北大版金融数学引论第二章答案.docx
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北大版金融数学引论第二章答案
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第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。
计算X。
解:
S=1000s20?
p7%+Xs10?
p7%
X=
50000?
1000s20?
p7%
s10?
p7%
=651.72
2.价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式:
每月底还250元,期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解:
设首次付款为X,则有
10000=X+250a48?
p1.5%
解得
X=1489.36
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1。
试计算该年金的现值。
解:
PV=na?
npi
1?
vn
n
=n
1
n
=
(n+1)nn2?
nn+2
(n+1)n
4.已知:
a?
np=X,a2?
np=Y。
试用X和Y表示d。
解:
a2?
np=a?
np+a?
np(1?
d)n则
Y?
X
d=1?
(
X
)
5.已知:
a?
7p=5.58238,a11?
p=7.88687,a18?
p=10.82760。
计算i。
解:
a18?
p=a?
7p+a11?
pv7
解得
6.证明:
1
1?
v=
s
?
+a?
。
s?
i=6.0%
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证明:
s10?
p+a∞?
p
(1+i)?
1+1
1
s10?
p
=
i
(1+i)?
1
i
i
=
1?
v10
7.已知:
半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。
解:
PV=100a?
8p3%+100a20?
p3%=2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解:
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨25?
p8%=X¨15?
p7%
解得
9.已知贴现率为10%,计算¨?
8p。
X=8101.65
解:
d=10%,则i=1
10.求证:
(1)¨?
np=a?
np+1?
vn;
1?
d?
1=19
¨?
8p=(1+i)
1?
v8
i
=5.6953
(2)¨?
np=s?
?
np1+(1+i)n
并给出两等式的实际解释。
证明:
(1)¨?
np=1?
dv=1?
v=1?
v
i+1?
vn
所以
(2)¨?
np=(1+i)?
1
¨?
np=a?
np+1?
vn
(1+i)?
1=(1+i)?
1
n?
1
d=
i+(1+i)
所以
¨?
np=s?
?
np1+(1+i)n
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12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终
值。
解:
PV=100a49?
p1.5%?
100a?
2p1.5%=3256.88
AV=100s49?
p1.5%?
100s?
2p1.5%=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
v10=1,计算Y。
解:
因两种年金价值相等,则有
2
a30?
pi+a10?
piv10=Ya30?
?
piYa10?
piv10
所以Y=3?
v?
2v
1+v?
2v=1.8
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解:
由题意知,
2a2?
npi+3a?
npi=36
2a?
npivn=6
解得
a?
7p
a?
3p+sX?
p
i=8.33%
15.已知
a11?
p
=
aY?
p+sZ?
p
。
求X,Y和Z。
解:
由题意得
解得
1?
v7
1?
v11
=
(1+i)X?
v3
(1+i)Z?
vY
16.化简a15?
p(1+v15+v30)。
解:
X=4,Y=7,Z=4
a15?
p(1+v15+v30)=a45?
p
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17.计算下面年金在年初的现值:
首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
解:
年金在4月1日的价值为P=1+4.5%
4.5%×2000=46444.44,则
PV=
P
(1+i)2+
=41300.657
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
解:
设递延时间为t,有
1
解得
t=?
ln(1+lniPi)
P=
i
vt
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一
定的金额X,直至永远。
计算X。
解:
设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
X
1000¨20?
pi=
i
v29
解得
X=1000((1+i)30?
(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:
前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算(1+i)n。
解:
设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为i
3a?
npi
,而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
所以
1?
vn
3
(1+i)n=4
=vn
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二
个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。
已知:
C与A的份额之比为0.49,
求B与D的份额之比。
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解:
由题意知
那么
PVC
PVA
PVB
=
=
a?
npv2n
a?
np
a?
npvn
13n
=0.49
=0.61
PVD
iv
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最
后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
?
?
100a?
np4.5%v4<1000
解:
?
100an+1?
p4.5%v4>1000
解得n=17
列价值方程
解得
100a16?
p4.5%+Xv21=1000
X=146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
解:
两年金现值相等,则4×a36?
pi=5×18,可知v18=0.25
由题意,(1+i)n=2解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:
每月底还100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为12%,计算k。
解:
由题意可得方程
100a60?
p1%=6000(1+i)?
k
解得
25.已知a?
2pi=1.75,求i。
解:
由题意得
解得
k=29
1?
v2=1.75i
i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元,20年
的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解:
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27.某人在银行中存入一万元10年定期存款,年利率4%,如果前5年半内提前支
取,银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知:
在第4、5、6和7年底分别取出K元,
且第十年底的余额为一万元,计算K。
解:
由题意可得价值方程
10000=105Ka?
2p4%v3+Ka?
2p4%+10000v10
则K=10000?
10000v
105a?
v+a?
v=979.94
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半,
前四年半的年利率为i,后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解:
选取第一次还款日为比较日,有价值方程
P(1+i)=X+2Xa?
4pi+2Xa?
5pj(1+i)?
4
所以
P(1+i)
X=
1+2a?
4pi+2a?
5pj(1+i)?
4
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:
每两年付
款2000元,共计8次。
解:
30.计算下面十年年金的现值:
前5年每季度初支付400元,然后增为600元。
已知
年利率为12%。
(缺命令)
解:
PV=4×400+4×600v5=11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解:
32.给出下面年金的现值:
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解:
PV=
1
s?
4pi
a24?
piv3=
(1+i)24?
1
(1+i)27[(1+i)4?
1]
=
a28?
?
pa?
4p
s?
3p+s?
1p
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
解:
设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。
有题意得
750
i
+
750
s20?
pii
=Ra30?
pi
解得
R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
解:
由题意知
解得
i=20%
1
is?
3pi
=
125
91
35.已知:
1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
金,计算R。
解:
由题意得
解得
R=1.95
20=
1
d
=
R
a?
2pii
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延
时间。
(2)
解:
设贴现率为d,则1+i
2
=
1
(1?
d)
设递延时间为t,由题意得
10000=2×500vt¨
(2)∞?
p
解得
t=
ln20+ln(1?
(1?
d))
ln(1?
d)
37.计算:
3a?
(2)np=2a
(2)2?
np=45s?
(2)1p,计算i。
解:
ii
3×a?
npi=2×
a?
npi=45×
i
s?
1pi
解得:
vn=1
i=
1
i
(2)
。
i2
i2
2
30
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38.已知i(4)=16%。
计算以下期初年金的现值:
现在开始每4个月付款1元,
共12年。
(问题)
解:
39.已知:
δt=1+1t。
求ˉ?
np的表达式。
解:
ˉ?
np=
∫n
0
e?
Rδdsdt=ln(1+n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
解:
第一种年金的现值为
∫1
0
vtdt=
1?
e?
δ
δ
第二种年金的现值为e?
δt,则
所以t=1+1δlnδi
1?
e?
δ
δ
=e?
δt
41.已知:
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。
(结果和李凌飞的不同)
解:
设季度实利率为i。
因a(t)=eδt,则eδ=(1+i)所以
1?
v80
PV=100¨80?
pi=100(1+i)
i
=4030.53
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间?
解:
设年实利率为i,则i=eδ?
1
设基金可维持t年,由两现值相等得
40000=2400a?
tpi
解得
t=28
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43.已知某永久期末年金的金额为:
1,3,5,...。
另外,第6次和第7次付款的现值
相等,计算该永久年金的现值。
解:
由题意:
11
13
(1+i)=(1+i)?
i=112
PV=v+3v2+···+(2n?
1)vn+···
=v[1+PV+2(v+v2+···)]
=v(1+PV+2v
解得:
PV=66
1?
v)
44.给出现值表达式Aa?
np+B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值:
首次100元,然后每次减少3元。
解:
年金序列:
A+nB,A+(n?
1)B,...,A+2B,A+B
所求为25a25?
p+3(Da)25|
45.某期末年金(半年一次)为:
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16%。
若记:
A=a10?
p8%,试用A表示这个年金的现值。
解:
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
2×(10?
A)
300a10?
p8%+500(Da)10|8%=300A+
i
(2)
=6250?
325A
46.年利率8%的十年储蓄:
前5年每年初存入1000元,然后每年递增5%。
计算第
十年底的余额。
解:
由题意:
AV=1000s?
5p8%(1+8%)6+(1000×1.05×1.085+
1000×1.052×1.084+···+1000×1.055×1.08)
=1000
(1+8%)5?
1
8%
1.086+1000×1.05×1.085
1(1.05
1.08)5
11.05
1.08
=16606.72
47.已知永久年金的方式为:
第5、6年底各100元;第7、8年底各200元,第9、10年
底各300元,依此类推。
证明其现值为:
v4
100
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i?
vd
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解:
把年金分解成:
从第5年开始的100元永久年金,从第7年开始的100元永久
年金...。
从而
PV=v4
100
1
1
=100v4
1
1
=100
v4
i
a?
2pi
i
i1?
v2
i?
vd
48.十年期年金:
每年的1月1日100元;4月1日200元;7月1日300元;10月1日400元。
证明其现值为:
1600¨10?
p(I(4)¨)(4)1|元
证:
首先把一年四次的付款折到年初:
m=4,n=1,R=100m2=1600
从而每年初当年的年金现值:
1600(I(4)¨)(4)元
再贴现到开始时:
1|
1600¨10?
p(I(4)¨)(4)1|元
49.从现在开始的永久年金:
首次一元,然后每半年一次,每次增加3%,年利
率8%,计算现值。
解:
半年的实利率:
j=(1+8%)?
1=3.923%
PV=1+
1.03
1+j
1.03
+
1.032
(1+j)2
+···
=(1?
1+j
)?
1
=112.59
50.某人为其子女提供如下的大学费用:
每年的前9个月每月初500元,共计4年。
证明当前的准备金为:
6000¨?
4p¨(12)9/12|
证:
首先把9个月的支付贴现到年初:
m=12,n=9/12,R=500m=6000从而
每年初当年的年金现值:
6000¨(12)
贴现到当前:
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9/12|
6000¨?
4p¨(12)9/12|
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51.现有如下的永久年金:
第一个k年每年底还;第二个k年每年底还2R;第三
个k年每年底还3R;依此类推。
给出现值表达式。
解:
把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,···):
每个年金的值为
Ra∞?
p
在分散在每个k年的区段里:
Ra∞|
ak|
再按标准永久年金求现值:
R(a∞|)2
ak|
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金:
1,2,3,···的现值。
计算贴现率。
解:
由题意:
?
?
X=1
1
i1+i
?
20X=(1
1
1
解得:
i=0.05
i+i)(1+i)
即:
d=i
1+i=0.04762
53.四年一次的永久年金:
首次1元,每次增加5元,v4=0.75,计算现值。
与原答
案有出入
解:
(期初年金)
PV=1+6v4+11v9+···=
(期末年金)
∑∞
(5n?
4)v(4n?
4)=
i=1
5
(1?
v4)2
?
4
1?
v4
=64
PV¨=v+6v5+11v10+···=v·PV=59.5587
54.永久连续年金的年金函数为:
(1+k)t,年利率i,如果:
0 金现值。 与原答案有出入 解: 由于0 PV= ∫∞∫∞ (1+k)te? δtdt=( 00 1+k 1+i )tdt= 1 ln(1+i)? ln(1+k) 北京大学数学科学学院金融数学系 第11页 版权所有,翻版必究 55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t2? 1,利息力为(1+t)? 1,计算该年 金现值。 与原答案有出入 解: PV=exp(? ∫1 0 1 1+t dt) ∫14 1 (t2? 1)exp(? ∫t? 1 0 1 1+s ds)dt=47.43 56.给出下列符号的表达式: ∑n (Ia)t|和 t=1 解: 由(Ia)t|表达式有: ∑n (Da)t| t=1 ∑n (Ia)t|= t=1 = ∑ n ¨tp? ? tvt i t=1 1∑n1∑ ¨? ? tp ntvt i t=1 i t=1 = 1∑n [(1+i)? vt? 1]? i2 1 i (Ia)n|展开求和即得 = 由(Da)t|表达式有: ∑n 1 i2 t=1 [n(1+i)? 2¨? np+nvn] ∑nt? a? tp t=1 (Da)t|= t=1 i = 1 i ∑n t=1 t? ∑ t=1 n 1? vt i = 1n(n+1)? 1 i2i2 i (n? a? np) = 2n(n+1)? n+a? np i2 57.现有两种永久年金: A-金额为p的固定期末年金;B-金额为q,2q,3q,···的 递增期末年金。 分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。 北京大学数学科学学院金融数学系 第12页 版权所有,翻版必究 解: 年金现值分别为: PVA=pa∞? pi= p i q q PVB=q(Ia)∞|= (1)当PVA=PVB时有: ip=iq+q ? i + i2 ? i=q 解得: p? q,p>q ? i不存在,p≤q (2)令f(i)=pi? qi? iq f(i)=? p i2 + q i2 +2 q i3 =0 解得: i=2q p? qp>q 58.某零件的使用寿命为9年,单位售价为2元;另一种产品,使用寿命15年,单 价增加X。 如果某人需要35年的使用期,假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加,要使两种产品无差异的X为多少? (缺少利率? 下面的计算年利 率i=5%)(与原答案有出入) 解: 用9年一周期的产品,则有支付的现值为: PV1=2×[1+( 1.04 1.05 )9+( 1.04 1.05 )18+( 1.04 1.05 )27] 用15年一周期的产品,则有支付的现值为: 1.04 1.04 PV2=(2+X)×[1+( 由PV1=PV2有: X=0.6992 1.05 )15+( 1.05 )30] 59.计算
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- 北大 金融 数学 引论 第二 答案