初中数学二次函数知识点总结.docx
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初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结
二次函数的图象与性质
二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大(小)值y=ax2a>0时,开口向上;a0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大;
当a0时,当x=0时,=0;当a0时,当x=0时,=c;当a0时,当x=h时,y最小=0;当a0时,当x=h时,y最小=k;当a0时,当x=h时,y最小=k;当a0时,开口方向向上;a1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当h=0时,
二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)a,b同号,对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号,对称轴在y轴右侧顶点
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0;k0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k当ah范围内事增函数,在x且X(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X1X2值。
两图像对称
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称;②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称;③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称;④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。
史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义:
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质
(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数yax2的图像与a的符号关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0).3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
b2a4acb4a224.二次函数yaxbxc用配方法可化成:
yaxhk的形式,其中h22,k.
25.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①yax2;②yax2k;③yaxh;④yaxhk;⑤yax2bxc.
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb(,),对称轴是直线x,∴顶点是.
2a2a4a2b2
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线
xh.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线
xb2a,故:
①b0时,对称轴为y轴;②
ba0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③
ba0(即a、
b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式yaxyax22ba0.
开口方向对称轴x0(y轴)x0(y轴)顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)4acb,(2a4ab2k2当a0时开口向上当a0时xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc开口向下)11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
yaxhk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
22(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:
yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).
-2-
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点
2bhc).
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bxc0的两
个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横
坐标是ax2bxck的两个实数根.
(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,由方程组
ykxnyax2bxc的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是
方程ax2bxc0的两个根,故
x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4aca2a
第二部分典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是(D)
A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,则下列结论正确的是(C)
A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0C.ab<0,c>0D.ab<0,c<0
AEFDC
B第2,3题图第4题图
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(D)A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知ABC中,BC=8,BC上的高h4,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、
B),设E到BC的距离为x,则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为(D)
y4444O2A4xO2B4O2C24O2D4
EF84x4EF82x,yx4x
5.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为4.
6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结论:
①当x=-2时,y=1;②当x>x2时,y>0;③方程kx2+(2k-1)x1=0有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<1,x2>-1;⑤
1+4kk2x2-x1=,其中所有正确的结论是①③④(只需填写序号).
7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为yx2b10xc.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y2xb上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2xb的解析式.解:
(1)yx10或yx4x6
b102b16b1004222将得cb.顶点坐标为((0,b)代入,,),由题意得2b102bb16b10042,
解得b110,b26.
(2)y2x2
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解:
(1)设所求二次函数的解析式为yax2bxc,
a
(2)2b
(2)c5c3a1则a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式为:
yx22x3.
(2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y为正数时,输入值x的取值范围是x1或x3.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:
骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式.
解:
⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶y116x2x2410x22
22夜的体温变化情况绘制成下
的体温是上升的它的体温
第9题
10.已知抛物线yax(433a)x4与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:
依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
由ax2(433a)x40,解得x13,x243a243a.
∴点A、B的坐标分别为(-3,0),(∴AB|43a3|,AC2,0).5,
AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2||4.
43a169a222∴AB2|AC23|22316.
98a9,
25,BC2〈〉当AB2AC2BC2时,∠ACB=90°.由AB2AC2BC2,得
169a28a925(14169a216).
解得a∴当a14.
163时,点B的坐标为(,0),AB25269,AC225,BC24009.
于是AB2AC2BC2.∴当a214时,△ABC为直角三角形.
22〈〉当ACABBC时,∠ABC=90°.
222由ACABBC,得25(169a28a9)(169a216).
解得a当a4949.
43a432时,493,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
〈〉当BCACAB时,∠BAC=90°.由BCACAB,得解得a4922222169a21625(169a28a9).
.不合题意.
14综合〈〉、〈〉、〈〉,当a时,△ABC为直角三角形.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=5,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.解:
(1)A(x21,0),B(x2,0).则x1,x2是方程x-mx+m-2=0的两根.
∵x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2;
又AB=x1x2=(x21+x2)4x1x25,∴m2-4m+3=0.
解得:
m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.yC
(2)M(a,b),则N(-a,-b).∵M、N是抛物线上的两点,
2M∴amam2b,①
xa2mam2b.②ON①+②得:
-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.∴a2m.
这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为(0,2-m),而S△MNC=27,∴2
12(2-m)2m=27.∴解得m=-7.
12.已知:
抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为
求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果
且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:
在抛物线的对称轴上长最小若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解法一:
(1)依题意,抛物线的对称轴为x=-2.∵抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
-7-
一底的梯形ABCD的面积为9,
点E在
(2)中的抛物线上,是否存在点P,使△APE的周
(2)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.
∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面积为9,∴∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=x24ax3.(3)设点E坐标为(x0,y0).依题意,x0<0,y0<0,且
y0x0=5212(ABCD)OD=9.∴
12(2+4)3a=9.
.∴y0=-52x0.
①设点E在抛物线y=x2+4x+3上,
2∴y0=x0+4x0+3.
15x=,0x0=6,y0=-x0,2解方程组得2y=15;50y=x2+4x+3y=.00004∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴点E坐标为(12,
54).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小.∵AE长为定值,∴要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小.∴点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0),∴由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n,15m=,1m+n=,2∴24解得3-3m+n=0.n=.2∴直线BE的解析式为y=∴点P坐标为(-2,
1212x+32.∴把x=-2代入上式,得y=12.
).
2②设点E在抛物线y=x24x3上,∴y0=x04x03.
5x0,3y0=-2解方程组消去y0,得x0x0+3=0.22y=x24x3.000∴△<0.∴此方程无实数根.综上,在抛物线的对称轴上存在点P(-2,解法二:
(1)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax2+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).∵梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线
y=ax+4ax+3a上,
212),使△APE的周长最小.
∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.
∵梯形ABCD的面积为9,∴(AB+CD)OD=9.解得OD=3.
21∴3a=3.∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x+4x+3或y=-x-4x-3.
(3)同解法一得,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.∴如图,过点E作EQ⊥x轴于点Q.设对称轴与x轴的交由PF∥EQ,可得
BFBQ=PFEQ1222点为F.
.∴
152=PF54.∴PF=12.
∴点P坐标为(-2,以下同解法一.
).
13.已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过
点,第三个顶点落在矩程).
解:
(1)设抛物线的解析式ya(x1)(x2),
∴2a1
(2).∴a1.∴yx2x2.其顶点M的坐标是1,9.24
(2)设线段BM所在的直线的解析式为ykxb,点N的坐标为N(t,h),
02kb,∴91.解得k3,b342.
2kb.∴线段BM所在的直线的解析式为y32x3.∴h32t3,其中
12t2.∴s121212(223t3)t34t212t1.
∴s与t间的函数关系式是S3114t22t1,自变量t的取值范围是
2t2.
(3)存在符合条件的点P,且坐标是P573512,4,P2,2.4设点P的坐标为P(m,n),则nm2m2.
PA2(m1)2n2,PC2m2(n2)2,AC25.
分以下几种情况讨论:
i)若∠PAC=90°,则PC2PA2AC2.
∴nm2m2,
m2(n2)2(m1)2n25.解得:
m152,m21(舍去).∴点P15,74.
2
ii)若∠PCA=90°,则PA2PC2AC2.
2nmm2,∴
2222(m1)nm(n2)5.解得:
m3353.∴点P2,-.,m40(舍去)
242iii)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,PAAC,所以边AC的对角∠APC不可能是直角.
(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上,如图a,此
时未知顶点坐标是点D(-1,-2),
以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未知顶点坐标是E12,,55F,548.5
图a图b
14.已知二次函数y=ax-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个
数.
解:
根据题意,得a-2=-1.
∴a=1.∴这个二次函数解析式是y=x2.
因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x轴有两个交点.
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,
线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图
(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图
(2).
22
(1)求出图
(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:
21.4,计算结果精确到1米).解:
(1)由于顶点C在y轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
2y=ax+910559185因为点A(,0)(或B(,0))在抛物线上,所以0=a()2+,得a=-.
22210125.
因此所求函数解析式为y=-
(2)因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为(-545454918125x+2910920(52x18125522).91020,所以
920-x+54,得x=2,
920542.
2,),点E的坐标为().
所以DE=2-
(2)=522.
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
522110000.01=275.2385(米)
16.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图.二次函数
y=ax+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
2
(1)a、c的符号之间有何关系
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证
a、c互为倒数;
(3)在
(2)的条件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.解:
(1)a、c同号.或当a>0时,c>0;当a<0时,c<0.
(2)证明:
设点A的坐标为(x1,0),点B的坐标为(x2,0),则0<x1<x2.∴OAx1,OBx2,OCc.
2据题意,x1、x2是方程ax+bx+c0(a0)的两个根.∴x1x2ca.
由题意,得OAOB=OC2,即=c=c2.
ac2所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时,a、c互为倒数.(3)当b4时,由
(2)知,x1+x2=-ba=4a>0,∴a>0.
解法一:
AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)24x1x2,∴AB42c()-4()aa23a164aca223a.
∵AB43,∴=43.得a12.∴c=2.
解法二:
由求根公式,x=4164ac2a=41642a=2a3,
∴x1=2a3,x2=2a3.
∴AB=OB-OA=x2-x1=2a3-2-3a12=23a.
∵AB=43,∴
3323a3=43,得a=.∴c=2.
17.如图,直线yx分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式:
(3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.
解:
(1)连结EC交x轴于点N(如图).∵A、B是直线y33x3
分别与x轴、y轴的交点.∴A(3,0),B(0,3).
的中点.∴EC⊥OA.
又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是∴ON12OA32,ENOB232.
连结OE.∴ECOE3.∴NCECEN32.∴C点的坐标为(,2332).
(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3.∵C(∴y32,322).∴23832a33(3)22.∴a293.
239xx为所求.33(3)∵tanBAO,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°.
12ABO126030.
由
(1)知∠OBD=∠ABD.∴OBD∴OD=OBtan30°-1.∴DA=2.
∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.∴△ADP是等边三角形.∴∠DAP=60°.
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直线PA是⊙E的切线.
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