高级数理逻辑第4讲分析.docx

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高级数理逻辑第4讲分析

4一阶谓词逻辑

4.1一阶谓词逻辑的基本概念

4.1.1命题逻辑的局限性

命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。

因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：

所有自然数都大于它的素数A

x（A（x）à

（P（x,y）

Q（y）））

A（2100）à

（P（2100,y）

Q（y））

x（A（x）à

（P（y,x）

Q（y）））

2100是自然数BA（2100）

2100有大于它的素数C

（P（y,2100）

Q（y））

对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。

因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。

而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。

所以用命题逻辑描述它不能进行推理。

然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：

所有实数的平方是非负的A

是实数B

的平方是非负的C

4.1.2一阶谓词逻辑

1、概述

一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：

任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。

个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。

P（x）

●函词：

个体上可以进行运算，能够产生新的个体。

这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。

F（x,y）=x*y

●谓词：

我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。

这些有关个体性质的描述称为谓词。

Q（y）,P（x,y）:

:

x

●量词：

关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。

有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。

为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词

●谓词定义：

谓词表示个体性质和关系的语言成分。

它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。

没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。

谓词后面的空位个数为谓词的元数。

谓词是一个体域上的n元关系。

通常P（x,y,z）=0,1，表示x,y之间具有关系P（1,2）。

●函词定义：

函词是表示某种操作的语言成份。

用于在给定的个体基础上，产生新的个体对象。

与谓词一样，函词具有空位的概念。

函词后面空位的个数为函词的元数。

通常用F（x,y,z）=x+y+z表示。

3、变元和常元

●常元：

常元表示个体域中的一个确定个体。

如：

5，ZhangSan等。

●变元：

变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。

例如：

（1）z+y=0P（f（y,z））二元谓词表示方程

P（f（x,z））==;P（f（-3,2））

－3＋2＝0

Z+y=x+y=0

（2）对所有z，x，y•x=x•yQ（x*Z,Z*x）二元谓词表示乘法交换率

Q（x,z）=1

3*2=2*3

Q（f（x,y）,f（y,x））=

Q（f（1,2）,f（2,1））=1

从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。

因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。

f（x）+x+z=0

对于所有的X,Y,P（x,y）<=P（X,Y）

●自由变元：

自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变元中。

类似于数学中的变元。

●约束变元：

约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。

约束变元是为表达某种想的辅助符号。

●自由变元与约束变元的对比：

自由变元约束变元

可代入不可代入

不可改名可改名

举例说明：

采用上例。

4、量词

我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。

例如对于下面的命题：

如果P（x）对任意x恒真，则P（x+1）恒真。

我们现在表示，只能用P（x）

P（x+1），来表示。

而这种表示方法没有确定的含义，例如可以认为P（x）是存在一个x的值是P（x）成立。

为了描述这些谓词的成立范围，一阶谓词逻辑引入了量词的概念。

xQ（X2）=~

~Q（X2）

Q（X,100000）=~

x~Q（X,100000）

~

xQ（X,100000）=

~Q（X,100000）

z

y（Q（z*y,y*z））

xP（x）

yP（y+1）；P大于0，x论域是自然数,

xP（x）à

yP（y+1）

x

y（P（x）àP（y+1））

x（P（x）

P（x+1））;P大于0，x论域是实数

●全称量词：

中的

称为全称量词，

中的x称为

的指导变元；

称为量词的辖域。

（A（x））-->B（x）

●存在量词：

中的

称为存在量词，

中的x称为

的指导变元；

称为量词的辖域。

（AàB）àC

==x=1,A

（1）àB

（1）

A

（1）àB

（1）

AàB

A（1,…）=1

●指导变元是约束变元。

●量词等价公式：

1.

xA（x）╞│

{1,2,3}===~（~（A

（1）^A

（2）^A（3）））=1P（x,y）

Y=1,x=1,x=2,x=3,P（x,y）=1===P（1,1）,P（2,1）,P（3,1）=1

X=1,y=1,P（1,1）=1P（1,2）=0,P（1,3）=0

X=2,y=2P（2,2）=1,P（2,1）=P（2,3）=0

X=3,y=3,P（3,1）=P（3,2）=0,P（3,3）=1 ;

\

~（~A

（1）v~A

（2）v~A（3））=~~A

（1）&~~A

（2）&~~A（3）

2.

╞│

3.

╞│

4.

╞│

5.

╞│

6.

╞│

（x,y）f（x）

（x,y）

（A（x）àA（x+z））

A（x）àA（x+z）

xA（x）V

xB（x）=

x（A（x）VB（x）;

A

（1）^A

（2）^A（3）B

（1）^B

（2）^B（3）

A

（1）,B

（1）;B

（2）,A

（2）;A（3）,B（3）

====

x

y（A（x）VB（y））=

x（A（x）VB（x））

5、用一阶谓词逻辑描述问题：

例如：

所有实数的平方是非负的

是实数

的平方是非负的

一阶谓词的表示：

4.2一阶形式系统（FSFC）

回顾形式系统的构成，主要有语言部分和推理部分构成。

语言部分是一阶语言。

4.2.1一阶语言

一阶语言可以从以下几个方面定义：

符号表、项集、公式集等三个部分。

1、符号表

●个体变元符号：

x,y……

●个体常元符号：

●函词符号：

（一元函词）

（n元函词）

●谓词符号：

（一元谓词）

（n元谓词）

●联结词：

●量词：

●技术符：

2、项：

谓词所讨论的对象。

项是递归定义的集合，其定义如下：

（1）变元和常元交项；

（2）对于任意正整数n和函数

，如果

为项

那么

为项；

（3）除有限次使用

（1）

（2）得到外，没有任何项。

{a,x,f（）}={a,x,fn（a）,fn（x）}

由定义可知，项集是递归定义的、是可判定的。

3、公式集：

公式由以下递归定义：

（1）对于任意正整数n，如果

为项，那称

为公式，并为原子公式；

（2）如果A，B为公式，那么

，

公式；

（3）公式都是有限次使用

（1）

（2）得到的，除此之外无其他公式。

4.2.2一阶语言性质

●闭项：

不含自由变元的项

，

●闭公式：

不含自由变元的公式

P（a,b）

y（P（a,y）àB（y））=

x（（P（a,x））－>B（x））

y（P（a,y）－>B（y））=

x（P（a,x）－>B（x））

x（P（a,x）－>B（y））

x（P（a,x）－>B（x））

A（x）=1,0;;;,

xA（x）;

●辖域：

公式A称为量词

的辖域，如果

与A相邻，且A的任何真截断不是公式

●约束出现：

在公式A中，变元x的某个出现叫做约束出现，如果x为

（x）的指导变元或在

x，

x的辖域内。

否则为自由出现

=VyP（y）à~P2（x1）

x1为约束出现，x2为自由出现

●可代入性：

称项t是对A中自由变元x可代入的；如果A中项x的任何自由出现都不在

的辖域内，这里y是t中的任意自由变元。

y

x

zP（x,z）

yP（x,f+1）

yA（x,y）t=y+1;

yP（x+1,z）

P（5,6）

t=y+1

yP（y+1,z）

t=（x1+z）A=

yP（x1+z,z）

y=x+a=t不可代入，y=z+a为可代入的。

●代入：

将公式A中变元x的所有自由出现代换为项t的过程称为代入，代入后所得公式称A的实例。

将项x+a代入到公式

中的y得到：

P（x,y,z）àQ（x）

（y+1）/x,P（y+1,y,z）àQ（y+1）P（y+1,z+1,z）àQ（y+1）

（z+1）/y,P（z+2,z+1,z）àQ（z+2）P（x,z+1,z）àQ（x）

P（y+1,z+1,z）àQ（y+!

）

yP（x,z）

yP（x,f+1）

yP（z+1,z）:

:

:

:

yP（y+x+1,y+x）

yP（z+1,y+x）

{（z+1）/x,（y+x）/z}

我们用记号

表示对A中变元

，同时作代入，

代换为项

…

代换为项

。

这与下面的逐步代入是不同的：

xP（x,y,z）====

Y=z+1,z=y1+1

xP（x,z+1,y1+1）

xP（x,z+1,z）,

xP（x,y1+2,y1+1）

Y=y1+2;z=y1+1

例：

设公式A为

可以写为

，那么v2àv1,v3àv2

P（v1,v2）==P（v2,v2）==P（v3,v3）

P（v2,v3）

P（V1,V2）-----P（v2,v2）----P（v3,v3）

P（v2,v3）

P（v1,v2）;P（v2,v2）;P（v3,v3）

P（v1,v2）;P（v2,v3）

P（v1,v2）=P（v2,v2）=P（v3,v3）

P（v1,v2）=（v2,v3）

可代入性保证了代入过程中变项的约束关系不发生改变，即原来约束的代入后仍旧是约束的；原来自由的代入后仍旧是自由的。

●子公式：

称公式B为A的子公式，如果A为形如

的符号串，其中B为公式。

当

有一个非空时，称为真子公式。

●改名：

任何约束变元可改名，公式A中变元x为约束出现，将x改为其它变元，是合理的

＝P1（x）àVyP2（y）

xA（x）-->A（x）

两式等价。

●公式性质和项的性质（递归集合），可以用归纳证明（根据公式和项定义过程来证明）。

●设

为公式A中所有的自由变元，那么公式

称为公式A的全称化（generalizations），其中

。

公式

称为公式A的全称封闭式。

当A中无自由变元时，A的全称封闭式是A本身。

4.2.3推理部分

推理部分包含：

公理集合和推理规则集合。

1、公理集合

A1

A2

A3

A4

（t对于A中的变元x是可代入的，将t代入A中的x）

A5

A6

（x在A中无自由出现==无出现）

2、推理规则

分离规则

4.2.4推理性质

●A1-A3为FSPC中的公理