函数的单调性与最值考点和题型归纳.docx
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函数的单调性与最值考点和题型归纳
函数的单调性与最值考点和题型归纳
一、基础知识
1.增函数、减函数
定义:
设函数f(x)的定义域为I:
(1)增函数:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 (2)减函数: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征 一是任意性;二是有大小,即x1 2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接. 3.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值. 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 二、常用结论 在公共定义域内: (1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数; (2)函数f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)+g(x)是减函数; (3)函数f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)是增函数; (4)函数f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)是减函数; (5)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反; (6)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反; (7)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记: “同增异减”. 考点一 确定函数的单调性(区间)) [典例] (1)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. (2)试讨论函数f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. [解] (1)易知f(x)= = 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)法一: 定义法 设-1 f(x)=a =a , 则f(x1)-f(x2)=a -a = . 由于-1 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 法二: 导数法 f′(x)= = =- . 当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. [解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法 (1)定义法: 一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论. (2)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法: 先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间. (4)性质法: 对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定. [题组训练] 1.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1| C.f(x)= -xD.f(x)=ln(x+1) 解析: 选C 由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A、D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)= -x,因为y= 与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数. 2.函数f(x)=log (x2-4)的单调递增区间是( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0) C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 解析: 选D 令t=x2-4,则y=log t.因为y=log t在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). 3.判断函数f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性. 解: 设x1,x2是任意两个正数,且x1 则f(x1)-f(x2)= - = (x1x2-a). 当0 时,0 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0, ]上是减函数; 当 ≤x1 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 所以函数f(x)在[ ,+∞)上是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+ (a>0)在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数. 考点二 求函数的值域(最值)) [典例] (1)(2019•深圳调研)函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________. (2)若函数f(x)=- +b(a>0)在 上的值域为 ,则a=________,b=________. (3)函数f(x)= 的最大值为________. [解析] (1)图象法 函数y= 作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法 ∵f(x)=- +b(a>0)在 上是增函数, ∴f(x)min=f = ,f(x)max=f (2)=2. 即 解得a=1,b= . (3)当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f(x)在x=-2处取得最大值,且f(-2)=4;当x>0时,f(x)=sinx,此时f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f(x)的最大值为4. [答案] (1)[3,+∞) (2)1 (3)4 [提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. [题组训练] 1.函数f(x)= 的值域为________. 解析: 当x>0时,f(x)=x+ ≥4, 当且仅当x=2时取等号; 当x<0时,-x+ ≥4, 即f(x)=x+ ≤-4, 当且仅当x=-2取等号, 所以函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案: (-∞,-4]∪[4,+∞) 2.若x∈ ,则函数y=4sin2x-12sinx-1的最大值为________,最小值为________. 解析: 令t=sinx,因为x∈ , 所以t∈ ,y=f(t)=4t2-12t-1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t= ,所以当t∈ 时,函数f(t)单调递减, 所以当t=- 时,ymax=6; 当t=1时,ymin=-9. 答案: 6 -9 3.已知f(x)= ,x∈[1,+∞),且a≤1.若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________. 解析: 对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立等价于x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)上恒成立,即a>-x2-2x在x∈[1,+∞)上恒成立. 又函数y=-x2-2x在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x2-2x)max=-3,故a>-3, 又∵a≤1,∴-3 答案: (-3,1] 考点三 函数单调性的应用 考法 (一) 比较函数值的大小 [典例] 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π) D.f(π) [解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f (2). 又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. 所以f(π)>f(3)>f (2),即f(π)>f(-3)>f(-2). [答案] A [解题技法] 比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. 考法 (二) 解函数不等式 [典例] 设函数f(x)= 若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[2,6]D.[2,+∞) [解析] 易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f(a+1)≥f(2a-1), ∴a+1≥2a-1,解得a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2]. [答案] B [解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x) 考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值) [典例] (2019•南京调研)已知函数f(x)=x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. [解析] 设1 ∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴f(x1)-f(x2)=x1- + - =(x1-x2) <0. ∵x1-x2<0,∴1+ >0,即a>-x1x2. ∵1 ∴a的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞) [解题技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数; (2)需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. [题组训练] 1.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f ,b=f (2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>bB.c>b>a C.a>c>bD.b>a>c 解析: 选D 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f =f .当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>a>c. 2.已知函数f(x)= 是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 选B 由对数函数的定义可得a>0,且a≠1. 又函数f(x)在R上单调,而二次函数y=ax2-x- 的图象开口向上, 所以函数f(x)在R上单调递减, 故有 即 所以a∈ . A级 1.下列四个函数中,在x∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| 解析: 选C 当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈ 时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈ 时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=- 为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数. 2.若函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( ) A.(2,+∞)B.(-∞,2) C.(4,+∞)D.(-∞,4) 解析: 选B 因为f(x)=ax+1在R上单调递减,所以a<0. 而g(x)=a(x2-4x+3)=a(x-2)2-a. 因为a<0,所以g(x)在(-∞,2)上单调递增. 3.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 选D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f . 所以0≤2x-1< ,解得 ≤x< . 4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕: 当a≥b时,a⊕b=a;当a A.-1B.1 C.6D.12 解析: 选C 由题意知当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1 (1)=-1,f (2)=6,∴f(x)的最大值为6. 5.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(全集为R)( ) A.(-1,2)B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 解析: 选D 由函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f(x+1)<1即为f(0)<f(x+1)<f(3),所以0<x+1<3,所以-1<x<2,故不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞). 6.已知函数f(x)= 是R上的增函数,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0)B.(-∞,-2] C.[-3,-2]D.(-∞,0) 解析: 选C 若f(x)是R上的增函数,则应满足 解得-3≤a≤-2. 7.已知函数f(x)= ,则该函数的单调递增区间为________. 解析: 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞). 答案: [3,+∞) 8.函数f(x)= 的最大值为________. 解析: 当x≥1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f (1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2. 答案: 2 9.若函数f(x)= 在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为 ,则a=________. 解析: 由f(x)= 的图象知,f(x)= 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a]⊆(0,+∞), ∴f(x)= 在[2,a]上也是减函数, ∴f(x)max=f (2)= ,f(x)min=f(a)= , ∴ + = ,∴a=4. 答案: 4 10.(2019·甘肃会宁联考)若f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. 解析: f(x)= = =1+ ,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a-3<0,解得a<3. 答案: (-∞,3) 11.已知函数f(x)= - (a>0,x>0). (1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在 上的值域是 ,求a的值. 解: (1)证明: 任取x1>x2>0, 则f(x1)-f(x2)= - - + = , ∵x1>x2>0, ∴x1-x2>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)由 (1)可知,f(x)在 上是增函数, ∴f = -2= ,f (2)= - =2, 解得a= . 12.已知f(x)= (x≠a). (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围. 解: (1)证明: 当a=-2时,f(x)= . 任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= - = . 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= - = . 因为a>0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0, 所以(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1. 所以0<a≤1. 所以a的取值范围为(0,1]. B级 1.若f(x)=-x2+4mx与g(x)= 在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(0,1]B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,+∞)D.(0,1] 解析: 选D 函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)= 的图象由y= 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1]. 2.已知函数f(x)=lnx+x,若f(a2-a)>f(a+3),则正数a的取值范围是________. 解析: 因为f(x)=lnx+x在(0,+∞)上是增函数, 所以 解得-33. 又a>0,所以a>3. 答案: (3,+∞) 3.已知定义在R上的函数f(x)满足: ①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 解: (1)令x=y=0,得f(0)=-1. 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.
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