五学年和差积商变化规律.docx

五学年和差积商变化规律.docx

《五学年和差积商变化规律.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五学年和差积商变化规律.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

五学年和差积商变化规律

和、差、积、商的变化规律

【和的变化规律】

（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。

用字母表达就是

如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；

（a-d）+b=c-d。

（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。

用字母表达就是

如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。

【差的变化规律】

（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。

用字母表达，就是

如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，

（a-d）-b=c-d。

（a＞d+b）

（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。

用字母表达，就是

如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），

a-（b-d）=c+d。

（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。

用字母表达，就是

如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，

（a-d）-（b-d）=c。

【积的变化规律】

（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，

（a÷n）×b=c÷n。

（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。

用字母表达，就是

如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，

或（a÷n）×（b×n）=c。

【商或余数的变化规律】

（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，

（a÷n）÷b=q÷n。

（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，

a÷（b÷n）=q×n。

（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，

（a÷n）÷（b÷n）=q。

（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。

这一变化规律用字母表示，就是

如果a÷b=q（余r），

那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），

（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。

例如，84÷9=9……3，

而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），

（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。

【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？

【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。

【练习1】

1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？

2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？

3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？

【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？

【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。

现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。

【练习2】

1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？

2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？

3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？

【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？

【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。

两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。

【练习3】

1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？

2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？

3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？

和、差、积、商的变化规律

（二）

【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？

【思路】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。

【练习1】

1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？

2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？

3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？

【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。

原来两个数相加的正确答案是多少？

【思路】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。

这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。

所以，原来两数相加的正确答案是：

1996－（6＋56）=1940。

【练习4】

1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。

正确的和是多少？

2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。

正确的和是多少？

3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。

正确的和是多少？

【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。

正确的差是多少？

【思路】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。

这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。

因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。

正确的差是：

189＋58=247。

【练习5】

1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。

正确的差是多少？

2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。

正确的差是多少？

3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。

正确的差是多少？

一、和的变化规律

（一）如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数．

例如：

3＋5=8（3＋2）＋5=8＋2

（二）如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．

例如：

8＋6=14（8－4）＋6=14－4

（三）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的数，那么，它们的和不变．

例如：

8＋3=11（8＋2）＋（3－2）=11（8－6）＋（3＋6）=11

（四）如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加（m＋n）．

例如：

5＋3=8（5＋2）＋（3＋7）=8＋（2＋7）

（五）如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少（m＋n）．

例如：

30＋18=48（30－15）＋（18－9）=48－（15＋9）

（六）如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加（m－n）；当m＜n时，它们的和就减少（n－m）．

例如：

8＋5=13（8＋7）＋（5－3）=13＋（7－3）（8＋2）＋（5－4）=13－（4－2）

二、差的变化规律

（一）如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．

例如：

9－5=4（9＋3）－5=4＋3（9－2）－5=4－2

（二）如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．

例如：

9－5=49－（5＋3）=4－39－（5－3）=4＋3

（三）如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．

例如：

15－8=7（15＋3）－（8＋3）=7（15－5）－（8－5）=7

（四）如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加（m＋n）．

例如：

18－12=6（18＋4）－（12－3）=6＋（4＋3）

（五）如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少（m＋n）

例如：

18－12=6（18－2）－（12＋1）=6－（2＋1）

（六）如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加（m＋n）；当m＜n时，它们的差就减少（n－m）．

例如：

20－12=8（20＋5）－（12＋3）=8＋（5－3）（20＋5）－（12＋6）=8－（6－5）

（七）如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少（m－n）；当m＜n时，它们的差要增加（n－m）．

例如：

40－22=18（40－3）－（22－2）=18－（3－2）（40－5）－（22－7）=18＋（7－5）

加减法混合运算的性质

（一）交换的性质

在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如

a＋b－c=a－c＋b（a≥c）

＝b－c＋a（b≥c）

（二）结合的性质

在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如

a－b＋c－d＋m

=（a－b）＋（c－d）＋m（a≥b，c≥d）

＝a－（b－c）－（d－m）（b≥c，d≥m）

=a＋（m－b）＋（c－d）（m≥b，c≥d）

可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．

【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？

余数是多少？

【思路】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。

所以商是8，余数是20×10=200。

【练习2】

1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？

余数是多少？

2.两个数相除，商是9，余数是3。

如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？

余数是多少？

3.两个数相除，商是8，余数是600。

如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？

余数是多少？

【例题3】两数相乘，积是48。

如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？

【思路】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。

所以最后的积是48×2÷3=32。

【练习3】

1.两数相乘，积是20。

如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？

2.两数相除，商是19。

如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？

3.两数相除，商是27。

如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？

积商的变化规律练习题

知识要点：

【积的变化规律】

（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。

（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。

用字母表达，就是

如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。

练习题：

1

2、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。

3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。

4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。

5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。

6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。

7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。

8、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。

【商或余数的变化规律】

（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。

（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。

（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。

用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。

（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。

这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），

那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。

例如，84÷9=9……3，

而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。

积的变化规律：

一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：

一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

商的变化规律：

被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：

被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.

一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（）0.78×12＝（）7.8×0.12＝（）0.78×（）＝9362、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（）4140÷1.8＝（）0.414÷0.18＝（）41.4÷18＝（）

第2/4页

8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。

9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。

11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。

12、26.87扩大到它的（）倍得到26870,再缩小到它的（）得268.7。

13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。

14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚（）厘米,一厘米约有（）张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐（）吨,1000吨海水含盐（）吨.

16、由45到0.045缩小到原数的（）.17、由0.08到80,扩大到原数的（）.17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。

18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。

19、一个小数与它自已相加、相减、相除，其和、差、商相加为5.8，这个小数是（）。

）。

20、5．28除以最小的两位小数与最小的一位小数的积，商是（）。

21、要使2□6800≈30万，□里可以填（）。

22、把3.56的小数点去掉以后，就扩大了它的（），再除以1000得（）。

23、23的十分之一与79的一半和是多少列式是（）。

24、幸福村有5个鱼塘，去年平均每个鱼塘产鱼980千克，每产1千克鱼的成本是1.68元，幸福村的鱼塘一共产鱼多少千克？

成本是多少元？

25、甲乙两列火车于晚10时30分同时由两地开出,相对而行.甲车每小时行60.8千米,乙车每小时行50.4千米,第二天上午8时两车相遇,两地相距多少千米?

积与商的变化规律

[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？

想：

如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。

积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。

解：

12÷3=4答：

积缩小了4倍。

[试一试]

1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？

２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？

3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？

[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？

想：

如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。

解：

30×6=180答：

商将扩大180倍。

[试一试]

1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？

2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？

3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？

[问题三]两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？

余数是多少？

想：

根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。

解：

略。

答：

商是6，余数是300。

[试一试]

1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？

余数是多少？

2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？

余数是多少？

3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？

余数是多少？

[问题四]在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化？

想：

根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。

最后的得数实际扩大了4×2=8倍。

解：

4×2=8

答：

得数扩大8倍。

[试一试]

1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变？

2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变？

3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化？

[练一练]

1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积

是否起变化？

2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化？

3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？

4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？

5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？

6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化？

7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少？

8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少？

9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化？

10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少？

余数是多少？

1.我会做。

（1）在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（）。

（2）在一道除法算式里，如果被除数乘10，要使商不变，除数（）。

（3）在一道除法算式里，如果除数除以100，要使商不变，被除数（）。

2、根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。

（1）18÷6=3

（2）480÷10=48

（18×2）÷（6×2）=（480÷2）÷（10÷2）=（18×3）÷（6×3）=（480÷5）÷（10÷5）=

3、在里填运算符号，在里填适当的数。

（1）24÷8＝（24×2）÷（8×□）

（2）360÷60=（360÷10）÷（60○10）

（3）96÷6＝（96○□）÷（6○□）

4．40秒竞赛。

240÷30＝80÷20＝360÷90＝4800÷400＝440÷20＝9600÷800＝120÷40＝2400÷60＝

5、两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积有什么变化？

6、被除数扩大3倍，除数不变，商（）

7、被除数缩小3倍，除数不变，商（）

8、两个加数都扩大8倍，则和扩大（）倍

9、被除数、除数和余数的和160。

已知除数是20，余数是10，那么商是（）

10、两数相除,被除数扩大3倍，除数缩小6倍，商（）

11、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（）

12、豪豪在计算除法时，把被除数的末尾多写了1个“0”，结果得到的商是132，正确的商是（）

13、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（）余数是（）

14、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大13倍，商是（）余数是（）

15、两数相乘，积是96，如果一个因数扩大2倍，另一因数缩小3倍，积是（）

16、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，商是（）

17、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数扩大4倍，商是（）

18、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数缩小4倍，商是（）

19、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数扩大4倍，商是（）

三、判断：

①210÷30=（210×15）÷（30×15）?

?

?

?

?

?

?

?

（）②48÷12=（48×3）÷（12×4）?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

（）③60÷12=（60÷3）÷（12×3）?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

（）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10）?

?

?

?

?

?

?

?

（）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。

?

?

（）⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。

?

?

（）

五、根据上面的算式，在下面的括号里填上合适的数。

（1）150÷50＝3

（2）180÷3＝60（3）240÷80＝3（）÷50＝6540÷9＝（）240÷（）＝6（）÷（）=31800÷（）=60（）÷80=6（想一想每一题都是根据今天学的哪条规律？

）

六：

根据476÷17＝28，你能写出多少个商是28的除法算式？

七、竖式计算（运用商不变性质）。

670÷20=960÷80=2600÷210=

890÷50=7500÷620=970÷70=

5800÷800=4500÷600=7800÷600＝