十年高考真题分类汇编 数学 专题02 常用逻辑用语.docx
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十年高考真题分类汇编数学专题02常用逻辑用语
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学
专题02常用逻辑用语
1.(2019•全国3•文T11)记不等式组
表示的平面区域为D.命题p:
∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:
∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q
②¬p∨q
③p∧¬q
④¬p∧¬q
这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③B.①②C.②③D.③④
【答案】A
【解析】如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.
作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,¬p假,¬q真,故①③真,②④假.故选A.
2.(2019•天津•文T3)设x∈R,则“0 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由|x-1|<1可得0 3.(2019•浙江•T5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a>0,b>0时,a+b≥2 若a+b≤4,则2 ≤a+b≤4,所以 ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. 4.(2019•北京,文T6)设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当b=0时,f(x)=cosx+bsinx=cosx,f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)对任意的x恒成立,f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx,由cosx+bsinx=cosx-bsinx,得bsinx=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件,故选C. 5.(2019•北京•理T7)设点A,B,C不共线,则“ 的夹角为锐角”是“| |>| |”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵A,B,C三点不共线,∴| |>| |⇔| |>| |⇔| |2>| |2⇔ >0⇔ 的夹角为锐角.故“ 的夹角为锐角”是“| |>| |”的充分必要条件,故选C. 6.(2019•天津•理T3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由x2-5x<0,得0 7.(2018•北京•文T4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】ad=bc a,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒ ⇒ad=bc.故选B. 8.(2018•天津•理T4文T3)设x∈R,则“ ”是“x3<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 可得0 因为(0,1)⫋(-∞,1), 所以“ ”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A. 9.(2018•浙江•T6)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,m与n还可能异面.故选A. 10.(2017•全国1•理T3)设有下面四个命题 p1: 若复数z满足 ∈R,则z∈R; p2: 若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3: 若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1= ; p4: 若复数z∈R,则 ∈R. 其中的真命题为( ) A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 【答案】B 【解析】p1: 设z=a+bi(a,b∈R),则 ∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确; p2: 因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确; p3: 若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确; p4: 实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确. 11.(2017•山东•理T3)已知命题p: ∀x>0,ln(x+1)>0;命题q: 若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.p∧(¬q) C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q) 【答案】B 【解析】对∀x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题. 又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以¬q为真命题,故p∧(¬q)为真命题.故选B. 12.(2017•北京•理T6)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m•n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m•n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m•n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A. 13.(2017•天津•理T4)设θ∈R,则“ ”是“sinθ< ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时,0<θ< ∴0 . ∴“ ”是“sinθ< ”的充分条件. 当θ=- 时,sinθ=- 但不满足 . ∴“ ”不是“sinθ< ”的必要条件. ∴“ ”是“sinθ< ”的充分而不必要条件. 14.(2017•浙江•理T6)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为Sn=na1+ d, 所以S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0, 即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选C. 15.(2016•浙江•理T4)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n 【答案】D 【解析】先改写量词,再由n≥x2的否定为n 16.(2016•北京•理4)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a•b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D. 17.(2016•天津•理5)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( ) A.充要条件B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)•(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C. 18.(2016•山东•理T6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A. 19.(2016•四川•理T7)设p: 实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q: 实数x,y满足 则p是q的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】画出可行域(如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即p q,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.故选A. 20.(2015•山东•文T5)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件. 21.(2015•全国1•理T3)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则¬p为( ) A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n 【答案】C 【解析】∵p: ∃n∈N,n2>2n,∴¬p: ∀n∈N,n2≤2n.故选C. 22.(2015•浙江•理T4)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0 【答案】D 【解析】“p且q”的否定是“¬p或¬q”. 23.(2015•山东•理T12)若“∀x∈ tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题意知m≥(tanx)max.∵x∈ ∴tanx∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1. 24.(2015•重庆•理T4)“x>1”是“lo (x+2)<0”的( ) A.充要条件B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由lo (x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>1”是“lo (x+2)<0”的充分不必要条件. 25.(2015•天津•理T4)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为|x-2|<1等价于1 26.(2015•湖南•理T2)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若A∩B=A,则有A⊆B;若A⊆B,则必有A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件. 27.(2015•陕西•理T6)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由cos2α=0,得cos2α-sin2α=0, 即cosα=sinα或cosα=-sinα. 故“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件. 28.(2014•陕西•理T8)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 【答案】B 【解析】易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真, 设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|, 但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假. 29.(2014•湖南•理T5)已知命题p: 若x>y,则-x<-y;命题q: 若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( ) A.①③B.①④C.②③D.②④ 【答案】C 【解析】由题易知命题p为真,命题q为假,则¬p为假,¬q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧(¬q)为真,(¬p)∨q为假.故选C. 30.(2014•辽宁•理T5)设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a•b=0,b•c=0,则a•c=0;命题q: 若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( ) A.p∨qB.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q) 【答案】A 【解析】对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.故选A. 31.(2014•重庆•文T6)已知命题 p: 对任意x∈R,总有|x|≥0; q: x=1是方程x+2=0的根. 则下列命题为真命题的是( ) A.p∧(¬q)B.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∧q 【答案】A 【解析】由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以¬p为假,¬q为真.所以p∧(¬q)为真,(¬p)∧q为假,(¬p)∧(¬q)为假,p∧q为假.故选A. 32.(2014•湖北•文T3)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( ) A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=x C.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x 【答案】D 【解析】全称命题“∀x∈M,p(x)”的否定为特称命题“∃x∈M,¬p(x)”,故选D. 33.(2014•全国2•文T3)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p: f'(x0)=0;q: x=x0是f(x)的极值点,则( ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 【解析】由题意知q⇒p,则p是q的必要条件; 而p q,如f(x)=x3在x=0处f'(0)=0,而x=0不是极值点,故选C. 34.(2014•安徽•理T2)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由ln(x+1)<0得-1 35.(2014•浙江•理T2)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件,应选A. 36.(2014•北京•理T5)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 37.(2013•天津•理T4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切. 其中真命题的序号是( ) A.①②③B.①②C.①③D.②③ 【答案】C 【解析】设球半径为R,缩小后半径为r,则r= R,而V= πR3,V'= πr3= πR3,所以该球体积缩小到原来的 故①为真命题;取两组数据1,3,5和3,3,3,它们的平均数相同,但标准差不同,故②为假命题;圆x2+y2= 的圆心到直线x+y+1=0的距离d= 等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C. 38.(2013•陕西•文T6)设z是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数 C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0 【答案】C 【解析】由复数的基本知识可知: z2能与0比较大小且z2≥0,则z为实数,所以A正确;同理,z2<0,则z是纯虚数,所以B正确;反过来,z是纯虚数,z2<0,D正确;对于选项C,不妨取z=1+i,则z2=2i不能与0比较大小. 39.(2013•全国,文T5)已知命题p: ∀x∈R,2x<3x;命题q: .∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q) 【答案】B 【解析】由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,∵h(0)=-1<0,h (1)=1>0,∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解. ∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有(¬p)∧q为真命题.故选B. 40.(2010•全国•理T5)已知命题: p1: 函数y=2x-2-x在R上为增函数, p2: 函数y=2x+2-x在R上为减函数, 则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (¬p1)∨p2和q4: p1∧(¬p2)中,真命题是( ) A.q1,q3B.q2,q3 C.q1,q4D.q2,q4 【答案】C 【解析】p1为真,p2为假,∴q1为真,q2为假,q3为假,q4为真. 41.(2013•重庆•理T2)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( ) A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0 C.存在x0∈R,使得 ≥0 D.存在x0∈R,使得 <0 【答案】D 【解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题),故选D. 42.(2012•全国•理T3)下面是关于复数z= 的四个命题: p1: |z|=2;p2: z2=2i;p3: z的共轭复数为1+i;p4: z的虚部为-1. 其中的真命题为( ) A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4 【答案】C 【解析】z=-1-i,故|z|= p1错误;z2=(-1-i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.
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