期望方差公式.docx
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期望方差公式.docx
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期望方差公式
期望-方差公式
期望与方差的相关公式
-、数学期望的来由
早在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目,题目是这样的:
甲乙两个人赌博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?
用概率论的知识,不难得知,甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎,乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来。
定义1若离散型随机变量
可能取值为
(
=1,2,3,…),其分布列为
(
=1,2,3,…),则当
<
时,则称
存在数学期望,并且数学期望为E
=
,如果
=
,则数学期望不存在。
定义2期望:
若离散型随机变量ξ,当ξ=xi的概率为P(ξ=xi)=Pi(i=1,2,…,n,…),则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望,反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
二、数学期望的性质
(1)设C是常数,则E(C)=C。
(2)若k是常数,则E(kX)=kE(X)。
(3)
。
三、方差的定义
前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下,仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的,还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度,这就是方差的概念。
定义3方差:
称Dξ=∑(xi-Eξ)2pi为随机变量ξ的均方差,简称方差.
叫标准差,反映了ξ的离散程度.
定义4设随机变量X的数学期望
存在,若
存在,则称
为随机变量X的方差,记作
,即
。
方差的算术平方根
称为随机变量X的标准差,记作
,即
由于
与X具有相同的度量单位,故在实际问题中经常使用。
Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度,Dξ越大表示平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散.
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,若X的取值相对于其数学期望比较集中,则其方差较小;若X的取值相对于其数学期望比较分散,则方差较大。
若方差
=0,则随机变量X以概率1取常数值。
由定义4知,方差是随机变量X的函数
的数学期望,故
当X离散时,X的概率函数为
;
当X连续时,X的密度函数为
。
求证方差的一个简单公式:
公式1:
证明一:
所以有:
证毕
证法二:
Dξ=
.
E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ.
(二)二项分布公式列举及证明
1.二项分布定义:
若随机变量
的分布列为:
P(
=k)=Cnkpkqn-k。
(k=0,1,2,…,n,0<p<1,q=1-p,则称
服从二项分布,记作
~B(n,p),其中n、p为参数,并记Cnkpkqn-k=b(k;n,p)。
2.对二项分布来说,概率分布的两个性质成立。
即:
(1)P(
=k)=Cnkpkqn-k>0,k=0,1,2,…,n;
(2)
P(
=k)=
Cnkpkqn-k=(p+q)n=1。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布,它有着广泛的应用。
3.服从二项分布的随机变量
的期望与方差公式:
若ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=npq(q=1-p).
(1)公式5:
求证:
Eξ=np
方法一:
在独立重复实验中,某结果发生的概率均为
(不发生的概率为
,有
),那么在
次实验中该结果发生的次数
的概率分布为
服从二项分布的随机变量
的期望
.证明如下:
预备公式
因为
所以
=
=
所以
=
得证
方法二:
证明:
若
,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数,现在我们来求X的数学期望。
若设
i=1,2,…,n
则
,因为
,
所以
,则
可见,服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。
需要指出,不是所有的随机变量都存在数学期望。
公式6
求证:
服从二项分布的随机变量
的方差公式7:
Dξ=npq(q=1-p).
方法一:
证明:
由公式1知
方法二:
设
则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。
若设
i=1,2,…,n
则
是n次试验中“成功”的次数,
,故
,
由于
相互独立,于是
=np(1-p)。
(三)几何分布的期望与方差的公式列举及证明
1.定义5:
几何分布(Geometricdistribution)是离散型概率分布。
定义6:
在第n次伯努利试验,才得到第一次成功的机率。
n次伯努利试验,前n-1次皆失败,第n次才成功的概率。
若
,则
(1)
,
(2)
。
求证:
(1)几何分布的期望公式8:
,
若某射击手击中目标的概率为P,求证:
从射击开始到击中目标所需次数
的期望
证明:
依题意分布列为
1
2
3
……
……
由
,知
下面用错位相减法求上式括号内的值。
记
两式相减,得
由
,知
,则
及
(可用L'Hospital法则证明)
故
,
所以
求证:
(2)
几何分布的方差公式9:
证明:
利用导数公式
,推导如下:
上式中令
,则得
(2)为简化运算,利用性质
来推导。
对于上式括号中的式子,利用导数,关于q求导:
,并用倍差法求和,有
则
,
因此
证明二:
=
=
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