高中数学第二章圆锥曲线与方程221椭圆及其标准方程2学案新人教A版选修21.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程221椭圆及其标准方程2学案新人教A版选修21
2.2.1 椭圆及其标准方程
(二)
学习目标
加深理解椭圆定义及标准方程,能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么?
答案 标准方程的几何特征:
椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.
标准方程的代数特征:
方程右边为1,左边是关于
与
的平方和,并且分母为不相等的正值.
思考2 依据椭圆方程,如何确定其焦点位置?
答案 把方程化为标准形式,与x2,y2相对应的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.
思考3 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单?
并写出求解过程.
答案
(1)如图所示,以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.
(2)设点:
设点M(x,y)是椭圆上任意一点,且椭圆的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
(3)列式:
依据椭圆的定义式|MF1|+|MF2|=2a列方程,并将其坐标化为
+
=2a.①
(4)化简:
通过移项、两次平方后得到:
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),为使方程简单、对称、便于记忆,引入字母b,令b2=a2-c2,可得椭圆标准方程为
+
=1(a>b>0).②
(5)从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之和为2a,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知,方程②是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程.
梳理
(1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置
形状、大小
焦点坐标
标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0,b2=a2-c2,焦距为2c
F1(-c,0),F2(c,0)
+
=1(a>b>0)
焦点在y轴上
F1(0,-c),F2(0,c)
+
=1(a>b>0)
(2)方程Ax2+By2=1表示椭圆的充要条件是A>0,B>0且A≠B.
(3)椭圆方程中参数a,b,c之间的关系为a2=b2+c2.
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求焦点在坐标轴上,且经过A(
,-2)和B(-2
,1)两点的椭圆的标准方程.
解 方法一
(1)当焦点在x轴上时,
设椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为
+
=1.
(2)当焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),
依题意有
解得
此时不符合a>b>0,所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为
+
=1.
方法二 设所求椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B),
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为
+
=1.
反思与感悟 求解椭圆的标准方程,可以利用定义,也可以利用待定系数法,选择求解方法时,一定要结合题目条件,其次需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(-
,
);
(2)焦点在y轴上,且经过两点(0,2)和(1,0).
解
(1)∵椭圆的焦点在y轴上,
∴设它的标准方程为
+
=1(a>b>0).
由椭圆的定义知:
2a=
+
=2
,即a=
.
又c=2,∴b2=a2-c2=6.
∴所求的椭圆的标准方程为
+
=1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,
∴设它的标准方程为
+
=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0),
∴
∴
∴所求的椭圆的标准方程为
+x2=1.
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹.
解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则x=x0,y=
.因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以x
+y
=4.①
把x0=x,y0=2y代入方程①,
得x2+4y2=4,即
+y2=1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.
引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”,改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么?
解 设M(x,y),P(x0,y0),
则x
+y
=4,(*)
代入(*)式得
+x2=1.
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.
反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动,则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为
(1)设点:
设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1,y1).
(2)求关系式:
用点P的坐标表示出点Q的坐标,即得关系式
(3)代换:
将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可.
跟踪训练2 如图所示,B点坐标为(2,0),P是以O为圆心的单位圆上的动点,∠POB的平分线交直线PB于点Q,求点Q的轨迹方程.
解 由三角形角平分线性质得
=
=2.
∴
=2
.
设Q(x,y),P(x0,y0),则(x-2,y)=2(x0-x,y0-y),
∴
∴
又∵点P在单位圆x2+y2=1上.
∴(
)2+(
y)2=1.
∴点Q的轨迹方程为
+
y2=1.
1.方程
+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为( )
A.(1,+∞)B.(
,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1)
答案 A
解析 因为焦点在x轴上,故m>1,故选A.
2.设B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为( )
A.
+
=1(y≠0)B.
+
=1(y≠0)
C.
+
=1(y≠0)D.
+
=1(y≠0)
答案 A
解析 由已知|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.由椭圆的定义可知,点A的轨迹是椭圆的一部分,且2a=10,2c=8,即a=5,c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9,则椭圆方程为
+
=1.当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形.因此,顶点A的轨迹方程是
+
=1(y≠0).
3.已知椭圆E:
+
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为____________.
答案
+
=1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②得
+
=0,
∴kAB=
=-
,
由题意,得x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB=
,
又kAB=
=
,∴
=
,
又c2=a2-b2=9,∴b2=9,a2=18,
∴椭圆E的方程为
+
=1.
4.在椭圆
+y2=1中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1,再次被椭圆反射后又回到F2,则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_______.
答案 4
解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为4a,即4
.
5.△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程.
解 以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立直角坐标系,
设A(-3,0),C(3,0),B(x,y),
则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12,
∴B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,
且a′=6,c′=3,b′2=27.
故所求的轨迹方程为
+
=1(y≠0).
1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表:
标准方程
+
=1(a>b>0)
+
=1(a>b>0)
不同点
图形
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
相同点
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
a、b、c的关系
a2=b2+c2
2.所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点;在
+
=1与
+
=1这两个标准方程中,都有a>b>0的要求,如方程
+
=1(m>0,n>0,m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与直线截距式
+
=1类比,如
+
=1中,由于a>b,所以在x轴上的“截距”更大,因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小).
要区别a2=b2+c2与习惯思维下的勾股定理c2=a2+b2.
40分钟课时作业
一、选择题
1.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方程mx2+ny2=1,即
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为
即m>n>0.故选C.
2.到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是( )
A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对
答案 B
解析 ∵|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|,
∴M的轨迹是以F1,F2为端点的线段,故选B.
3.椭圆
+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于( )
A.
B.
C.
D.4
答案 C
解析 不妨设F1的坐标为(
,0),P点坐标为(x0,y0),
∵PF1与x轴垂直,∴x0=
.
把x0=
代入椭圆方程
+y2=1,得y
=
.
∴|PF1|=
.∴|PF2|=4-|PF1|=
.
4.已知椭圆
+
=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆B.椭圆C.线段D.直线
答案 B
解析 由题意知|PO|=
|MF2|,|PF1|=
|MF1|,
又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆.
5.如果方程
+
=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3B.a<-2
C.a>3或a<-2D.a>3或-6 答案 D 解析 焦点在x轴上,则标准方程中x2项的分母应大于y2项的分母,即a2>a+6,解得a>3或a<-2,且x2,y2项分母应分别大于0,综上,a>3或-6 6.已知椭圆 + =1上有一点P,F1,F2是椭圆的左,右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( ) A.3个B.4个C.6个D.8个 答案 C 解析 当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个. 二、填空题 7.已知椭圆 + =1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点的距离为7,则m=________. 答案 25 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴a=5, ∴a2=25,即m=25. 8.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆 +y2=1上的点,
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- 高中数学 第二 圆锥曲线 方程 221 椭圆 及其 标准 新人 选修 21