高中数学 323空间向量与空间角练习 新人教A版选修21I.docx
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高中数学323空间向量与空间角练习新人教A版选修21I
2019-2020年高中数学3.2.3空间向量与空间角练习新人教A版选修2-1(I)
一、基础过关
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.30°B.60°
C.150°D.以上均错
2.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则( )
A.α=θB.α=π-θ
C.cosθ=|cosα|D.cosα=|cosθ|
3.已知A∈α,P∉α,
=
,平面α的一个法向量n=
,则直线PA与平面α所成的角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.150°
4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=
BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( )
A.60°B.90°
C.105°D.75°
5.
在正四面体ABCD中,点E为BC中点,点F为AD中点,则异
面直线AE与CF所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.若两个平面α,β的法向量分别是n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.
7.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2
,则该二面角的大小为________.
8.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=
,则cos〈
,
〉的值为________.
二、能力提升
9.如图,在三棱锥V—ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点
处,顶点A、B、V分别在x、y、z轴上,D是线段AB的中点,
且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=
时,求异面直线AC与VD
所成角的余弦值.
10.
如图,已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′
上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
11.
如图,四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,
BD=
.CF与平面ABCD垂直,CF=2.求二面角B—AF—D的大
小.
三、探究与拓展
12.
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,
EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(1)求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC⊥平面EDB;
(3)求二面角B-DE-C的大小.
答案
1.B 2.D 3.C 4.B 5.C
6.60° 7.60°
8.0
9.解 由于AC=BC=2,D是AB的中点,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),
D(1,1,0).
当θ=
时,在Rt△VCD中,CD=
,
故V(0,0,
).
所以
=(-2,0,0),
=(1,1,-
).
所以cos〈
,
〉=
=
=-
.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为
.
10.
解 如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系
Dxyz.
则
=(1,0,0),
=(0,0,1).
连接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设
=(m,m,1)(m>0),
由已知〈
,
〉=60°,
由
·
=|
||
|cos〈
,
〉,
可得2m=
.
解得m=
,所以
=
.
(1)因为cos〈
,
〉
=
=
,
所以〈
,
〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是
=(0,1,0).
因为cos〈
,
〉
=
=
,
所以〈
,
〉=60°.
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
11.
解 过点A作AE⊥平面ABCD.
以A为坐标原点,
、
、
方向分别为x轴、y轴、z
轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
于是B
,D
,
F(0,2,2).
设平面ABF的法向量n1=(x,y,z),
则由
得
令z=1,得
所以n1=(-
,-1,1).
同理,可求得平面ADF的法向量n2=(
,-1,1).
由n1·n2=0知,平面ABF与平面ADF垂直,
所以二面角B—AF—D的大小等于
.
12.
(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形,
∴AB⊥BC.又EF∥AB,
∴EF⊥BC.又EF⊥FB,
∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,
∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点,
为x轴正方向,
为z轴正方向,建立
如图所示的空间直角坐标系.
设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),
E(0,-1,1),F(0,0,1).
设AC与BD的交点为G,连接GE,GH,则G(0,-1,0),
∴
=(0,0,1).又
=(0,0,1),
∴
∥
.
又GE⊂平面EDB,HF⊄平面EDB,
∴FH∥平面EBD.
(2)证明
=(-2,2,0),
=(0,0,1),
·
=0,
∴AC⊥GE.又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
(3)解
=(-1,-1,1),
=(-2,-2,0).设平面BDE的法向量为n1=(1,y1,z1),则
·n1=-1-y1+z1=0,
·n1=-2-2y1=0,
∴y1=-1,z1=0,即n1=(1,-1,0).
=(0,-2,0),
=(1,-1,1).
设平面CDE的法向量为n2=(1,y2,z2),则n2·
=0,y2=0,n2·
=0,
1-y2+z2=0,z2=-1,
故n2=(1,0,-1).
cos〈n1,n2〉=
=
=
,
∴〈n1,n2〉=60°,
即二面角B-DE-C的大小为60°.
2019-2020年高中数学3.2.3空间向量与空间角练习新人教A版选修2-1
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=|cos〈a,b〉|=
________
直线与平面
所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈a,n〉|=
________
角的分类
向量求法
范围
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ,平面α、β的法向量为n1,n2,则|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|=
________
想一想:
二面角alβ的平面角为θ,平面α、β的法向量分别为n1,n2,如何去掉|cosθ|中的绝对值号?
基础梳理
[0,π]
想一想:
当n1,n2所在的角与θ相等时,cosθ=cos〈n1,n2〉;当n1,n2所成角与θ互补时,cosθ=-cos〈n1,n2〉.
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于 ( )
A.30°B.60°C.150°D.以上均错
2.正方体ABCDA1B1C1D1中,BD1与AA1所成角的余弦为( )
A.
B.
C.
D.1
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( )
A.30°B.45°
C.135°D.45°或135°
自测自评
1.B 2.A
3.解析:
(1)cos〈m,n〉=
=
=
,
所以〈m,n〉=45°.所以二面角为45°或135°.
答案:
D
1.已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)和
,则线段AB( )
A.与平面xOy平行B.与平面xOz平行
C.与平面zOy平行D.与平面xOy或zOy平行
1.C
2.已知A∈α,P∉α,
=
,平面α的一个法向量n=
,则直线PA与平面α所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.150°
2.解析:
设直线PA与平面α所成的角为θ,则
sinθ=|cos〈
,n〉|
=
=
.∴θ=60°.
答案:
C
3.(xx·重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )
A.45°B.30°C.90°D.60°
3.解析:
以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以
=(-1,1,0),
=(1,0,1).
所以cos<
,
>=-
.所以<
,
>=120°.
所以AC与BF所成的角为60°.
答案:
D
4.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=3,AB=2,BC=
,则二面角PBDA的正切值为________.
4.
5.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.解析:
如图所示
建立空间直角坐标系,设PA=AB=1.则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).
于是
=(0,1,0).取PD中点为E,则E
,
∴
=
,易知
是平面PAB的法向量,
是平面PCD的法向量,
∴cos〈
,
〉=
,
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
答案:
B
6.(xx·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.解析:
以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴,则设CA=CB=1,则B(0,1,0),M
,A(1,0,0),N
,故
=
,
=
,所以cos〈
,
〉=
=
=
,故选C.
答案:
C
7.如图,在三棱锥OABC中,OA=OB=OC=1,∠AOB=90°,OC⊥平面AOB,D为AB的中点,则OD与平面OBC的夹角为________.
7.解析:
∵OA⊥平面OBC,∴
是平面OBC的一个法向量.而D为AB的中点,OA=OB,
∴∠AOD=〈
,
〉=45°.
∴OD与平面OBC所成的角θ=90°-45°=45°.
答案:
45°
8.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________.
8.解析:
取AC、A1C1中点O、E,则OB⊥AC,OE⊥平面ABC,以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,在正三角形ABC中,BO=
AB=
,
所以A
,B
,D
,所以
=
,又平面AA1C1C的一个法向量为e=(0,1,0),设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ,则sinθ
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