初中数学竞赛教程汇总.docx
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初中数学竞赛教程汇总
七年级
第一讲有理数
(一)
一、【能力训练点】
1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。
2、有理数的两种分类:
3、有理数的本质定义,能表成m(n0,m,n互质)。
n
4、性质:
①顺序性(可比较大小);
2四则运算的封闭性(0不作除数);
3稠密性:
任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质:
-a(a0)
②非负性(|a|0,a20)
①|a|')
a(a0)
③非负数的性质:
i)非负数的和仍为非负数。
ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。
、【典型例题解析】
1.如果m是大于1的有理数,那么m—定小于它的()
A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方
2.已知两数a
b互为相反数,c、
d互为倒数,x的绝对值是2,求
22006
x(abcd)x(ab)
(cd)2007的值。
3.如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置,如下图所示,
A.2aB.2aC.0D.2b
那么|ab||ab|化简的结果等于()
“6h*
4.有3个有理数a,b,c,两两不等,那么
中有几个负数?
K
5.设三个互不相等的有理数,既可表示为1,ab,a的形式式,又可表示为0,—,b的形式,求
a
2006,2007
ab。
6.三个有理数a,b,c的积为负数,和为正数,且X
|ab||be||ac|
abbeac
ax3bx2cx1的值是多少?
|ab||bc|的值。
7.若a,b,c为整数,且|ab|2007|ca|20071,试求|ca|
第二讲有理数
(二)
」、【能力训练点】:
1、绝对值的几何意义
①|a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。
②|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
•试化简|x1||x2|
1•若2a0,化简|a2||a2|2
3.若|x5|
|x2|7,求x的取值范围。
4.已知f(x)|x1|
|x2||x3|L
|x2002|求f(x)的最小值。
5•若|ab1|与(a
2
b1)互为相反数,求3a2b1的值。
6.如果abc0,求回凹凹的值。
abc
7.x是什么样的有理数时
|(x2)(x4)||x2||x4|等式成立?
第三讲有理数(三)
【能力训练点】
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧:
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】
:
2
1•计算:
0.71—
3
6.62.2
7
0.7—
3.3-
11
7
3
11
8
①凑整(凑0);②巧用分配律③去、添括号法则;④裂项法
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1,
2.(1丄
1L
—)
(—_
1L
—)
(1L
—)
(-
—
L
2
3
1996
23
4
1997
2
3
1997
2
3
4
1
1996
3.计算:
Sn
221321421
221321421
n21
n21
1234n
4.比较〈24316L歹与2的大小。
1
5.计算
(1)-
4
111
2870130
1
208
2
99101
第四讲代数式
(一)
(2)代数式的意义;
-、【能力训练点】:
(1)列代数式;
(3)代数式的求值(整体代入法)
二、【典型例题解析】:
1.求代数式的值:
(1)已知2ab5,求代数式2(2ab)3(ab)的值。
abab2ab
22
(2)已知x2y5的值是7,求代数式3x6y4的值。
(3)已知113,求2a2bab的值。
baab2ab
(4)已知:
当x1时,代数式Px3qx1的值为2007,求当x1时,代数式Px3qx1的值。
(5)已知等式(2A7B)x(3A8B)8x10对一切x都成立,求A、B的值。
(6)已知(1x)2(1x)abxex2dx3,求abed的值。
(7)当多项式m2m10时,求多项式m32m22006的值。
2.
已知多项式2y5x29xy23x3nxy2
my7经合并后,不含有y的项,求2m
n的值。
3.当50(2a3b)2达到最大值时,求14a2
2
9b的值。
4.若a,b,e互异,且
,求xyZ的值。
ea
22
5.已知mmn15,mnn
29
6,求3mmn2n的值。
6.已知abe
1,求
a
aba1
beb1
的值。
aee1
7.已知ab1,比较MN的大小。
8.已知x2x10,求x32x1的值。
x
9.已知—
yz
K,求K的值。
xy
10.a355,b
44
4,c
533,比较a,b,c的大小。
11.已知2a2
3a5
0,求4a412a39a210的值。
第五讲一元一次方程
(一)
一、【能力训练点】:
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。
二、【典型例题解析】:
1.能否从(a2)xb3;得到x,为什么?
反之,能否从
a2
为什么?
得到(a2)xb3,a2
2.若关于x的方程
2kxm
3
xnk
2,无论K为何值时,它的解总是x1,求m、n的值。
6
3.若(3x1)5a5x5a4x4L
a-ix
a°。
求a5
a4
a3a2
a1
a的值。
11
4.已知x1是方程一mx3x—的解,求代数式(m27m9)2007的值。
22
5.关于x的方程(2k1)x6的解是正整数,求整数K的值。
6.关于x的一元一次方程(m21)x2(m1)x80求代数式200(mx)(x2m)m的值。
7.解方程丄——Lx2006
12233420062007
8.当a满足什么条件时,关于x的方程|x2||x5|a,①有一解;②有无数解;③无解。
第六讲一元一次方程
(2)
一、【能力训练点】:
1、列方程应用题的一般步骤。
2、禾U用一元一次方程解决社会关注的热点问题(如经济问题、禾U润问题、增长率问题)
二、【典型例题解析】
1.要配制浓度为20%勺硫酸溶液100千克,今有98%勺浓硫酸和10%勺硫酸,问这两种硫酸分别应各取
多少千克?
2•一项工程由师傅来做需8天完成,由徒弟做需16天完成,现由师徒同时做了4天,后因师傅有事离开,余下的全由徒弟来做,问徒弟做这项工程共花了几天?
3•某市场鸡蛋买卖按个数计价,一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋,但在贩运途中不慎碰坏了12个,
剩下的蛋以每个0.28元售出,结果仍获利
11.2元,问该商贩当初买进多少个鸡蛋?
4.一个三位数,十位上的数比个位上的数大
4,个位上的数比百位上的数小2,若将此三位数的个位与
百位对调,所得的新数与原数之比为7:
4,求原来的三位数?
11
5•一个容器内盛满酒精溶液,第一次倒出它的后,用水加满,第二次倒出它的后用水加满,这时容
32
器中的酒精浓度为25%求原来酒精溶液的浓度。
6.某中学组织初一同学春游,如果租用45座的客车,则有15个人没有座位;如果租用同数量的60座的
客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满,已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车
日租金为每辆300元,问租用哪种客车更合算?
租几辆车?
7.有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机,6天可抽干池水,若用21部A
型抽水机13天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用多少部A型抽水机抽水?
第七讲:
线段和角
【能力训练点】:
数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n个点,可以得到多少条线段?
A3CB
分析:
点
线段
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
615=1+2+3+4+5
n1+2+3+
+(n-1)=
问题2.如图,在/AOB内部从0点引出两条射线
OC0D则图中小于平角的角共有(
)个
(A)3(B)4(C)5(D)6
拓展:
1、在/AOB内部从0点引出射线角
13=1+2
26=1+2+3
310=1+2+3+4
n条射线图中小于平角的角共有多少个?
n1+2+3+
+(n+1)=
类比:
从0点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?
射线角
21
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
nn1
n
1+2+3+
…+(n-1)=
类比联想:
如图,可以得到多少三角形?
(二)与线段中点有关的问题
线段的中点定义:
文字语言:
若一个点把线段分成相等的两部分,那么这个点叫做线段的中点
AMB
图形语言:
几何语言:
•••M是线段AB的中点
1
二AMBM—AB,2AM2BMAB
2
【典型例题】:
1.由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是()
11
(A)AP=—AB(B)AB=2PB(C)AP=PB(D)AP=PB=—AB
22
1
2.若点B在直线AC上,下列表达式:
①AB-AC:
②AB=BC③AC=2AB④AB+BC=AC
2
其中能表示B是线段AC的中点的有(
A.1个
1
3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=_AB;②AB=2BC③AC=BC④AC+BC=AB^,能表示C是AB中点
的有(
A.1个
B.2
个C.3
个D.4个
第八讲:
与三角形有关的线段
一、【能力训练点】:
1•三角形的边
三角形三边定理:
三角形两边之和大于第三边
即:
△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b(两点之间线段最短)
由上式可变形得到:
a>c—b,b>a—c,c>b—a
即有:
三角形的两边之差小于第三边
2.高:
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3.中线:
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段,称为三角形的中线
4.角平分线:
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
二、【典型例题】
1•已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是()
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