圆锥曲线离心率专题.docx
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圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练
1.已知F1,F2就是椭圆得两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率得取值范围就是( )
A.
[,1)
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
(0,]
2.二次曲线时,该曲线离心率e得范围就是( )
A.
B.
C.
D.
3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆得离心率e得范围就是()
A.
[,1)
B.
(,1)
C.
[,)
D.
(0,)
4.双曲线得离心率e∈(1,2),则k得取值范围就是( )
A.
(﹣∞,0)
B.
(﹣3,0)
C.
(﹣12,0)
D.
(﹣60,﹣12)
5.设F1,F2为椭圆得两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆得离心率得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆得内接三角形有一个顶点在短轴得顶点处,其重心就是椭圆得一个焦点,求该椭圆离心率e得取值范围( )
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆x2+my2=1得离心率,则实数m得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知有公共焦点得椭圆与双曲线得中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限得交点为P,△PF1F2就是以PF1为底边得等腰三角形,双曲线得离心率得取值范围为(1,2),则该椭圆得离心率得取值范围就是()
A.
(0,)
B.
(,)
C.
(,)
D.
(,1)
9.椭圆得内接矩形得最大面积得取值范围就是[3b2,4b2],则该椭圆得离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D得双曲线得离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A得椭圆得离心率为e2,则e1+e2得取值范围为( )
A.
[2,+∞)
B.
(,+∞)
C.
[,+∞)
D.
(,+∞)
11.已知双曲线得焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线得距离之与为S,且S,则离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知F1,F2就是椭圆得两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)得三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线得离心率,则得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远得点就是B(0,﹣b),则椭圆得离心率得取值范围为()
A.
B.
C.
D.
15.已知双曲线得中心在原点,焦点x轴上,它得一条渐近线与x轴得夹角为α,且,则双曲线得离心率得取值范围就是()
A.
B.
C.
(1,2)
D.
16.已知双曲线﹣=1得两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2得平分线分线段F1F2得比为5:
1,则双曲线离心率得取值范围就是()
A.
(1,]
B.
(1,)
C.
(2,]
D.
(,2]
17.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点得对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率得取值范围为( )
A.
[,1]
B.
[,]
C.
[,1)
D.
[,]
18.已知椭圆得左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆得离心率得取值范围为( )
A.
(0,)
B.
()
C.
(0,)
D.
(,1)
19.已知直线l:
y=kx+2(k为常数)过椭圆得上顶点B与左焦点F,且被圆x2+y2=4截得得弦长为L,若,则椭圆离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
20.双曲线得焦距为2c,直线l过点(a,0)与(0,b),且点(1,0)到直线l得距离与点(﹣1,0)到直线l得距离之与.则双曲线得离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
21.点A就是抛物线C1:
y2=2px(p>0)与双曲线C2:
(a>0,b>0)得一条渐近线得交点,若点A到抛物线C1得准线得距离为p,则双曲线C2得离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
22.在椭圆上有一点M,F1,F2就是椭圆得两个焦点,若,则椭圆离心率得范围就是()
A.
B.
C.
D.
23.椭圆+y2=1上存在一点P,使得它对两个焦点F1,F2得张角∠F1PF2=,则该椭圆得离心率得取值范围就是( )
A.
(0,]
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
[,1)
24.椭圆(a>b>0)上存在点P到原点得距离等于该椭圆得焦距,则椭圆得离心率得取值范围就是( )
A.
(0,1)
B.
(0,
C.
D.
25.椭圆得左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同得点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C得离心率得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
26.设A1、A2为椭圆得左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2得点P,使得,其中O为坐标原点,则椭圆得离心率e得取值范围就是( )
A.
B.
C.
D.
27.已知点F1、F2分别就是双曲线=1得左、右焦点,过F1且垂直于x轴得直线与双曲线交于A、B两点,若A、B与双曲线得一个顶点构成得三角形为锐角三角形,则该双曲线得离心率e得取值范围就是( )
A.
(1,1+)
B.
(1,)
C.
(﹣1,1+)
D.
(1,2)
28.如图,已知A(﹣2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|,E为AC上一点,且.又以A、B为焦点得双曲线过C、D、E三点.若,则双曲线离心率e得取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
29.已知椭圆(a>b>0)上一点A关于原点得对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且,则该椭圆离心率e得取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
30.已知P为椭圆(a>b>0)上一点,F1,F2就是椭圆得左、右焦点,若使△PF1F2为直角三角形得点P有且只有4个,则椭圆离心率得取值范围就是( )
A.
(0,)
B.
(,1)
C.
(1,)
D.
(,+∞)
参考答案与试题解析
1.已知F1,F2就是椭圆得两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率得取值范围就是( )
A.
[,1)
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
(0,]
解:
如图所示,
下面证明椭圆得短轴得一个端点就是到椭圆得中心距离最短得点.
设椭圆上任意一点P(x0,y0),则,可得.
∴|OP|2==+=≥b2,当且仅当x0=0时取等号.
∴椭圆得短轴得一个端点就是到椭圆得中心距离最短得点.
若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则c≥b,∴c2≥b2=a2﹣c2,化为,解得.
又e<1,∴.
故选B.
2.二次曲线时,该曲线离心率e得范围就是( )
A.
B.
C.
D.
解:
∵m∈[﹣2,﹣1],
∴该曲线为双曲线,a=2,b2=﹣m,
∴c=
离心率e==
∵m∈[﹣2,﹣1],
∴∈[,],
∴e∈
故选C
3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆得离心率e得范围就是( )
A.
[,1)
B.
(,1)
C.
[,)
D.
(0,)
解:
可设椭圆得标准方程为:
(a>b>0).
设P(x,y),∵∠OPA=90°,∴点P在以OA为直径得圆上.
该圆为:
,化为x2﹣ax+y2=0.
联立化为(b2﹣a2)x2+a3x﹣a2b2=0,
则,解得,
∵0 化为c2>b2=a2﹣c2, ∴,又1>e>0. 解得. ∴该椭圆得离心率e得范围就是. 故选: C. 4.双曲线得离心率e∈(1,2),则k得取值范围就是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣3,0) C. (﹣12,0) D. (﹣60,﹣12) 解: ∵双曲线得离心率e∈(1,2), ∴双曲线标准方程为: ﹣=1∴k<0, ∴1<e2<4,1<<4,﹣12<k<0, 故答案选C 5.设F1,F2为椭圆得两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆得离心率得取值范围就是( ) A. B. C. D. 解: F1(﹣c,0),F2(c,0),c>0,设P(x1,y1), 则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a﹣ex1. 在△PF1F2中,由余弦定理得cos120°==, 解得x12=. ∵x12∈(0,a2],∴0≤ ∴e=≥. 故椭圆离心率得取范围就是e∈. 故选A. 6.已知椭圆得内接三角形有一个顶点在短轴得顶点处,其重心就是椭圆得一个焦点,求该椭圆离心率e得取值范围( ) A. B. C. D. 解: 不防设椭圆方程: (a>b>0), 再不妨设: B(0,b),三角形重心G(c,0), 延长BG至D,使|GD|=, 设D(x,y),则,, 由,得: 解得: . 而D就是椭圆得内接三角形一边AC得中点, 所以,D点必在椭圆内部, 则. 把b2=a2﹣c2代入上式整理得: . 即. 又因为椭圆离心率e∈(0,1), 所以,该椭圆离心率e得取值范围就是. 故选B. 7.已知椭圆x2+my2=1得离心率,则实数m得取值范围就是() A. B. C. D. 解: 椭圆x2+my2=1化为标准方程为 ①若1>,即m>1,, ∴, ∴, ∴ ②若,即0<m<1,, ∴, ∴, ∴ ∴实数m得取值范围就是 故选C. 8.已知有公共焦点得椭圆与双曲线得中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限得交点为P,△PF1F2就是以PF1为底边得等腰三角形,双曲线得离心率得取值范围为(1,2),则该椭圆得离心率得取值范围就是( ) A. (0,) B. (,) C. (,) D. (,1) 解: 设椭圆得方程为+=1(a>b>0),其离心率为e1,双曲线得方程为﹣=1(m>0,n>0),|F1F2|=2c, ∵有公共焦点得椭圆与双曲线在第一象限得交点为P,△PF1F2就是以PF1为底边得等腰三角形, ∴在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF2|=|F1F2|=2c, ∴|PF1|=2a﹣2c;① 同理,在该双曲线中,|PF1|=2m+2c;② 由①②可得a=m+2c. ∵e2=∈(1,2), ∴<=<1, 又e1==, ∴==+2∈(,3), ∴<e1<. 故选C. 9.椭圆得内接矩形得最大面积得取值范围就是[3b2,4b2],则该椭圆得离心率e得取值范围就是( ) A. B. C. D. 解: 在第一象限内取点(x,y),设x=acosθ,y=bsinθ,(0<θ<) 则椭圆得内接矩形长为2acosθ,宽为2bsinθ, 内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab, 由已知得: 3b2≤2ab≤4b2,∴3b≤2a≤4b, 平方得: 9b2≤4a2≤16b2, 9(a2﹣c2)≤4a2≤16(a2﹣c2), 5a2≤9c2且12a2≥16c2, ∴≤≤ 即e∈ 故选B. 10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D得双曲线得离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A得椭圆得离心率为e2,则e1+e2得取值范围为 ( ) A. [2,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. (,+∞) 解: BD==, ∴a1=,c1=1,a2=,c2=x, ∴e1=,e2=,e1e2=1 但e1+e2中不能取“=”, ∴e1+e2=+=+, 令t=﹣1∈(0,﹣1),则e1+e2=(t+),t∈(0,﹣1), ∴e1+e2∈(,+∞) ∴e1+e2得取值范围为(,+∞). 故选B. 11.已知双曲线得焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线得距离之与为S,且S,则离心率e得取值范围就是() A. B. C. D. 解: 直线l得方程为,即bx﹣ay﹣ab=0. 由点到直线得距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l得距离 d1=, 同理得到点(﹣1,0)到直线l得距离.d2=,s=d1+d2==. 由S,即得•a≥2c2. 于就是得4e4﹣25e2+25≤0. 解不等式,得. 由于e>1>0, 所以e得取值范围就是 e∈. 故选A. 12.已知F1,F2就是椭圆得两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e得取值范围就是( ) A. B. C. D. 解: 如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点得张角∠F1PF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时, 张角∠F1PF2达到最大值.由此可得: ∵存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°, ∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥60°,可得Rt△P0OF2中,∠OP0F2≥30°, 所以P0O≤OF2,即bc,其中c= ∴a2﹣c2≤3c2,可得a2≤4c2,即≥ ∵椭圆离心率e=,且a>c>0 ∴ 故选C 13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)得三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线得离心率,则得取值范围就是() A. B. C. D. 解: 设f(x)=x3+2ax2+3bx+c,由抛物线得离心率为1,可知f (1)=1+2a+3b+c=0,故c=﹣1﹣2a﹣3b, 所以f(x)=(x﹣1)[x2+(2a+1)x+(2a+3b+1)]得另外两个根分别就是一个椭圆一个双曲线得离心率, 故g(x)=x2+(2a+1)x+(2a+3b+1),有两个分别属于(0,1),(1,+∞)得零点, 故有g(0)>0,g (1)<0,即2a+3b+1>0且4a+3b+3<0, 则a,b满足得可行域如图所示, 由于,则P(﹣1,) 而表示(a,b)到(0,0)得距离, 且(0,0)到P(﹣1,)得距离为d= 可确定得取值范围就是(,+∞). 故答案为: A. 14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远得点就是B(0,﹣b),则椭圆得离心率得取值范围为( ) A. B. C. D. 解: 设点P(x,y)就是椭圆上得任意一点, 则,化为. ∴|PA|2=x2+(y﹣b)2===f(y), ∵椭圆上得点P到点A(0,b)距离最远得点就是B(0,﹣b), 由二次函数得单调性可知: f(y)在(﹣b,b)单调递减, ∴, 化为c2≤b2=a2﹣c2,即2c2≤a2, ∴. 又e>0. ∴离心率得取值范围就是. 故选: C. 15.已知双曲线得中心在原点,焦点x轴上,它得一条渐近线与x轴得夹角为α,且,则双曲线得离心率得取值范围就是() A. B. C. (1,2) D. 解: ∵双曲线得焦点在x轴上,故其渐近线方程为y=x 则tanα= ∵, ∴1 ∴1<=<3求得<<2 故选B. 16.已知双曲线﹣=1得两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2得平分线分线段F1F2得比为5: 1,则双曲线离心率得取值范围就是( ) A. (1,] B. (1,) C. (2,] D. (,2] 解: 根据内角平分线得性质可得 =,再由双曲线得定义可得 5PF2﹣PF2=2a,PF2=,由于PF2=≥c﹣a,∴≥c,≤. 再由双曲线得离心率大于1可得,1<e≤, 故选 A. 17.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点得对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率得取值范围为( ) A. [,1] B. [,] C. [,1) D. [,] 解: ∵B与A关于原点对称 ∴B也在椭圆上 设左焦点为F′ 根据椭圆定义: |AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O就是Rt△ABF得斜边中点,∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα…② |BF|=2ccosα…③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴= 即e== ∵a∈[,], ∴≤α+π/4≤ ∴≤sin(α+)≤1 ∴≤e≤ 故选B 18.已知椭圆得左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆得离心率得取值范围为( ) A. (0,) B. () C. (0,) D. (,1) 解: 在△PF1F2中,由正弦定理得: 则由已知得: 即: aPF1=cPF2 设点P(x0,y0)由焦点半径公式, 得: PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0则a(a+ex0)=c(a﹣ex0) 解得: x0== 由椭圆得几何性质知: x0>﹣a则>﹣a, 整理得e2+2e﹣1>0,解得: e<﹣﹣1或e>﹣1,又e∈(0,1), 故椭圆得离心率: e∈(﹣1,1), 故选D. 19.已知直线l: y=kx+2(k为常数)过椭圆得上顶点B与左焦点F,且被圆x2+y2=4截得得弦长为L,若,则椭圆离心率e得取值范围就是() A. B. C. D. 解: 圆x2+y2=4得圆心到直线l: y=kx+2得距离为d= ∵直线l: y=kx+2被圆x2+y2=4截得得弦长为L, ∴由垂径定理,得2, 即,解之得d2≤ ∴≤,解之得k2 ∵直线l经过椭圆得上顶点B与左焦点F, ∴b=2且c==﹣,即a2=4+ 因此,椭圆得离心率e满足e2=== ∵k2,∴0<≤,可得e2∈(0,] 故选: B 20.双曲线得焦距为2c,直线l过点(a,0)与(0,b),且点(1,0)到直线l得距离与点(﹣1,0)到直线l得距离之与.则双曲线得离心率e得取值范围就是( ) A. B. C. D. 解: 直线l得方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0. 由点到直线得距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l得距离, 同理得到点(﹣1,0)到直线l得距离、,. 由,得.. 于就是得5≥2e2,即4e4﹣25e2+25≤0. 解不等式,得 ≤e2≤5. 由于e>1>0, 所以e得取值范围就是. 故选D. 21.点A就是抛物线C1: y2=2px(p>0)与双曲线C2: (a>0,b>0)得一条渐近线得交点,若点A到抛物线C1得准线得距离为p,则双曲线C2得离心率等于( ) A. B. C. D. 解: 取双曲线得其中一条渐近线: y=x, 联立⇒; 故A(,). ∵点A到抛物线C1得准线得距离为p, ∴+=p; ∴=. ∴双曲线C2得离心率e===. 故选: C. 22.在椭圆上有一点M,F1,F2就是椭圆得两个焦点,若,则椭圆离心率得范围就是( ) A. B. C. D. 解: 由椭圆定义可知: |MF1|+|MF2|=2a, 所以…①, 在△MF1F2中,由余弦定理可知…② 又,…③, 由①②③可得: 4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ. 所以|MF1|•|MF2|cosθ=0. 所以c≥b,即c2≥b2=a2﹣c2,2c2≥a2,, 所以e∈. 故选B. 23.椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1,F2得张角∠F1PF2=,则该椭圆得离心率得取值范围就是( )
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