苏教版九年级数学下二次函数期末复习练习与三角形存在性问题.docx
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苏教版九年级数学下二次函数期末复习练习与三角形存在性问题.docx
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苏教版九年级数学下二次函数期末复习练习与三角形存在性问题
二次函数专题-三角形存在性问题
一、二次函数与等腰三角形
二次函数与等腰三角形问题主要考查数形结合思想和综合分析问题的能力,这类问题主要是以一点
(或以一条线段)为依托,动点和函数思想相结合的几何图形为背景,动点为元素,构造动态型几何问题.
本类题型考察的方向有两个;①考查“分类讨论”的基本思想;②考查“函数与方程的思想”.分类讨论主要讨论谁为腰谁为底,然后利用两腰相等通过勾股定理建立方程.
解决此类问题的本质思路:
两圆一线.
二、二次函数与直角三角形
解决二次函数中直角三角形存在性问题的方法:
1.找点:
在已知两定点,确定第三点构成直角三角形时,要么以两定点为直角顶点,要么以动点为直角顶点;以定点为直角顶点时,构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时,以已知线段为直径构造圆找点.
三、二次函数与直角三角形
解答三角形相似的存在性问题时,要具备分类讨论的思想及数形结合思想,要先找出三角形相似的分类标准,一般涉及到动态问题要以静制动,动中求静,具体如下:
(1)假设结论成立,分情况讨论。
探究三角形相似时,往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)或涉及到动点问题,因动点问题中点的位置不确定,此时应考虑不同的对应关系,从而分情况讨论;
(2)确定分类标准:
在分类时,先要找出
分类的标准,看两个三角形是否有对应相等的角,若有,找出对应相等的角后,再根据
其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件;若没有,则分别按三种角来分类讨论;
(3)建立关系式并计算。
由相似三角形列出相应的比例式,将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算),整理可得一元一次方程或者一元二次方程,解方程可得字母的值,再通过计算得出相应的点的坐标;
五、二次函数与三角形的存在性问题
5.1.等腰三角形的存在性问题
练习1.
如图,抛物线
的顶点为E,该抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,直线
与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:
△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?
若存在,请直接写出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由。
练习2.
如图甲,直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B.点C,经过B. C两点的抛物线
与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当0 5.2.直角三角形的存在性问题 练习1. 如图,已知抛物线 与x轴交于B,E两点,与y轴交于点A,抛物线的对称轴是直线x=1,其顶点为D. (1)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,设点P的横坐标为t,是否存在点P使△PAE为直角三角形? 若存在,求出t的值;若不存在,说明理由 (2)若抛物线 与一直线交于点B,D(2,3)连接AB,在抛物线的对称轴上是否存在点E,使∠EBD=∠BAO,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由。 练习2. 如图所示,将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中,其顶点A. B均落在坐标轴上,一抛物线过点A. B,且顶点为P(1,4) (1)求抛物线的解析式; (2)点M为抛物线上一点,恰使△MOA≌△MOB,求点M的坐标; (3)y轴上是否存在一点N,恰好使得△PNB为直角三角形? 若存在,直接写出满足条件的所有点N的坐标;若不存在,请说明理由。 5.3.等腰直角三角形的存在性问题 练习1. 如图,抛物线 经过A(4,0),B(1,3)两点,点B. C关于抛物线的对称轴l对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形? 若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由。 练习2. 如图,已知直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线 经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒 个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒。 (1)求抛物线的解析式; (2)问: 当t为何值时,△APQ为等腰直角三角形; (3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标; (4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问: 是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似? 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由。 5.4.全等三角形的存在性问题 练习1. 如图,已知直线y=kx−6与抛物线 相交于A,B两点,且点A(1,−4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。 (1)求抛物线的解析式; (2)在 (1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。 5.5.相似三角形的存在性问题 练习1. 如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. C,经过B. C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2. (1)求该抛物线的解析式; (2)连接PB、PC,求△PBC的面积; (3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 练习2. 如图,抛物线 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C. (1)试求点A,B,C的坐标; (2)把△ABC绕AB的中点M旋转180°,得到△BAD. ①求点D的坐标; ②判断四边形ADBC的形状,并说明理由; (3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使以B,M,P为顶点的三角形与△BAD相似? 若存在,求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由. 练习3. 已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0),顶点为点D. (1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示); (2)如图①,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值; (3)如图②,当m取何值时,以A.D. C三点为顶点的三角形与△OBC相似? 练习4. 如图,抛物线 与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,点M为该抛物线的顶点,连接BC、CM、BM. (1)求该抛物线的解析式; (2)△BCM是直角三角形吗? 请说明理由; (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A. C为顶点的三角形与△BCM相似? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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