高三平面解析几何.docx
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高三平面解析几何
平面解析几何
上课时间学生姓名:
编写人
点
中点坐标
两点间距离
圆
位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
方程形式
标准方程
一般方程
点到直线的距离
直
线
直线斜率与倾斜角
两条直线位置关系
平行
相交
垂直
方程形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
点与直线位置关系
平面解析几何
空间直角坐标系
【知识图解】
直线的方程
例1.已知两点A(-1,2)、B(m,3)
(1)求直线AB的斜率k;
(2)求直线AB的方程;
(3)已知实数m
,求直线AB的倾斜角α的取值范围.
例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
例3.直线l被两条直线l1:
4x+y+3=0和l2:
3x-5y-5=0截得的线段中点为P(-1,2).求直线l的方程.
【练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程
+
=1表示;④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示,其中正确的是
2.设直线l的方程为
当直线l的斜率为-1时,k值为____,当直线l在x轴、y轴上截距之和等于0时,k值为
3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为
,且sin
+cos
=0,则a,b满足的关系式为
4.若直线l:
y=kx
与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12=0被两坐标轴截得的线段长为
,则c的值为
6.若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限,则实数m的取值范围是
答案1、①③④2、5、1或33、
4、
5、
6、
两条直线的位置关系
例4.已知两条直线
:
x+m2y+6=0,
:
(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,
与
(1)相交;
(2)平行;(3)重合?
例5.已知直线
经过点P(3,1),且被两平行直线
:
x+y+1=0和
:
x+y+6=0截得的线段之长为5。
求直线
的方程。
【练习】
1.已知直线
在
轴上的截距为1,且垂直于直线
,则
的方程是
2.若直线
与
互相垂直,则
3.若直线l1:
ax+2y+6=0与直线l2:
x+(a-1)y+(a2-1)=0平行,则a的值是______.
4.已知
,且点
到直线
的距离等于
,则
等于
5.经过直线
与
的交点,且平行于直线
的直线方程是
1、
2、-3或13、-14、
5、3x+6y-2=0
圆的方程
例6设方程
,若该方程表示一个圆,求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
变式1:
方程
表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程。
例7.求半径为4,与圆
相切,且和直线
相切的圆的方程.
【练习】
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
2.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部,则k的范围是
4.已知圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点,则AB的中点坐标是
6.方程
表示的曲线是_
7.圆
关于直线
的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式
,那么
的最大值是
9.已知点
和圆
,求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为_____
答案1、B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF>02、(5,-1)3、
4、
5、
6、两个半圆
7、
8、
9、_8
例题答案
例1分析:
运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存在的情况.
解:
(1)当m=-1时,直线AB的斜率不存在.当m≠-1时,
,
(2)当m=-1时,AB:
x=-1,当m≠1时,AB:
.
(3)①当m=-1时,
;
②当m≠-1时,∵
∴
故综合①、②得,直线AB的倾斜角
例2析引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解
(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-
0),B(0,1-2k),且2-
>0,1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S=
(1-2k)(2-
)=
[(-4k)+
+4]≥4,当-4k=
即k=
时,△AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:
由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2-
0),B(0,1-2k),
∴|PA|·|PB|=
当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|·|PB|取得最小值4.又k<0,∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:
如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,
),且|PA|·|PB|=
当且仅当θ=
时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1,直线l的方程是x+y-3=0.
y
x
O
P
E
F
B
A
例2图
例3分析本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化.
解:
解法一设直线l交l1于A(a,b),则点(-2-a,4-b)必在l2,所以有
,解得
直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.
解法二由已知可设直线l与l1的交点为A(-1+m,2+n),则直线l与l2的交点为B(-1-m,2-n),且l的斜率k=
,∵A,B两点分别l1和l2上,∴
,消去常数项得-3m=n,所以k=-3,
从而直线l的方程为3x+y+1=0.
解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B,则l1关于点P(-1,2)对称的直线m过点B,利用对称关系可求得m的方程为4x+y+1=0,因为直线l过点B,故直线l的方程可设为3x-5y-5+λ(4x+y+1)=0.由于直线l点P(-1,2),所以可求得λ=-18,从而l的方程为3x-5y-5-18(4x+y+1)=0,即3x+y+1=0.
例4解:
当m=0时,
:
x+6=0,
:
x=0,∴
∥
,
当m=2时,
:
x+4y+6=0,
:
3y+2=0
∴
与
相交;
当m≠0且m≠2时,由
得m=-1或m=3,由
得m=3
故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时
与
相交。
(2)m=-1或m=0时
∥
,
(3)当m=3时
与
重合。
点拨:
判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例5解法一:
:
若直线
的斜率不存在,则直线
的方程为x=3,此时与
、
的交点分别是A1(3,-4)和
B1(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意。
若直线
的斜率存在,则设
的方程为y=k(x-3)+1,
解方程组
得A(
-
)
解方程组
得B(
,-
)
由|AB|=5得
+
=25,
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1。
综上可知,所求
的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线
与
、
分别相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+y1+1=0,
x2+y2+6=0。
两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②
联立①②,可得
或
由上可知,直线
的倾斜角为0°或90°,又由直线
过点P(3,1),故所求
的方程为x=3或y=1。
点拨:
用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论.
例6解:
配方得:
该方程表示圆,则有
,得
,此时圆心的轨迹方程为
,消去m,得
,由
得x=m+3
所求的轨迹方程是
,
注意:
方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中
变式1解:
原方程可化为
当a
时,原方程表示圆。
又
当
,所以半径最小的圆方程为
例7解:
则题意,设所求圆的方程为圆
.
圆
与直线
相切,且半径为4,则圆心
的坐标为
或
.
又已知圆
的圆心
的坐标为
,半径为3.
若两圆相切,则
或
.
(1)当
时,
,或
(无解),故可得
.
∴所求圆方程为
,或
.
(2)当
时,
,或
(无解),故
.
∴所求圆的方程为
,或
.
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