行测辅导数学运算各类问题汇总.docx
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行测辅导数学运算各类问题汇总
行测辅导数学运算“利润”问题
利润问题多是商业中的百分数问题。
成本、定价、利润、打折是常用的词汇,他们分别代表什么呢?
举个离子大家就非常清楚了。
例如一张桌子的买入价或做这张桌子所需要的钱,就是成本。
如果这张桌子的成本是100元,以120元的价格售出,这120元就是这张桌子的定价,定价与成本的差,即120-100=20,这20元就是利润。
利润就是挣的钱。
利润占成本的百分数就是利润率。
商店有时减价出售商品,我们把它称为“打折”,几折就是百分之几十。
如果某种商品打“八折”出售,就是按原价的80%出售;如果某商品打“八五”折出售,就是按原价的85%出售。
利润问题中,还有一种利息和利率的问题,它也属于百分数应用题。
本金是存入银行的钱。
利率是银行公布的,是把本金看做单位“1”,按百分之几或千分之几付给储户的。
利息是存款到期后,除本金外,按利率付给储户的钱。
本息和是本金与利息的和。
这一问题常用的公式有:
定价=成本+利润
利润=成本×利润率
定价=成本×(1+利润率)
利润率=利润÷成本
利润的百分数=(售价-成本)÷成本×100%
售价=定价×折扣的百分数
利息=本金×利率×期数
本息和=本金×(1+利率×期数)
【例题1】某商品按20%的利润定价,又按八折出售,结果亏损4元钱。
这件商品的成本是多少元?
A.80B.100C.120D.150
【答案】B。
【解析】现在的价格为(1+20%)×80%=96%,故成本为4÷(1-96%)=100元。
【例题2】某商品按定价出售,每个可以获得45元的利润,现在按定价的八五折出售8个,按定价每个减价35元出售12个,所能获得的利润一样。
这种商品每个定价多少元?
()
A.100B.120C.180D.200
【答案】D。
【解析】每个减价35元出售可获得利润(45-35)×12=120元,则如按八五折出售的话,每件商品可获得利润120÷8=15元,少获得45-15=30元,故每个定价为30÷(1-85%)=200元。
【例题3】一种商品,甲店进货价比乙店便宜12%,两店同样按20%的利润定价,这样1件商品乙店比甲店多收入24元,甲店的定价是多少元?
()
A.1000B.1024C.1056D.1200
【答案】C。
【解析】设乙店进货价为x元,可列方程20%x-20%×(1-12%)x=24,解得x=1000,故甲店定价为1000×(1-12%)×(1+20%)=1056元。
行测辅导数学运算“抽屉”问题
《行政职业能力测验》中数量关系部分,有一类比较典型的题——抽屉问题。
对许多公考学生来说,这个题型有一定的难度,因为很难通过算式的方式来将其量化。
我们知道,公务员考试是测试一个人作为公务员应该具备的最基础的交流、沟通、判断、推理和计算能力。
同样,数量关系测试的也不全是个人的运算能力,它更倾向于考察考生的理解和推理能力。
抽屉问题就更为显著地贯彻了这一命题思路。
我们先来看三个例子:
(1)3个苹果放到2个抽屉里,那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
(2)5块手帕分给4个小朋友,那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。
(3)6只鸽子飞进5个鸽笼,那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。
我们用列表法来证明例题
(1):
放 法
抽 屉
①种
②种
③种
④种
第1个抽屉
3个
2个
1个
0个
第2个抽屉
0个
1个
2个
3个
从上表可以看出,将3个苹果放在2个抽屉里,共有4种不同的放法。
第①、②两种放法使得在第1个抽屉里,至少有2个苹果;第③、④两种放法使得在第2个抽屉里,至少有2个苹果。
即:
可以肯定地说,3个苹果放到2个抽屉里,一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
由上可以得出:
题 号
物 体
数 量
抽屉数
结 果
(1)
苹 果
3个
放入2个抽屉
有一个抽屉至少有2个苹果
(2)
手 帕
5块
分给4个人
有一人至少拿了2块手帕
(3)
鸽 子
6只
飞进5个笼子
有一个笼子至少飞进2只鸽
上面三个例子的共同特点是:
物体个数比抽屉个数多一个,那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。
从而得出:
抽屉原理1:
把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
再看下面的两个例子:
(4)把30个苹果放到6个抽屉中,问:
是否存在这样一种放法,使每个抽屉中的苹果数都小于等于5?
(5)把30个以上的苹果放到6个抽屉中,问:
是否存在这样一种放法,使每个抽屉中的苹果数都小于等于5?
解答:
(4)存在这样的放法。
即:
每个抽屉中都放5个苹果;(5)不存在这样的放法。
即:
无论怎么放,都会找到一个抽屉,它里面至少有6个苹果。
从上述两例中我们还可以得到如下规律:
抽屉原理2:
把多于m×n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
可以看出,“原理1”和“原理2”的区别是:
“原理1”物体多,抽屉少,数量比较接近;“原理2”虽然也是物体多,抽屉少,但是数量相差较大,物体个数比抽屉个数的几倍还多几。
以上两个原理,就是我们解决抽屉问题的重要依据。
抽屉问题可以简单归结为一句话:
有多少个苹果,多少个抽屉,苹果和抽屉之间的关系。
解此类问题的重点就是要找准“抽屉”,只有“抽屉”找准了,“苹果”才好放。
我们先从简单的问题入手:
(1)3只鸽子飞进了2个鸟巢,则总有1个鸟巢中至少有几只鸽子?
(答案:
2只)
(2)把3本书放进2个书架,则总有1个书架上至少放着几本书?
(答案:
2本)
(3)把3封信投进2个邮筒,则总有1个邮筒投进了不止几封信?
(答案:
1封)
(4)1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢,它里面至少含有几只鸽子?
(答案:
1000÷50=20,所以答案为20只)
(5)从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿。
我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了几个苹果?
(答案:
17÷8=2……1,2+1=3,所以答案为3)
(6)从几个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果?
(答案:
25÷□=6……□,可见除数为4,余数为1,抽屉数为4,所以答案为4个)
抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。
如上面
(1)、
(2)、(3)题,讲的就是这些原理。
上面(4)、(5)、(6)题的规律是:
物体数比抽屉数的几倍还多几的情况,可用“苹果数”除以“抽屉数”,若余数不为零,则“答案”为商加1;若余数为零,则“答案”为商。
其中第(6)题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。
抽屉问题的用处很广,如果能灵活运用,可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手,实际上却是相当有趣的数学问题。
【例题1】:
某班共有13个同学,那么至少有几人是同月出生?
()
A.13B.12C.6D.2
【解析】:
找准题中两个量,一个是人数,一个是月份,把人数当作“苹果”,把月份当作“抽屉”,那么问题就变成:
13个苹果放12个抽屉里,那么至少有一个抽屉里放两个苹果。
【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理1”】
【例题2】某班参加一次数学竞赛,试卷满分是30分。
为保证有2人的得分一样,该班至少得有几人参赛?
()
A.30B.31C.32D.33
【解析】毫无疑问,参赛总人数可作“苹果”,这里需要找“抽屉”,使找到的“抽屉”满足:
总人数放进去之后,保证有1个“抽屉”里,有2人。
仔细分析题目,“抽屉”当然是得分,满分是30分,则一个人可能的得分有31种情况(从0分到30分),所以“苹果”数应该是31+1=32。
【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理2”】
【例题3】在某校数学乐园中,五年级学生共有400人,年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁,我们不用去查看学生的出生日期,就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的,你知道为什么吗?
【解析】因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁,所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天,把400名学生看作400个苹果,366天看作是366个抽屉,(若两名学生是同一天出生的,则让他们进入同一个抽屉,否则进入不同的抽屉)由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果,一定能找到一个抽屉,它里面至少有2(400÷366=1……1,1+1=2)个苹果”。
即:
一定能找到2个学生,他们是同年同月同日出生的。
【例题4】有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。
如果让你闭上眼睛去摸,
(1)你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的?
为什么?
(2)至少拿几根,才能保证有两双同色的筷子,为什么?
【解析】把3种颜色的筷子当作3个抽屉。
则:
(1)根据“抽屉原理1”,至少拿4根筷子,才能保证有2根同色筷子;
(2)从最特殊的情况想起,假定3种颜色的筷子各拿了3根,也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子,就有4根筷子是同色的,所以一次至少应拿出3×3+1=10(根)筷子,就能保证有4根筷子同色。
【例题5】证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同。
【解析】将37人看作37个苹果,12个属相看作是12个抽屉,由“抽屉原理2”知,“无论怎么放一定能找到一个抽屉,它里面至少有4个苹果”。
即在任意的37人中,至少有4(37÷12=3……1,3+1=4)人属相相同。
【例题6】某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书?
分析:
从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到,此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。
所以我们应将40个同学看作40个抽屉,将书本看作苹果,如某个同学借到了书,就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
【解析】将40个同学看作40个抽屉,书看作是苹果,由“抽屉原理1”知:
要保证有一个抽屉中至少有2个苹果,苹果数应至少为40+1=41(个)。
即:
小书架上至少要有41本书。
下面我们来看两道国考真题:
【例题7】(国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题):
有红、黄、蓝、白珠子各10粒,装在一个袋子里,为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同,应至少摸出几粒?
()
A.3B.4C.5D.6
【解析】把珠子当成“苹果”,一共有10个,则珠子的颜色可以当作“抽屉”,为保证摸出的珠子有2颗颜色一样,我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里,摸了4
个颜色不同的珠子之后,所有“抽屉”里都各有一个,这时候再任意摸1个,则一定有一个“抽屉”有2颗,也就是有2颗珠子颜色一样。
答案选C。
【例题8】(国家公务员考试2007年第49题的扑克牌问题):
从一副完整的扑克牌中,至少抽出()张牌,才能保证至少6张牌的花色相同?
A.21B.22C.23D.24
【解析】完整的扑克牌有54张,看成54个“苹果”,抽屉就是6个(黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王),为保证有6张花色一样,我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张,后两个“抽屉”里各放了1张,这时候再任意抽取1张牌,那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。
答案选C。
行测辅导数学运算“年龄”问题
年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题,也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。
它的主要特点是:
时间发生变化,年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
解答年龄问题的一般方法:
几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
【例题1】甲对乙说:
当我的岁数是你现在岁数时,你才4岁。
乙对甲说:
当我的岁数到你现在的岁数时,你将有67岁,甲乙现在各有:
A.45岁,26岁B.46岁,25岁C.47岁,24岁D.48岁,23岁
【答案】B。
【解析】甲、乙二人的年龄差为(67-4)÷3=21岁,故今年甲为67-21=46岁,乙的年龄为45-21=25岁。
【例题2】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。
当爸爸的年龄是哥哥的3倍时,妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时,爸爸34岁。
现在爸爸的年龄是多少岁?
A.34B.39C.40D.42
【答案】C。
【解析】解法一:
用代入法逐项代入验证。
解法二,利用“年龄差”是不变的,列方程求解。
设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:
x、y和z。
那么可得下列三元一次方程:
x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。
可求得x=40。
【例题3】1998年,甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A.34岁,12岁B.32岁,8岁C.36岁,12岁D.34岁,10岁
【答案】C。
【解析】抓住年龄问题的关键即年龄差,1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍,则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄,2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍,此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄,根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×(1998年乙的年龄+4)
1998年乙的年龄=4岁
则2000年乙的年龄为10岁。
以下是几道习题供大家练习:
1.爸爸在过50岁生日时,弟弟说:
“等我长到哥哥现在的年龄时,我和哥哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”,那么哥哥今年多少岁?
A.18B.20C.25D.28
2.甲、乙两人的年龄和正好是80岁,甲对乙说:
“我像你现在这么大时,你的年龄正好是我的年龄的一半。
”甲今年多少岁?
()
A.32B.40C.48D.45
3.父亲与儿子的年龄和是66岁,父亲的年龄比儿子年龄的3倍少10岁,那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍?
()
A.10B.11C.12D.13
行测辅导数学运算“行程”问题
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。
我们可以简单的理解成:
相遇(相离)问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物)以上;如果它们的运动方向相反,则为相遇(相离)问题,如果他们的运动方向相同,则为追及问题。
相遇(相离)问题的基本数量关系:
速度和×相遇时间=相遇(相离)路程
追及问题的基本数量关系:
速度差×追及时间=路程差
在相遇(相离)问题和追及问题中,我们必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的,这样才恩能够提高我们的解题速度和能力。
【例题1】甲、乙两人联系跑步,若让乙先跑12米,则甲经6秒追上乙,若乙比甲先跑2秒,则甲要5秒追上乙,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距多少米?
A.15B.20C.25D.30
【答案】C。
【解析】甲乙的速度差为12÷6=2米/秒,则乙的速度为2×5÷2=5米/秒,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距5×9-2×10=25米。
【例题2】兄弟两人早晨6时20分从家里出发去学校,哥哥每分钟行100米,弟弟每分钟行60米,哥哥到达学校后休息5分钟,突然发现学具忘带了,立即返回,中途碰到弟弟,这时是7时15分。
从家到学校的距离是多少米?
A.3500B.3750C.4150D.4250
【答案】C。
【解析】哥哥50分钟走一个来回,弟弟55分钟走一个来回,故一个单程为(100×50+60×55)÷2=4150米。
【例题3】一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时。
已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米。
则甲、丙两港间的距离为()
A.44千米B.48千米C.30千米D.36千米
【答案】A。
【解析】顺流速度-逆流速度=2×水流速度,又顺流速度=2×逆流速度,可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时,逆流速度=2×水流速度=4千米/时。
设甲、丙两港间距离为X千米,可列方程X÷8+(X-18)÷4=12解得X=44。
下面是几道习题,供大家练习之用:
1.一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用115秒。
已知每辆车长5米,两车间隔10米。
问:
这个车队共有多少辆车?
2.骑自行车从甲地到乙地,以10千米/时的速度行进,下午1点到;以15千米/时的速度行进,上午11点到。
如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?
3.A、B两次相距20千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,乙在前、甲在后,1小时后甲因取物返回A地,取物后立即追乙,从开始算经过8小时甲追上乙,已知甲每小时行14千米,乙每小时行()千米。
行测辅导数学运算“时钟”问题
时钟问题的关键点:
时针每小时走30度
分针每分钟走6度
分针走一分钟(转6度)时,时针走0.5度,分针与时针的速度差为5.5度。
请看例题:
【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:
A.1次B.2次C.3次D.4次
【解析】
时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为2次,还要验证:
根据角度差/速度差=分钟数,可得90/5.5=16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/5.5=49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。
经验证,选B可以。
【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为
A.10点15分来源:
B.10点19分
C.10点20分
D.10点25分
【解法1】
时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以答案为A。
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。
则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为0.5(X+3)度,以0点为起始来算此时时针的角度为0.5(X—3)+10×30度。
所谓“时针与分针成一条直线”即0.5(X—3)+10×30—6(X+6)=180度,解得X=15分钟。
行测辅导数学运算“方阵”问题
学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
例1 学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人?
A.256人 B.250人 C.225人 D.196人 (2002年A类真题)
解析:
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:
60÷4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:
16×16=256(人)。
所以,正确答案为A。
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人,因而我们可以得到如下公式:
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
解析:
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33,则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为17×17=289(人)
下面几道习题供大家练习:
1. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币,则小红所有五分硬币的总价值是:
A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 (2005年中央真题)
2. 某仪仗队排成方阵,第一次排列若干人,结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人,又少29人。
仪仗队总人数为多少?
答案:
1.C 2.500人
行测辅导数学运算“平均数”问题
这里的平均数是指算术平均数,就是n个数的和被个数n除所得的商,这里的n大于或等于2。
通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题,叫做平均数问题。
平均数应用题的基本数量关系是:
总数量和÷总份数=平均数
平均数×总份数=总数量和
总数量和÷平均数=总份数
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
例1:
在前面3场击球游戏中,某人的得分分别为130、143、144。
为使4场游戏得分的平均数为145,第四场他应得多少分?
()
【答案】C。
解析:
4场游戏得分平均数为145,则总分为145×4=580,故第四场应的580-130-143-144=163分。
例2:
李明家在山上,爷爷家在山下,李明从家出发一每分钟90米的速度走了10分钟到了爷爷家。
回来时走了15分钟到家,则李是多少?
()
A.72米/分B.80米/分C.84米/分D90米/分
【答案】A。
解析:
李明往返的总路程是90×10×2=1800(米),总时间为10+15=25均速度为1800÷25=72米/分。
例3:
某校有有100个学生参加数学竞赛,平均得63分,其中男生平均60分,女生平均70分,则男生比女生多多少人?
()
A.30B.32C.40D.45
【答案】C。
解析:
总得分为63×100=6300,假设女生也是平均60分,那么100个学生共的6000分,这样就比实得的总分少300分。
这是女生平均每人比男生高10分,所以这少的300分是由于每个女生少算了10分造成的,可见女生有300÷10=30人,男生有100-30=70人,故男生比女生多70-30=40人。
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