1920学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数第3课时不同函数增长的差异教师用书.docx
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1920学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数第3课时不同函数增长的差异教师用书
第3课时 不同函数增长的差异
考点
学习目标
核心素养
函数模型的增长差异
了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型,
了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义
数学抽象、数学建模
函数模型的选取
能根据具体问题选择函数模型,构建函数模型求解问题
数学建模
问题导学
预习教材P136-P138,并思考以下问题:
1.函数y=kx(k>0)、y=ax(a>1)和y=logax(a>1)在(0,+∞)上的单调性是怎样的?
2.函数y=kx(k>0)、y=ax(a>1)和y=logax(a>1)的增长速度有什么不同?
三种函数模型的性质
y=kx(k>0)
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
在(0,+∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
趋势
一条直线
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
增长速度
(1)y=ax(a>1)随着x的增大,y增长速度越来越快,即使k的值远远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度
(2)y=logax(a>1)随着x的增大,y增长速度越来越慢,不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.( ) (2)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( ) (3)当a>1,k>0时,对∀x∈(0,+∞),总有logax 答案: (1)√ (2)× (3)× 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( ) A.y=exB.y=lnx C.y=2xD.y=e-x 答案: A 已知y1=2x,y2=2x,y3=log2x,当2 A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1 答案: A 某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( ) A.y=ax+bB.y=ax2+bx+c C.y=a·ex+bD.y=alnx+b 解析: 选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c. 函数模型的增长差异 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是________. 【解析】 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化. 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2. 【答案】 y2 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型: 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型: 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型: 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. 四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.f1(x)=x2B.f2(x)=2x C.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x 解析: 选D.由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大.故选D. 函数模型的选取 某汽车制造商在2019年初公告: 公司计划2019年的生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示: 年份 2016 2017 2018 产量 8(万) 18(万) 30(万) 如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型: 二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系? 【解】 建立生产量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入, 可得 解得a=1,b=7,c=0, 则f(x)=x2+7x, 故f(4)=44, 与计划误差为1. (2)构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入, 可得 解得a= ,b= ,c=-42, 则g(x)= × -42, 故g(4)= × -42=44.4, 与计划误差为1.4. 由 (1) (2)可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系. 不同函数模型的选取标准 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律: (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律; (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律; (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律; (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律. 某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案: 在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随生源利润x(单位: 万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型: y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求? 解: 作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求. 1.下列函数中,增长速度越来越慢的是( ) A.y=6xB.y=log6x C.y=x6D.y=6x 解析: 选B.D中一次函数的增长速度不变,A、C中函数的增长速度越来越快,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意. 2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型B.二次函数模型 C.指数函数模型D.对数函数模型 解析: 选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型. 3.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据: x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数: ①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02; ③y=x2-5.5x+8;④y=log2x. 请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________. 解析: 画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④. 答案: ④ 4.已知函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 解: (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, C2对应的函数为f(x)=lgx. (2)当x∈(0,x1)时, g(x)>f(x), 当x∈(x1,x2)时, g(x) 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). [A 基础达标] 1.在同一坐标系中画出函数y=logax,y=ax,y=x+a的图象,正确的是( ) 解析: 选D.函数y=ax与y=logax的单调性相同,由此可排除C;直线y=x+a在y轴上的截距为a,则选项A中01,显然y=ax的图象不符,排除A,B,故选D. 2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析: 选C.小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C. 3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( ) A.y=2x-2 B.y= C.y=log2xD.y= (x2-1) 解析: 选D.法一: 相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6,基本上是逐渐增加的,二次曲线拟合程度最好,故选D. 法二: 比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选D. 4.据统计,某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万,则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是( ) A.y=0.2xB.y= (x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 解析: 选C.对于A,当x=3时,y=0.6,与0.76差距较大,故排除A;对于B,当x=3时,y=1.5,与0.76差距较大,故排除B;对于D,当x=3时,y=0.2+log163≈0.6,与0.76差距较大,故排除D,故选C. 5.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x) 解析: 选B.由函数性质可知,在(4,+∞)内,指数函数g(x)=2x增长速度最快,对数函数h(x)=log2x增长速度最慢,所以g(x)>f(x)>h(x). 6.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲: y=x2+1,乙: y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型. 解析: 把x=1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型,经比较发现模型甲较好. 答案: 甲 7.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(1,+∞)上增长较快的一个是________. 解析: 当x变大时,x比lnx增长要快, 所以x2要比xlnx增长得要快. 答案: y=x2 8.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;C对应________;D对应________. 解析: A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与④对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与①对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为: C容器快,与③对应,D容器慢,与②对应. 答案: ④ ① ③ ② 9.画出函数f(x)= 与函数g(x)= x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. 解: 函数f(x)与g(x)的图象如图所示: 根据图象易得: 当0≤x<4时,f(x)>g(x); 当x=4时,f(x)=g(x); 当x>4时,f(x) 10.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下: 方案一: 每年植树1万平方米; 方案二: 每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好? 解: 方案一: 5年后树木面积为10+1×5=15(万平方米). 方案二: 5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米),因为15.386>15,所以方案二较好. [B 能力提升] 11.以下四种说法中,正确的是( ) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的x>0,xn>logax C.对任意的x>0,ax>logax D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax 解析: 选D.对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于B、C,当01,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立. 12.如图 所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系: y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象. 有以下说法: ①第4个月时,剩留量就会低于 ; ②每月减少的有害物质质量都相等; ③当剩留量为 , , 时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3. 其中所有正确说法的序号是________. 解析: 由于函数的图象经过点 ,故函数的关系式为y= . 当t=4时,y= < ,故①正确;当t=1时,y= ,减少 ,当t=2时,y= ,减少 ,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y= , , ,解得t1=log ,t2=log ,t3=log ,t1+t2=t3,故③正确. 答案: ①③ 13.某国2013年至2016年国内生产总值(单位: 万亿元)如下表所示: 年份 2013 2014 2015 2016 x(年份代码) 0 1 2 3 生产总值y (万亿元) 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398 (1)画出函数图象,猜想y与x之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式; (2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较; (3)利用关系式预测2030年该国的国内生产总值. 解: (1)画出函数图象,如图所示. 从函数的图象可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 把直线经过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式,解得k=0.6777,b=8.2067. 所以函数关系式为y=0.6777x+8.2067. (2)由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为 0.6777×1+8.2067=8.8844(万亿元), 0.6777×2+8.2067=9.5621(万亿元). 与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元. (3)2030年,即x=17时,由 (1)得y=0.6777×17+8.2067=19.7276(万亿元), 即预测2030年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元. 14.某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2018年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一: f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log x+a. (1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式; (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2024年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2024年的年产量. 解: (1)符合条件的是f(x)=ax+b, 若模型为f(x)=2x+a, 则由f (1)=21+a=4, 得a=2, 即f(x)=2x+2, 此时f (2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合. 若模型为f(x)=log x+a, 则f(x)是减函数,与已知不符合. 由已知得 解得 所以f(x)= x+ ,x∈N. (2)2024年预计年产量为f(7)= ×7+ =13, 2024年实际年产量为13×(1-30%)=9.1, 故2024年的年产量为9.1万件.
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