边长为.
(3)∵D1C1=,EN=2-=
∴S△D1EC1=××=
∴=,C1B1=
∴B1F=
∴S△C1B1F1=××=
∵∠1=∠2,∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E1点在C1F1上
又∵=()2=
∴S未被覆盖四边形=--=.
例6、如图,在边长为8厘米的正方形ABCD内,贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG,正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF.动点P从点B出发,沿B?
C?
D方向以1厘米/秒速度运动,到点D停止,连接PA,PE.设点P运动x秒后,△APE与多边形EBCDGF重叠部分的面积为y厘米2.
(1)当x=5时,求y的值;
(2)当x=10时,求y的值;
(3)求y与x之间的函数关系式;
(4)在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.
解:
设AP与EF(或GF)交于点Q.
(1)在正方形ABCD和正方形AEFG中,E为AB中点,
∴EQ∥BP,即EQ为△ABP的中位线.
当x=5时,PB=5,∴QE=PB=,
∵BE=4,
∴y=EQ•EB=×4=5.
(2)当x=10时,如图2,PD=6,GQ=3,QF=FG-GQ=1,AE=4.
∴S梯形AQFE=×4=10.
S△PAE=AE•BC=×4×8=16,
∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6.
(3)当0≤x≤8时,y=x;
当8≤x≤12时,y=-x+16;
当12≤x≤16时,y=4.
(4)图象如下:
分析:
(1)由于图1中的重叠部分为△PQE,
∴y=S△PQE=12EQ•EB.
(2)图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA.
(3)由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8,8≤x≤12,12≤x≤16三段分别求解.
(4)根据题意直接作图即可.
点评:
此题是一个动点问题,考查正方形的性质,中位线的性质及图形面积的求法.作为压轴题,综合了初中阶段的重点知识,能够培养同学们综合运用知识的能力.
目标训练
一、选择题:
1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(-2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为(D)
A、2-
B、2+
C、-2-
D、-2+
分析:
本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值,由此即可得出B点的坐标.
解:
∵∠BAC=60°,∠BCA=90°,AB=a,
则AC=AB×cos60°=a,BC=AB×sin60°=a,
∴点B的横坐标为a-2,纵坐标为a.
故选D.
2、如图,正方形ABCD是一块绿化带,其中阴影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
分析:
求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率;
解:
设正方形的ABCD的边长为a,
则BF=BC=,AN=NM=MC=a,
∴阴影部分的面积为()2+(a)2=a2,
∴小鸟在花圃上的概率为=故选C.
3、如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:
FC=( )
A.
1:
4
B.
1:
3
C.
2:
3
D.
1:
2
分析:
首先证明△DFE∽△BAE,然后利用对应变成比例,E为OD的中点,求出DF:
AB的值,又知AB=DC,即可得出DF:
FC的值.
解:
在平行四边形ABCD中,AB∥DC,
则△DFE∽△BAE,∴=,∵O为对角线的交点,∴DO=BO,
又∵E为OD的中点,∴DE=DB,则DE:
EB=1:
3,∴DF:
AB=1:
3,
∵DC=AB,∴DF:
DC=1:
3,∴DF:
FC=1:
2.
故选D.
4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值().B
A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个
解:
当直角边为6,8时,且另一个与它相似的直角三角形3,4也为直角边时,x的值为5,当8,4为对应边且为直角三角形的斜边时,x的值为
,故x的值可以为5或
.两种情况。
5、如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:
①PM=PN;②;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析:
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;先证明△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN=PB=PC,判断④正确.
解:
①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
∴PM=BC,PN=BC,
∴PM=PN,正确;
②在△ABM与△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴ ,正确;
③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°,
∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,正确;
④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P为BC边的中点,
∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC,正确.故选D
6、如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:
①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE2+DC2=DE2,
其中正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
分析:
根据∠DAF=90°,∠DAE=45°,得出∠FAE=45°,利用SAS证明△AED≌△AEF,判定①正确;
如果△ABE∽△ACD,那么∠BAE=∠CAD,由∠ABE=∠C=45°,则∠AED=∠ADE,AD=AE,而由已知不能得出此条件,判定②错误;
先由∠BAC=∠DAF=90°,得出∠CAD=∠BAF,再利用SAS证明△ACD≌△ABF,得出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF,等量代换后判定③正确;
先由△ACD≌△ABF,得出∠C=∠ABF=45°,进而得出∠EBF=90°,然后在Rt△BEF中,运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2,等量代换后判定④正确.
解:
①∵∠DAF=90°,∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°.
在△AED与△AEF中,
,
∴△AED≌△AEF(SAS),①正确;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABE=∠C=45°.
∵点D、E为BC边上的两点,∠DAE=45°,
∴AD与AE不一定相等,∠AED与∠ADE不一定相等,
∵∠AED=45°+∠BAE,∠ADE=45°+∠CAD,
∴∠BAE与∠CAD不一定相等,
∴△ABE与△ACD不一定相似,②错误;
③∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD,即∠CAD=∠BAF.
在△ACD与△ABF中,
,
∴△ACD≌△ABF(SAS),∴CD=BF,
由①知△AED≌△AEF,∴DE=EF.
在△BEF中,∵BE+BF>EF,
∴BE+DC>DE,③正确;
④由③知△ACD≌△ABF,∴∠C=∠ABF=45°,
∵∠ABE=45°,∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°.
在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE2+BF2=EF2,
∵BF=DC,EF=DE,∴BE2+DC2=DE2,④正确.
所以正确的结论有①③④.
故选C.
二、填空题:
1、如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC(答案不唯一) ,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)
分析:
相似三角形的判定有三种方法:
①三边法:
三组对应边的比相等的两个三角形相似;
②两边及其夹角法:
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
③两角法:
有两组角对应相等的两个三角形相似.
由此可得出可添加的条件.
解答:
解:
由题意得,∠A=∠A(公共角),
则可添加:
∠ACD=∠ABC,利用两角法可判定△ABC∽△ACD.
故答案可为:
∠ACD=∠ABC.
2、将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值是 .
分析:
由∠BAC=∠ACD=90°,可得AB∥CD,即可证得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的对应边成比例,可得:
,然后利用三角函数,用AC表示出AB与CD,即可求得答案.
解答:
解:
∵∠BAC=∠ACD=90°,
∴AB∥CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴,
∵在Rt△ACB中∠B=45°,
∴AB=AC,
∵在RtACD中,∠D=30°,
∴CD==AC,
∴==.
故答案为:
.
3、如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,且,若△AEF的面积为2,则四边形EBCF的面积为 16 .
分析:
根据题意可判定△AEF∽△ABC,利用面积比等于相似比平方可得出△ABC的面积,继而根据S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF,即可得出答案.
解:
∵,
∴EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴=()2=()2=,
∴S△ABC=18,
则S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16.
故答案为:
16.
4、如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为 7 .
分析:
先根据边长为9,BD=3,求出CD的长度,然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质,证明△ABD∽△DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得CE的长度,即可求出AE的长度.
解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC;
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6;
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°,
∴∠DAB=∠EDC,
又∵∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE,
则=,即=,
解得:
CE=2,
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7.故答案为:
7
三、解答题:
1.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。
如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,三角形QAP为等腰三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
分析:
(1)当三角形QAP为等腰三角形时,由于∠A为直角,只能是AQ=AP,建立等量关系,
,即
时,三角形QAP为等腰三角形;
(2)四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
=
=36,即当P、Q运动时,四边形QAPC的面积不变。
(3)显然有两种情况:
△PAQ∽△ABC,△QAP∽△ABC,
由相似关系得
或
,解之得
或
解:
(1)由题意得t秒时,AP=2tcm,DQ=tcm,
∴AQ=(6-t)cm,
当AP=AQ时,
即2t=6-t,
即t=2,
△QAP为等腰三角形。
(2)∵∠QAP=∠B=90°
∴当时,即
即t=3,△PAQ∽△ABC
或者,当,即
即t=1.2,△QAP∽△ABC
答:
t=3或1.2时,以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似。
2、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B
(1)求证:
△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
分析:
(1)利用对应两角相等,证明两个三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC,可以求出线段DE的长度;然后在在Rt△ADE中,利用勾股定理求出线段AE的长度.
解答:
(1)证明:
∵▱ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中,
∴△ADF∽△DEC.
(2)解:
∵▱ABCD,∴CD=AB=8.
由
(1)知△ADF∽△DEC,
∴,∴DE===12.
在Rt△ADE中,由勾股定理得:
AE===6.
3、如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠CDB交边BC于点E,EM⊥BD垂足为M,EN⊥CD垂足为N。
(1)当AD=CD时,求证:
DE∥AC;
(2)探究:
AD为何值时,△BME与△CNE相似?
(3)探究:
AD为何值时,四边形MEND与△BDE的面积相等。
解:
(1)∵
∴
∴
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC。
(2)(i)当时,得
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC,BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴
即
∴AD=5。
(2)当时,得
∴EN∥BD
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC
∴CD=
∴
综上,当AD=5或时,△BME与△CNE相似。
(3)由角平分线性质易得
∵
∴
即
∴EM是BD的垂直平分线
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴
∴
∴
即
∵
∴
由①得
∴
∴
4、如图,已知,在△ABC中,BA=BC=20㎝,AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x,
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当时,求的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.(9分)
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质.
(1)当PQ∥BC时,根据平行线分线段成比例定理,
得出比例关系,再根据P、Q的速度,用x表示AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值
(2)根据相似三角形的性质求解
解:
(1)AP=4x,AQ=AC-CQ=30-3x,
∵PQ∥BC,
∴,
∴,
∴,
即当s时,PQ∥BC。
(2),
∴,
∴,
∴,
又,
∴。
(3)能;
∵∠A=∠C,
∴当时,△APQ与△CQB相似,
①当,
∴;
②当,
即x2+5x-50=0,解得x1=5,x2=-10(舍去),
∴AP=4x=20,
∴当cm或20cm时,△APQ与△CQB相似。
5、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝,BC=7㎝,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
(1)求证:
△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3?
如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;
(2)AB=4cm;(3)BP=1cm或6cm
分析:
(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;
(2)可过作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值;
(3)在
(2)中求得了AB的长,即可求出DE:
EC=5:
3时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据
(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点.
解:
(1)由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;
∵∠B=∠APE∴∠EPC=∠BAP∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCE;
(2)作AF⊥BC于F,由已知易求得BF=,
在Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2cm,
∴AB=4(cm);
(3)存在这样的点P
理由:
由DE:
EC=5:
3DE+EC=4,得EC=,
∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP,
∠B=∠APE,
∴∠EPC=∠BAP,
又∠B=∠C
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