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根轨迹法习题及答案
第四章根轨迹法习题及答案
4-1系统的开环传递函数为
将3代入幅值条件:
试证明si1j..3在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益K。
解右点s1在根轨迹上,则点s1应满足相角条件
G(s)H(s)(2k1),如图所示。
对于s1j3,由相角条件
G(s)
s4s20(s2j4)(s2j4)
G(s)
1G(s)
b(s22s20)b(s1j.19)(s1j,19)
G(s)2一
s(s22s10)s(s1j3)(s1j3)
10(s4)
~2
s4s14s40
in
化到无穷大时的根轨迹,并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解G(s)s(s6)
根轨迹如图。
s2时b4,
、2s2s
(s)—
s210s16(s2)(s8)
4-4已知单位反馈系统的开环传递函数,试概略绘出系统根轨迹。
三个开环极点:
p1
0,P22:
P3
①实轴上的根轨迹:
5,
2,0
025
7
a
②渐近线:
3
3
(2k1)
a
3
3
③分离点:
解之得:
d1
0.88,d23.7863(舍去)。
④与虚轴的交点:
特征方程为
D(s)s37s210s10k0
令Re[D(j)]7210k0
Im[D(j)]3100
解得10
k7
⑵G(s)K2:
1
根轨迹绘制如下:
K(s1)
2s(s1)
①实轴上的根轨迹:
1,0.5,0
②分离点:
1
11
d
d0.5d1
解之得:
d0.293,d
1.707o
根轨迹如图所示。
与虚轴的交点(0,.10j)o
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下:
实轴上的根轨迹:
2,0
5)
渐近线:
2
(2k1)
2
分离点:
用试探法可得d0.886。
根轨迹如图所示。
(4)根轨迹绘制如下:
根轨迹如图所示。
4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
k
s(0.02s1)(0.01s1)
要求:
(1)绘制系统的根轨迹;
(2)确定系统临界稳定时开环增益k的值;
(3)确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。
①实轴上的根轨迹:
[0,-50],[-100,-]
J
111
②分离点:
10
dd50d100
J
f
求解得d121.13,d278.87
-ICQ
③渐近线:
a50,a60o,180o
K
(2)系统临界稳定时k
750000k150
根轨迹如图所示。
⑶系统临界阻尼比时k48112.5,k9.62
要求绘制根轨迹并确
4-6已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)—厂
s(s8s20)
定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。
G(s)H(s)
K
2
s(s28s20)
1实轴上的根轨迹:
0
2渐近线:
0(4j2)(4⑵
3
(2k1)_
33'
111
③分离点:
丄1-0
dd4j2d4j2
k(2s1)
24
(s1)2(尹1)
:
根轨迹绘制如下:
渐近线:
117/4(0.5)
2
(2k1)
2
与虚轴交点:
闭环特征方程为
4-8已知控制系统的开环传递函数如下,试绘制系统根轨迹(要求求出起始角)
G(s)H(s)丫(s22
(s24s9)2
解根轨迹绘制如下:
①实轴上的根轨迹:
②渐近线:
2
jx^2h/5
(2)
2
a
3
3
(2k
1)
a
3
3,
③分离点:
2
21
d2
j75
d
2jv'5d
2
解之得:
d
3.29
d
0.71(舍去)
④与虚轴交点:
闭环特征方程为
丿
f!
2
D(s)(s
4s9)
2K
(s
20
把sj代入上方程,
4-
2
L
令Re(D(J
))
34
812K0
Vt
勺Im(D(j
))(72K
)
830
Vv
X.
解得:
K
96
、
⑤起始角:
90
(2P1
2
90)(2k
1
4-9已知系统开环传递函数如下,试分别绘制以
解出p145,p2135根轨迹如图所示。
1/4(sa)
⑴G(s)击,a0;⑵G(s)
解
(1)G(s)2
s(s0.5)
1实轴上的根轨迹:
(,0)
2渐近线:
a1/3,a60O,80°
3分离点:
d1/6
根轨迹如图所示。
⑵G(s)
Ts2(s10)
~~2
s10s26
1实轴上的根轨迹:
(,)
2起始角终止角:
11
180°
2(1800tg15)tg15(p900)
4-10已知系统的开环传递函数如下,试概略绘出相应的根轨迹,
2z0°
(tg11tg1£)180°
55
解得终止角
z90°根轨迹如图所示。
解得起始角
p
78.7°
并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。
G(s)H(s)
k(s1)
(s1)2(s18)
实轴上的根轨迹:
[18,1]
分离点:
d14.22,d26.28
渐近线:
a7.5,a90°
与虚轴交点:
s1,21.86j,k*37.7
根轨迹如图所示。
d1处k*116.6,d2处k*117.6,kk*/18
结论:
6.48k6.53时所有根为负实根,k2.095时系统稳定。
4-11已知系统结构图如图所示,试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹,并分析参
数T的变化对系统动态性能的影响。
根轨迹绘制如下:
(注意:
k*1/T)
1实轴上的根轨迹:
(,10],10,0
32
2分离点:
解得d30。
dd10
根据幅值条件,对应的T0.015。
3虚轴交点:
闭环特征方程为
32
D(s)Tss20s1000
参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。
(请注意根轨迹的方向!
)
从根轨迹图可以看出,当0T0.015时,系统阶跃响应为单调收敛过程;
0.015T0.2时,阶跃响应为振荡收敛过程;T0.2时,有两支根轨迹在s右半
平面,此时系统不稳定。
若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下:
G(s)
3
Ts
~2
s20s100
三条根轨迹中两条起于-10,一条起于,均终止于原点
1实轴上的根轨迹:
(,10],10,0
32
2分离点:
解得d30。
dd10
其余步骤与上基本相同,根轨迹相同,只是-10处为两个开环极点,原点处为3个开环零点,根轨迹方向与图中一样。
4-12控制系统的结构如图所示,试概略绘制其根轨迹(k*0)。
弘十1)
1
y—
14
解此系统为正反馈系统,应绘零度根轨迹。
1实轴上的根轨迹:
3
2分离点:
」一
d2
1,
解得d0.5
③起始角:
根据相角条件,
2k
得p160,p260,p3180。
根轨迹如图所示。
4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(S)kS),试绘制其根轨迹,并求出
s(s2)
使系统产生重实根和纯虚根的k值。
解由开环传递函数的表达式知需绘制o根轨迹。
①实轴上的根轨迹:
2,0,
[1,);
1
②分离点:
—
1
1
d
d
2
d1
1
解得:
d—0.732
d2
2.732
将sd—0.732,
s
d2
2.732代入
(
幅值条件得:
I?
2h1■
Kd—0.54,
Kd
2
7.46
v
③与虚轴交点:
闭环特征方程为
L丿
-Ifl
J丿
D(s)s(s
2)
K
(1s)
0
把sj代入上方程,整理,令实虚部分别为零得:
Re(D(j
))
2K0
Im(D(j
))
(2
K)0
0
1.41
解得:
K0
K
2
根轨迹如图所示,复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到分离点的距
离为半径的圆。
系统产生重实根的K为,,产生纯虚根的K为2。
dd2d3d
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