完整版第十章曲线积分与曲面积分练习题.docx
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完整版第十章曲线积分与曲面积分练习题
第十章曲线积分与曲面积分
§0.1对弧长曲线的积分
、判断题
b
1•若f(x)在(-,)内连续,贝yf(x)dx也是对弧长的曲线积分。
a
2•设曲线L的方程为x=(y)在[,]上连续可导则
Lf(x,y)dsf((y),y)J_r(y)]2dy
()
2)化为定积分
、填空题
1•将jx2y2)ds,其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(
的结果是
六、计算[(x2y2)nds,L为上半圆周:
x2y2R2(nN)
七、计算:
、e%yds,其中L为圆周Xy2
L3
、判断题
1.定积分也是对坐标的曲线积分。
2rxdyydx
2•"L2
Lx
二、填空题
’0,其中L为圆周x2
y
2
y1按逆时针方向转一周。
1.x3dx
3y2dyx2ydz=
,其中是从点A(1,2,3)到点B(0,
段ABo
2•化lP(x,y)dxQ(x,y)dy为对弧长的曲线积分结果是
其中L为沿y
()
)
0,0)的直线
'•x从点(0,
0)至U(1,1)的一段。
三、选择题
1.设曲线L是由A(a,0)到0(0,0)
的上半圆周
x2
y2ax,则
(exsinymy)dx(e
L2
ma
(A)0(B)
2
cosym)dy
2
(C)8
sint,0
()
(D)m
(A)o2(cost.sint
1—
(C)-2dt
20
四、计算I=(x2
1.OA为直线段y=x
sintcost)dt
2
a
4
方向按t
2
(B)可
0_J (D)o2(cos21sin2t)dt 2 增大的方向,贝ULxydy cost.sintsint.sint、“ ]dt 2 y)dxxydy,其中0为坐标原点,A的坐标为(1,1) 2.0A 为抛物线段yx2 xy2dx=() 五、计算lxy2dyx2ydx,L是从A(1,0)沿y•1x2到B(-1,0)的圆弧。 22 六、计算xydx,L为圆周xy2ax(a>0)取逆时针方向。 七、设方向依oy轴负方向,且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场,求质量 为m的质点沿抛物线1x 九、把lx2ydxxdy(L为y y2,从点A(1,0)移到B(0,1)时力场所做的功。 3 X上从A(-1,-1)至^B(1,1)的弧段)化为对弧长的曲线积分。 、判断题 1•闭区域D的边界按逆时针即为正向。 2.设P、Q在闭区域D上满足格林公式的条件,L是D的外正 QP (————)dxdy。 PdxQdy dxyL 向边界曲线,则 3.对单一积分[Pdx或[Qdy不能用格林公式。 4.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,P(x,y),Q(x,y) 上有一阶连续偏导数,则 (a) PQ : : PdxQdy()dxdy Ldxy (b) PQ QdyP(x,y)dx()dxdy dxy (c) Q(x,y)dy —dxdy x 填空题 3.设有二元函数i(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy,则 且u(x,y)= 三、选择题 1.设函数(x)连续(x>0,对x>0的任意闭曲线: 有.: c4x3ydx xf(x)dy0 且f (1)=2,则f(x)=() (A)4x312x224x 24 3 (B)4x 2rx 12x24x2410e (C)x3 (D) x31 x 2.设F(x,y)可微,如果曲线积分F(x,y)(xdxydy)与路径无关,贝F(x,y)应满足() C (A)yFy(x,y)xFx(x,y)(BFy(x,y)Fx(x,y) (CyFyy(x,y)xFxx(x,y)(DxFy(x,y)yFx(x,y) 2.设函数f(x)连续可微且f(0)=-2,曲线积分 则=() 为() (A)a=1,b=-1,u(x,y)=― xy (B)a=-1,b=1,u(x,y)=—2— xy (B)a=-1,b=-1,u(x,y)=(x2y2)2 x (D)a=-1,b=-1,u(x,y)=— x 5.L是圆域Dx2 2 y2x的正向圆周, 33 则(xy)dx(xy)dy (A)2 3 (B)0(C)— (D2 四、求变力F{3xy,2yx}将质点沿椭圆4x2y24的正向转动一周所做的功。 五、利用格林公式计算。 1.;xy2dxxy2dy,C为正向圆周x2y2R2 2.(exsinymy)dx(excosym)dy L为点A(a,0)到点0,0)的上半圆周<2y2ax(a0) 六、计算I■: xdy于,c为正向圆周(2y2R2(R1) Cxy (2,3)22 七、验证曲线积分(2xcosyy2sinx)dx(2ycosyx2siny)dy与路径无关,并求其值。 (0,0) 八、选取n,使(x刃严$y)dy在XOY平面上除去X的负半轴和原点以外的开区G内的某个函数U(x,y)的全微分, xy) 并求u(x,y). A=ds 1(fx)2 2 (fy)dxdy,这与用 二重积分求面积不一样。 二、填空题 D 1.设 是圆锥面Z x2 22y被圆柱面x 2 y 2ax所截的下部分,则 2.设 是球面: x2 2 y z22az,则曲面积分 222 (xyz)ds= 三、选择题 1.设 为Z2x2 2 y 在XY平面上方的曲面,则 ds=() ( 2 2 一、判断 1.二重积分也可看成是在平面片D上的第一类曲面积分。 2.设连续曲面片: Zf(x,y),(x,y)D,则的面积为 1 (xy yzzx)ds= (A) (C) ■1 0 2 (2 0' 4r2rdr (B) r2).14r2rdr (D) .14r2rdr 0 -“2j2 14rrdr (A) xds (B) x(x,y,z)ds (C) x2ds (D) 22 (yz)(x,y,z)ds .设 为球面x2 22yz 2 R,则=() (A)4 2 R(B) 4R5 R4 (C)- 2 (D) 4R 5 2.设有一分布非均匀的曲面 ,其面密度为 3 0 0 (x,y,z),则曲面对X轴的转动惯量为() 四、计算下列第一型曲面积分。 ] 1. (z2x 4 y)ds,其中 3 x 为平面一 2 1在第一卦限的部分。 2. (xy z)ds,为球面 R2上(zh且0ha)的部分。 3. —2——ds,是柱面x2y2R2于平面Z=0和Z=h(h>0)之间的部分。 xyz 4.八(x2y2)ds,为锥面Zx2y2与平面Z=1所围成的区域的边界曲面。 五、求球面Zzx2y2在柱面x2y2ax内部的表面积。 22 xy 六、求旋转抛物面Z被平面Z=2所截的部分的质心坐标,假设其上各点的面密度为该点到Z 2 轴的距离的平方。 §0.5对坐标的曲面积分 一、判断题 1.设为x2y2z2R2在第一卦限部分,则的面积为 A=-[1Z; z/dxdy *22「 1XyXzdydz1 22 yxyzdzdx] 3Dxy Dyz Dzx 其中Dxy, Dyz,Dzx分别为在各坐标面上投影区域。 () 2.因为xdydx XCOS 」ds ds—,( V3 为x+y+z=1上侧),所以 xdxdy为第一类曲线积分。 —4 3.「zdxdy一 3 a3,为 222 xyz a2的外侧。 () 二、填空题 1.zdxdy xdydz ydzdx= 为柱面x2 22 ya被平面Z=1和Z=4 所截得的在第一卦限内的部分。 2.设为平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧,将RdxdyPdydzQdzdx化为对 面积的曲面积分的结果为 。 、选择题 1.设流速场v{0,0,1},则流过球面xyza的流量值-() (A)0(B)4R2 43 (C)—R3(D)1 3 2.设曲面为Z-0,: x1,1 y1,方向向下,D为平面区域: x1,y1,贝Udxdy-( ) (a)1(B)dxdy (C)-dxdy (D) 0 22 3.设为Z-0(xy R2)的上,则 (x2 2 y)dxdy-( ) (A) R2dxdy x2y2R2 R4 (B) R2dxdy x2y2R2 2R3 (D)dr3dr 00 四、计算下列第二型曲面积分。 1.zdxdyxdydz,是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外侧。 2. 222 (xyz)dydz2xydzdxzdxdy,柱面x y21被平面z=i和z=0所截得部分的外 侧。 Z eF22 3.©dxdy,为锥面Z^xy平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。 Jx2y2 五、求流速场vxi y2k穿过曲面zx2 y2与平面z=1所围成的立体表面的流量。 六、已知f(x,y,z)连续, 计算[f(x,y,z) 是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧, x]dydz[2f(x,y,z)y]dxdz[f(x,y,z)z]dxdy 一、断题 1•设 是球面x2 y2z2R2的外侧, .为法矢的方向角。 V是所围成的立体,则 3 : 二(xcos 3 ycos z3cos)ds=(3x2 v 3y23z2)dv4R5 () 1 2.空间立体的体积V[xdydzydzdxzdxdy]这是为的边界曲面之外侧。 () 3.梯度和旋度为 Z,散度是向量。 () 二、填空题 1设空间区域 是由曲面zaxy与平面z=0围成,其中a为正整数,记 的表面外侧 为s,的体积为 222 v,^Vxyzdydzxydxdzz(1xyz)dxdy。 S 2设Aexyicos(xy)jcos(xz2)R则divA=。 222 3设uln(xyz,贝ydiv(gradu)(1,1,1)= rot(gradu)(计)=。 、选择题 2222 1.设f(u)具有连续导数,是曲面yxz与y8xz所围成立体表面之外侧,则() 1x1x f()dydzf()dzdxzdxdy=() y yx y (A) 16(B) -16 (C) -8 (D) 因f(u)未知,故无法确定。 2.设 为球面x2 22yz R2的外侧, 则 o 1 3(xdydz ydzdxzdxdy)+() (x2 22yz )2 (A) 0(B)4 (C)4R2 (D) 单R3 3 3.设 是球面x2 22yz a2的外侧, 则 zdzdy=() (A) 0(B) 43 a 3 (C)4a3 1 (D)- 2 a4 、计算 (xyz)dydz(y zx)dzdx 2zdxdy,是z1 x2y2 被z=0所截部分的外侧。 五、计算: x3dydz[-f(y)y3]dzdx[丄f(')zzyz x2y2z2R2的外侧。 六、算下列曲面积分。 222 1.(yz)dydz(zx)dxdz(xy)dxdy,为zxy(0zh)的下侧。 转而成的旋转曲面,它的法向量与y轴的正向的夹角恒大于-o 2 22 3.(2xz)dydzzdxdy,S为zxy(0z1)其法向量与轴正向的夹角为锐角。 七、求A(x2yz)i(y22x)j(z2xy)k的散度和旋度。 八、利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。 2222 1.•: •ydxzdyxdz,其中为圆周xyzR,x+y+z=a,从X轴正向看去,这圆周是逆时针方向。 九、流体在空间流动,流体的密度u处处相同(设u=1)已知流速Vxz2iyx2jzy2k,求流体在 单位时间内流过曲面: x2y2z22z的流量(流向外侧)和沿曲线L: x2y2z22z, z=1的环流量(从z轴正向看去是逆时针方向。 )
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