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常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理
我们知道,如果/C=90°,a、b、c是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a2+b2=c2;反之,若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形,c为斜边.与此相类似,如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数,记为(a,b,c).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:
一、三数为连续整数的勾股数
(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢?
设三数为连续整数的勾股数组为(x-1,x,x+1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x2=(x+1)2,解得x=4或x=0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数
易知:
(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢?
a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).
分别取n=1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,
24,25),…
三、前两数为连续整数的勾股数
你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,40
60,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为:
(x,x+
1,2x22x1)(x为正整数)
设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+l,y),y=._2x22x1则x2x12y2严)
整理,得2x22x1=y2,化为2x122y21,即2x1..2y2x1、2y=-
1,
———2n1—2n1
又1,212=-l,A1212=-l(nN),
故取2x1,.2y=1,22n1,2x1..2y=1...22n1,
解之,得x=1〔1.22n1+1、.22n1—2〕,〔1...22n1-1.、22厂丨,
44
四、后两数为连续奇数的勾股数
如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为:
4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).
五、其它的勾股数组公式:
1.a=2m,b=m-1,c=m2+1(m大于1的整数)2a=1(ri-n2),b=mn,c=-(m+n2)22
(其中m>r且是互质的奇数).
3.a=2m,b=R-n2,c=m2+n2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)
F面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:
345;512
13;
6810;
72425;81517;9
1215;
940
41;102426;116061;
12
1620;
123537;
13
8485;
14
4850;
15
2025
;15
3639;15112
113;
16
3034;
16
6365
17144145;
18
2430;
18
8082;
19
180
181;
202129;20
4852;
2099101;212835
217275
;21
220221;22
120122;23
264265;24
3240;
24
4551
;24
7074;24143145
256065
;25
312313;26
168170;27
3645;27120
123;27364
365;
284553;2896100
28195
197;
29420421;
304050;30
7278;30224226;
31
480
481;
326068;32
126130
32255
257;
334455;33
5665;33180183;33544545;
34
288
290;
358491;35
120125
35612
613;
364860;36
7785;36105111;36160164;
36
323
325;
37684685;
38360362
395265
;39
8089;39252255;39760761;4042
58;4075
85;4096104;40198
202
40399
401;
41840841;
425670;42
144150;42
440442;
43
924
925;
44117125;
44240244
44483
485;
456075;45
108117;45
200205;45
336339;
46
528
530;
485573;48
6480
4890102;48
140148;48
189195;48
286290;48
575577;
49
168
175;
50120130;
50624626
516885
;51
140149;51
432435;52
165173;52
336340;
52
675
677;
547290;54
240246
54728
730;
55132143;
55300305;
5690106;56
105119;
56
192
200;
56390394;
56783785
577695
;57176185;57540543;58840842;606387;6080
100;6091109;60144156
901;
62960
962;
6384105
;63
216
22
5
63280
287;63
660
663;64
120
136;
64
252
260;
64
510
514;
657297;
65
156169;65
420
42
5
668811
0;66112130;66360366;68
28
5293;68
576580;
9211
5;69260269;69792795
70168
182;70
240
250;72
9612
0;72
13
5153;72
154170;
210
222;72
320
328;72
429
435
72646
650;75
100
125;75
180
195;
75
308
317;
75
560
565;
75936
939;
76357
365;
76720
724
77264
275;77
420
427;78
104
130;
78
160
178;
78
504
510;
8084116
;80
150170;80
192
20
8
80315
325;80
396
404;80
798
802;
81
108
135;
81
360
369;
84112
140;
84135
159;
84187
205
84245
259;84
288
300;84
437
445;
84
585
591;
84
880
884;
85132
157;
85204
221;
85720
725
87116
145;87
416
425;88
105
137;
88
165
187;
88
234
250;
88480
488;
88966
970;
90120
150
90216
234;90
400
410;90
672
678;
91
312
325;
91
588
595;
92525
533;
93124
155;
93476
485
95168
193;95
228
247;95
900
905;
96
110
146;
96
128
160;
96180
204;
96247
265;
96280
296
96378
390;96
572
580;96
765
771;
98
336
350;
99
132
60175185;60221229;60297303;60448452;60899
72
165;99168195;99440451;99540549
100105145;100240260;100495505;100621629.以下是大于100的勾股数:
第223组:
102
136
170
第224组:
102
280
298
第225组:
102
864
870
第226组:
104
153
185
第227组:
104
195
221
第228组:
104
330
346
第229组:
104
672
680
第230组:
105
140
175
第231组:
105
208
233
第232组:
105
252
273
第233组:
105
360
375
第234组:
105
608
617
第235组:
105
784
791
第236组:
108
144
180
第237组:
108
231
255
第238组:
108
315
333
第239组:
108
480
492
第240组:
108
725
733
第241组:
108
969
975
第242组:
110
264
286
第243组:
110
600
610
第244组:
111
148
185
第245组:
111
680
689
第246组:
112
180
212
第247组:
112
210
238
第248组:
112
384
400
第249组:
112
441
455
第250组:
112
780
788
第251组:
114
152
190
第252组:
114
352
370
第253组:
115
252
277
第254组:
115
276
299
第255组:
116
837
845
第256组:
117
156
195
第257组:
117
240
267
第258组:
117
520
533
第259组:
117
756
765
第260组:
119
120
169
第261组:
119
408
425
第262组:
120
126
174
第263组:
120
160
200
第264组:
120
182
218
第265组:
120
209
241
第266组:
120
225
255
第267组:
120
288
312
第268组:
120
350
370
第269组:
120
391
409
第270组:
120
442
458
第271组:
120
594
606
第272组:
120
715
725
第273组:
120
896
904
第274组:
121
660
671
第275组:
123
164
205
第276组:
123
836
845
第277组:
124
957
965
第278组:
125
300
325
第279组:
126
168
210
第280组:
126
432
450
第281组:
126
560
574
第282组:
128
240
272
第283组:
128
504
520
第284组:
129
172
215
第285组:
129
920
929
第286组:
130
144
194
第287组:
130
312
338
第288组:
130
840
850
第289组:
132
176
220
第290组:
132
224
260
第291组:
132
351
375
第292组:
132
385
407
第293组:
132
475
493
第294组:
132
720
732
第295组:
133
156
205
第296组:
133
456
475
第297组:
135
180
225
第298组:
135
324
351
第299组:
135
352
377
第300组:
135
600
615
第301组:
136
255
289
第302组:
136
273
305
第303组:
136
570
586
第304组:
138
184
230
第305组:
138
520
538
第306组:
140
147
203
第307组:
140
171
221
第308组:
140
225
265
第309组:
140
336
364
第310组:
140
480
500
第311组:
140
693
707
第312组:
140
975
985
第313组:
141
188
235
第314组:
143
780
793
第315组:
143
924
935
第316组:
144
165
219
第317组:
144
192
240
第318组:
144
270
306
第319组:
144
308
340
第320组:
144
420
444
第321组:
144
567
585
第322组:
144
640
656
第323组:
144
858
870
第324组:
145
348
377
第325组:
145
408
433
第326组:
147
196
245
第327组:
147
504
525
第328组:
150
200
250
第329组:
150
360
390
第330组:
150
616
634
第331组:
152
285
323
第332组:
152
345
377
第333组:
152
714
730
第334组:
153
204
255
第335组:
153
420
447
第336组:
153
680
697
第337组:
154
528
550
第338组:
154
840
854
第339组:
155
372
403
第340组:
155
468
493
第341组:
156
208
260
第342组:
156
320
356
第343组:
156
455
481
第344组:
156
495
519
第345组:
156
667
685
第346组:
159
212
265
第347组:
160
168
232
第348组:
160
231
281
第349组:
160
300
340
第350组:
160
384
416
第351组:
160
630
650
第352组:
160
792
808
第353组:
161
240
289
第354组:
161
552
575
第355组:
162
216
270
第356组:
162
720
738
第357组:
165
220
275
第358组:
165
280
325
第359组:
165
396
429
第360组:
165
532
557
第361组:
165
900
915
第362组:
168
224
280
第363组:
168
270
318
第364组:
168
315
357
第365组:
168
374
410
第366组:
168
425
457
第367组:
168
490
518
第368组:
168
576
600
第369组:
168
775
793
第370组:
168
874
890
第371组:
170
264
314
第372组:
170
408
442
第373组:
171
228
285
第374组:
171
528
555
第375组:
171
760
779
第376组:
174
232
290
第377组:
174
832
850
第378组:
175
288
337
第379组:
175
420
455
第380组:
175
600
625
第381组:
176
210
274
第382组:
176
330
374
第383组:
176
468
500
第384组:
176
693
715
第385组:
176
960
976
第386组:
177
236
295
第387组:
180
189
261
第388组:
180
240
300
第389组:
180
273
327
第390组:
180
299
349
第391组:
180
385
425
第392组:
180
432
468
第393组:
180
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555
第394组:
180
663
687
第395组:
180
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820
第396组:
180
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第397组:
182
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650
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第399组:
184
345
391
第400组:
184
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545
第401组:
185
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481
第402组:
185
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697
第403组:
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970
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第407组:
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861
第409组:
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386
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190
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292
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192
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192
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592
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第429组:
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第430组:
200
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641
第431组:
201
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335
第432组:
203
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445
第433组:
203
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第434组:
204
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325
第435组:
204
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第436组:
204
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596
第437组:
204
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629
第438组:
204
855
879
第439组:
205
492
533
第
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