功和能习题解答.docx
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功和能习题解答
第四章功和能
一 选择题
1. 一辆汽车从静止出发,在平直公路上加速前进时,若发动机功率恒定,
则正确的结论为:
()
A. 加速度不变B. 加速度随时间减小
C. 加速度与速度成正比D. 速度与路径成正比
解:
答案是 B。
简要提示:
在平直公路上,汽车所受阻力恒定,设为 Ff。
发动机功率恒定,
则 P =F v,其中 F 为牵引力。
由牛顿运动定律得 F - F = ma ,即:
ma = P/v F 。
ff
所以,汽车从静止开始加速,速度增加,加速度减小。
2. 下列叙述中正确的是:
()
A. 物体的动量不变,动能也不变.
B. 物体的动能不变,动量也不变.
C. 物体的动量变化,动能也一定变化.
D. 物体的动能变化,动量却不一定变化.
解:
答案是 A。
3. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转,若卫星在远地点 A 和近地点 B 的角动
(
量与动能分别为 LA、EkA 和 LB、EkB,则有:
)
A.LB > LA, EkB > EkA
B.LB > LA, EkB = EkA
B
地球
选择题 3 图
A
C.LB = LA, EkB > EkA
D.LB = LA, EkB = EkA
解:
答案是 C。
简要提示:
由角动量守恒,得 vB > vA,故 EkB > EkA。
4. 对功的概念有以下几种说法:
(1) 保守力作正功时,系统内相应的势能增加.
(2) 质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.
(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零.
在上述说法中:
()
A.
(1)、
(2)是正确的;B.
(2)、(3)是正确的;
C. 只有
(2)是正确的;D. 只有(3)是正确的.
解:
答案是 C。
5. 如图所示,足够长的木条 A 置于光滑水平面上,另一木块 B 在 A 的粗糙
平面上滑动,则 A、B 组成的系统的总动能:
()
A.不变
B
B.增加到一定值
C.减少到零
A
选择题 5 图
D.减小到一定值后不变
解:
答案是 D。
简要提示:
B 在 A 的粗糙平面上滑动,摩擦力最终使 B 相对于 A 静止下来,
根据质点系的动能原理,它做的功使系统的总动能减少。
当 B 相对于 A 不动时,
摩擦力就不再做功,系统的总动能也就不再变化。
6. 人造卫星绕地球作圆周运动,由于受到稀薄空气的摩擦阻力,人造卫星
的速度和轨道半径的变化趋势应为:
()
A.速度减小,半径增大B.速度减小,半径减小
C.速度增大,半径增大D.速度增大,半径减小
解:
答案是 D。
简要提示:
系统机械能 E = - GMm
2r
系统的机械能将减少。
因此 r 将减小。
,由于阻力做负功,根据功能原理可知
再根据圆周运动方程为
mv 2 GMm GM
= , v 2 =
2
r r r
,因此速度将增大。
7. 一条长为 L 米的均质细链条,如图所示,一半平直放在光滑的桌面上,
另一半沿桌边自由下垂,开始时是静止的,当此链条末端滑到桌边时(桌高大于
链条的长度),其速率应为:
()
A. gLB. 2 gL
C. 3gLD.
1
2
3gL
解:
答案是 D。
简要提示:
运动过程中机械能守恒,则以桌面为零
势能点,初始时机械能为 -
1
8
mgL ,其中 m 为链条的质
11
量;链条末端滑到桌边时机械能为mv 2 -mgL 。
两
22
选择题 7 图
者相等,得:
v =
1
2
3gL
8. 一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球,平衡时弹簧伸长量为d.现用手将小
球托住,使弹簧不伸长,然后将其释放,不计一切摩擦,则弹簧的最大伸长量:
()
A.dB.d/2;C. 2d;D.条件不足无法判定.
解:
答案是 C。
简要提示:
设弹簧的最大伸长量为 x,由机械能守恒,有
mgx = 1
2
kx 2
由:
mg = kd
所以有:
x = 2d
二 填空题
1. 质量m=1 kg 的物体,在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动,
其所受合力方向与运动方向相同,合力大小为F =3+2x (SI),那么,物体在开
始运动的3 m 内,合力所作的功W =________________;且x=3 m 时,其速率 v
=________________________.
解:
答案是 18 J ; 6 ms–1
简要提示:
合力所作的功为:
W = ⎰3 Fdx = ⎰3 (3 + 2 x)dx = 18J
00
由动能定理
W = 1 mv 2
2
v = 6 m ⋅ s -1
2. 一颗速率为700 ms–1的子弹,打穿一块木板后,速率降到500 ms–1。
如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板,则子弹的速率
将降到______________________________.(空气阻力忽略不计)
答案是100 ms–1
简要提示:
由动能定理,木板对子弹所作的功为:
1
21
设子弹穿透第二块木板的速率为 v,有:
W =
1 1
2
所以
v =2v 2 - v 2 = 100m ⋅ s -1
21
3. 将一劲度系数为 k 的轻弹簧竖直放置,下端悬一质量为 m 的小球,开始
时使弹簧为原长而小球恰好与桌面接触,今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚
能脱离桌面为止,在此过程中外力作功为。
解:
答案是
m 2 g 2
2k
4. 质量分别为 m 和 m’的两个粒子开始处于静止状态,且彼此相距无限远,
在以后任一时刻,当它们相距为 d 时,则该时刻彼此接近的相对速率
为。
解:
答案是2G(m + m')
d
简要提示:
设质量为 m 和 m′ 的两个粒子当它们相距为 d 时的速率分别为
v1 和 v2,显然速度的方向相反。
在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用,
因此系统的机械能和动量均守恒。
根据题意,相距无限远时系统的总能量为零。
因此有
11Gmm'
mv 2 +m v 2 -= 0
12
mv = m v
1
2
从以上两式解出v =
1
因此两个粒子彼此接近的相对速率为
2Gm'2
d (m + m')
mm + m'm + m'2Gm' 2
v + v = v +v =v ==
1211
5. 如图所示,一质量为 m 的物体位于质量可以忽略的直立
2G(m + m')
d
y
m
弹簧上方高度为 h 处,该物体从静止开始落向弹簧,设弹
簧的劲度系数为 k,若不考虑空气阻力,则物体可能获得
的最大动能为。
h
o
解:
答案是 E
kmax
= mgh +
m 2 g 2
2k
填空题 5 图
简要提示:
以弹簧的平衡位置为原点,选该点为重力势能零点,则物体初始
的机械能为 mgh。
物体与弹簧接触后,弹簧被压缩,物体的机械能守恒:
- mgy + 1
2
ky 2 + E = mgh
k
dEmg
由; E
dyk
kmax = mgh +
m 2 g 2
2k
6. 逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞,设黑洞的质量等于太阳的质
量,为×1030kg,引力常数为 G= ×10–11Nm2kg–1,真空光速 c = ×108 ms–1,
则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。
解:
答案是×103m
简要提示:
由第二宇宙速度公式,物体要脱离太阳引力所需的速度为:
v =2Gm
2
0 ,其中 m 为太阳的质量。
令 v 等于光速 c,得到
0 2
R = 2Gm / c 2 = 2.96 ⨯ 10 3 m
0
7. 一质量为 2kg 的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向
继续运动,但速率仅为原来的四分之一,则被碰撞物体的质量为。
解:
答案是 1.2 kg
m + m
简要提示:
由弹性碰撞的速度公式:
v = (m1 - m2 )v10 + 2m2 v
1
12
20
3
2
三 计算题
1. 如图,一质点在平面内作圆周运动,有一力 F = F ( xi + yj) 作用在质点
0
上。
在该质点从坐标原点(0,0)运动到 (2R,0)位置过程中,求此力对质点所
作的功。
解 根据式(4.1.4),有
W
ab
= ⎰b(F dx + F dy) = ⎰2R F xdx + ⎰0 F ydy =
x y 0 0
1
F x 2
2 0
2R
0
= 2F R 2
0
y
R
O
2R x
计算题 1 图
2. 用铁锤把钉子水平敲入木板,设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正
比。
第一次打击,能把钉子打入木板1cm,如第二次打击时,保持第一次打击钉
子时的速度,求第二次钉子打入的深度。
解:
阻力与深度成正比,有 F = kx,两次敲击钉子的条件相同,钉子获得
的动能也相同,所以阻力对钉子作的功相同:
0.010.01+∆x
00.01
得:
∆x = 0.0041m = 0.41cm
3. 质量为 2×103kg 的子弹以 500 ms–1 的速率水平飞出,射入质量为 1kg
的静止在水平面上的木块,子弹从木块穿出后的速率为100 ms–1,而木块向前
滑行了 0.2m。
求:
(1)木块与平面间的滑动摩擦因数;
(2)子弹动能和动量的减少量。
(
得木块在子弹穿出后的速率为
m(v - v)2 ⨯ 10 -3 ⨯ (500 - 100)
V === 0.8 (m ⋅ s -1 )
m1
0
由动能原理,木块与平面间的滑动摩擦力作的功等于木块损失的动能,即
- F x = -μ m gx = ∆E
f0
1
km0 = 0 - 2 m0V 2
得μ =
(2)子弹动能减少
V 2 0.64
= = 0.163
2gx 2 ⨯ 9.8 ⨯ 0.2
∆E
km =
1 1
0
子弹动量减少
0
4. 以线密度的细线弯成半径为 R 的圆环,将一质量为 m0 的质点放在环
中心点时,求圆环和质点的引力势能。
解将圆环分成无限多个线元,在圆环上任取一个线元,长 dl,则其质量
为
dm = λ ⋅ d l = λ ⋅ Rdθ
线元 dm 和质点 m0 之间的引力势能为
dE = -
p
Gm dm
0
R
= -Gm λdθ
0
圆环和质点 m 之间的引力势能为
E = ⎰ dE = ⎰2π - Gm λdθ = -2πGm λ
pp00
如圆环的质量为 m,则可写作
力,使其轨道半径收缩到 R2。
设地球质量为 mE,试计算:
)卫星动能、势能和
E = -2πGm λ = - Gm0 m
p0
5. 一颗质量为 m 的人造地球卫星,沿半径为 R1 圆形轨道运动,由于微小阻
(1
机械能的变化;
(2)引力作的功;(3)阻力作的功。
解
(1)卫星所受的地球引力提供其作圆周运动的向心力,则
Gmm
E =
R 2
mv2
R
由此得卫星的动能为
E =
k
1 Gmm
mv2 = E
2 2R
动能的变化为
∆E =
k
Gmm
2R
2
E -
Gmm
2R
1
E
势能的变化为
∆E = (- GmmE ) - (-
p
2
Gmm
E ) = -(
R
1
Gmm
E -
R
2
Gmm
E )
R
1
2R
上式表明:
∆E = -2∆E 。
pk
机械能的变化
∆E = ∆E + ∆E = -∆E = GmmE -
kpk
1
Gmm
E
2R
2
(2)引力是保守内力,它作的功等于势能的减少,即
W = -∆E = 2∆E = ( Gmm
Gpk
2
E -
Gmm
R
1
E )
(3)根据系统的功能原理,阻力作的功等于系统机械能的变化,即
W
k
Gmm
E -
2R
1
Gmm
E
2R
2
我们可以看到,在这个过程中空气阻力作负功,地球引力作正功,且其值为
阻力所作负功的绝对值的两倍。
尽管系统机械能减少,但是卫星的动能增加了。
6. 弹簧原长等于光滑圆环半径R.当弹簧下端悬挂质量
为m 的小环状重物时,弹簧的伸长也为R.现将弹簧一端系
于竖直放置的圆环上顶点A,将重物套在圆环的B 点,AB 长
为 ,如图所示.放手后重物由静止沿圆环滑动.求当重物
计算题 6 图
滑到最低点C 时,重物的加速度和对圆环压力的大小.
解:
重物沿圆环滑动过程中,只有重力和弹力做功,所以机械能守恒,如图
所示,有:
111
k∆l 2 + mg (2R - 1.6R cosθ ) =k∆l2 +mv 2
BCC
其中 ∆l = 0.6R , ∆l= R , cosθ = 1.6R / 2R = 0.8 。
BC
由题意可知:
mg = kR ,即 k = mg / R
所以有:
v 2 = 0.8 gR
C
重物在圆环 C 处所受的力为重力、弹力 F 和环的支持力 N,
都沿着竖直方向,所以重物在 C 点的加速度为:
v 2
a =C
C
由牛顿第二定律有:
N + F - mg = ma = m
C
v 2
C
R
v 2
C
C
N = 0.8mg
7. 劲度系数为 360 Nm–1 的弹簧,右端系一质量为
0.25kg 的物体 A,左端固定于墙上,置于光滑水平台面上,
物体 A 右方放一质量为 0.15kg 的物体 B,将 A、B 和弹簧
A B
计算题 7 图
一同压缩 0.2m,然后除去外力,求:
(1) A、B 刚脱离时 B 的速度;
(2) A、B 脱
离后,A 继续向右运动的最大距离。
解:
(1) 物体 AB 一起运动,机械能守恒,当两物体运动到弹簧原长位置时,
两物体将要分离,此时两物体的速度 v 满足
11
1 A B 1
k
(m + m )
A B
= 6.0 m ⋅ s-1
(2) 物体 A 向右运动的最大距离 x2 满足
11m
22
8. 如图所示,两根绳上分别挂有质量相等的两个小球,两球碰撞时的恢复
系数 e = 。
球 A 由如图所示的静止状态释放,撞击球 B,刚好使球 B 到达绳成水
平的位置,试证明球 A 释放前的张角应满足 cos= 1 / 9。
证:
设球到达最低点速率为 v,则有
1
2
mv 2 = mg 2l (1 - cosθ )
得到
v = 4 gl (1 - cos θ ) 2l
2
4
设碰撞后两球速率为 vA 、vB,则有
v - v
e =BA = 0.5
v
v
v - v =
BA
由动量守恒
mvB +mvA = mv
由以上两式联立解得
v = 3 v
B
B 在碰撞后的运动中机械能守恒
1
mv 2 = mgl
2
B
即
19
m ⨯⨯ 4gl(1 - cosθ ) = mgl
216
解得
l
B
计算题 8 图
A
cosθ = 1
9
9. 如图所示,一质量为 m 的钢球,系在一长为 R 的绳一端,绳另一端固定,
现将球由水平位置静止下摆,当球到达最低点时与质量为 m0,静止于水平面上的
钢块发生弹性碰撞,求碰撞后 m 和 m0 的速率。
解:
球下摆过程中机械能守恒mgR= mv2/2
球速率
v =2 gR
m
R O
碰撞前后动量守恒,设碰撞后 m 和 m0 的速率分别
m
为 v1 和 v2,所以
mv =mv1+ m0v2
因为发生弹性碰撞,所以碰撞中动能是守恒的
111
1
计算题 9 图
联之解得v = m - m
1
0
v = m - m
m + m
0
0
2 gR
v =2mv
2
0
=
2m
m + m
0
2gR
10. 一质量为 m 的运动粒子与一质量为 km 的静止靶粒子作弹性对心碰撞,
求靶粒子获得最大动能时的 k 值。
解:
根据动量守恒mv = mv + kmv
01
2
(1)
11
01
由
(1)式得到 v1= v0kv2,代入
(2)式
v
2
0 2 2
v =
2
2 v
0
k + 1
12v
靶粒动能E =km(0 ) 2
k
dE
dk
则有当 k=1 时,Ek最大。
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