离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳.docx
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离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳
离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳
一、基础知识
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量:
随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,",…表示❶.
(2)离散型随机变量:
所有取值可以一一列出的随机变量.
2.离散型随机变量分布列的概念及性质
X
X1
X2
•••
Xi
•••
X„
P
pi
P2
•••
Pi
•••
p”
(1)概念:
若离散型随机变量X可能取的不同值为XI,X2,…,X,…,X”,X取每一个值…,“)的概率P(X=Xi)=ph以表格的形式表示如下:
❷此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时也用等式P(X=Xi)=p“i=\,2,•••,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质
7=1,23,…,":
②口「=1・
3・常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
X
0
1
p
]—p
p
若随机变量X的分布列具有左表的形式,则称/服从两点分布❸,并称p=P(X=1)为成功概率.
⑵超几何分布列❹
在含有M件次品的N件产品中,任取"件,其中恰有X件次品,则P(X=Q=9g鱼,
£=0丄2,…,m,其中加=min{M,”},」LMNUN'❺.
X
0
1
•••
m
p
5
eg二*
•••
Q&C禺
如果随机变量X的分布列具有左表的形式,则称随机变就服从超几何分布.
❶若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b为常数)也是随机变量.
睡中第一行表示随机变量的取值;第二行对应变量的概率.
❸两点分布的试验结果只有两个可能性,其概率之和为1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:
0
(1)考察对■象分两类;
(2)已知各类对象的个数;
(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
©ni=min{M,11}的理解
m为£的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即”时,H抽取的样本中次品的件数)的最大值为川二〃当抽取的产品件数大于总体中次品件数即n>皿时,k的最大值为tn=M.
考点一离散型随机变量的分布列的性质
1•设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X
-1
0
1
P
1
3
2_3g
(I1
则q的值为()
解析:
选C由分布列的性质知
3-3狞0,
V9—解得g二I-辱
g+2-3g+『二1,
2•离散型随机变量X的概率分布规律为尸&=〃)=亦务(”=1,2,3,4),其中a是常数,
则的值为()
23
A•亍B4
V5U6
解析:
选D由:
+++二1,知剤二1,得a二廟
故pQvXvj)二P&二1)+Pa=2)=jx^+|x|=|.
3.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
p
0.2
0.1
0.1
03
tn
⑴求随机变量Y=2X+1的分布列;
⑵求随机变量4=x—1|的分布列;
⑶求随机变量的分布列.
解:
⑴由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+加二1,彳昙川二0.3.首先列表为:
X
0
1
2
3
4
2X+1
1
3
5
7
9
从而Y=2X+1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
⑵列表为
X
0
1
2
3
4
区-11
1
0
1
2
3
:
.P^=0)=P(X=1)二0.1,
P(>]=1)=P(X=0)+P(X=2)二0.2+0.1二0.3r
P(fJ=2)=P(X=3)=03z
0
1
2
3
P
0.1
0.3
03
03
(3)首先列表为
X
0
1
2
3
4
¥
0
1
4
9
16
从而f二牙的分布列为
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
考点二超几何分布
[典例精析]在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,
具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受
乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.
现有6名男志愿者如,A2,As,A4,As,Ae和4名女志愿者鬲,戲,戲,从中随机抽
取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含出但不包含方】的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.
[解]⑴记接受甲种心理暗示的志愿者中包含出但不包含Bi的事件为M,则P(M)二
⑵由题意知X可取的值为01234,则
P(X=4)
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
142
5
21
10
21
5
21
1
42
[题组训练]
某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动-若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列.
解:
因为8名学生会干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服从参数N二8,
M=3rn=3的超几何分布.
_cSc?
"rc9C?
5
X的所有可能取值为0丄2,3其中P(X=i)=(z=04,2,3),则P(X=0)二W二丙,
1
56
z、CjCs15z、C3CI15z、C1C§P21)=~ET二元”p(x=2)=~cT=56•p(x=3)=_cT
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
5
15
15
1
P
£
28
28
56
56
考点三求离散型随机变量的分布列
[典例精析]己知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随
机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测岀的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:
元),求X的分布列.
[解]⑴记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件Af则P(J)=
AiAl3
A5一10・
(2R的可能取值为200,300,400r
An1则P(X二200)二盂二花
A?
+C\C\Ai3
用二300)二一忑一二而
P(X=400)二1-Pg200)-P(X=300)二1-寺-害二g
故X的分布列为
X
200
300
400
1
3
3
P
—
JL
10
10
5
[题组训练]
有编号为1,2,3,…,”的"个学生,入座编号为1,2,3,…,”的”个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求"的值;
(2)求随机变量X的分布列-
解:
⑴因为当X二2时,有G种坐法,
n(n-1)
所以G二6,即二6,
772-77-12=0,解得"二4或"二-3(舍去)r所以n=4.
⑵因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,
由题意知X的可能取值是023,4#
z、93
P(h4)=疋飞,
所以随机变量X的分布列为
X
0
2
3
4
1
1
1
3
P
—
—
—
JL
24
4
3
8
[课时跟踪检测]
A级
1.若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
03
0.1
0.1
则当P(X A.(—8,2] C.(l,2] B.[l,2] D(l,2) 解析: 选C由随机变量X的分布列知: P(X<-1)=01屮(XV0)二0.3屮(XVI)二0.5, P(T<2)=0.8r
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- 离散 随机变量 及其 分布 考点 题型 归纳
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