9矩阵位移法习题解答重庆大学文国治版教材课后答案.docx

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9矩阵位移法习题解答重庆大学文国治版教材课后答案

第9章矩阵位移法习题解答

习题9.1是非判断题

（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。

（）

（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。

（）

（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。

（）

（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。

（）

（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。

（）

（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。

（）

【解】

（1）正确。

（2）错误。

位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。

（3）错误。

不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。

（4）正确。

（5）错误。

结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。

（6）错误。

二者只产生相同的结点位移。

习题9.2填空题

（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的，其二是分析，其三

是分析。

（2）已知某单元⑥的定位向量为[356789]T，则单元刚度系数k35应叠加到结构刚度矩阵的元素中去。

（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是。

（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成矩阵和

列阵。

（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为△=[匕V2n]T=[0.80.30.5]T，单元①的始、

末端结点码为3、2，单元定位向量为f=[000345]t，设单元与x轴之间的夹角为〉二」，则

2

（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为

—eT

F=[7.5-48-70.9—7.548—121.09]，则该单元的轴力Fn=kN。

【解】

（1）离散化，单元，整体；

（2）k68；

（3）结点位移相等；

（4）结构刚度，综合结点荷载；

（5）[0000.3-0.80.5]t；

（6）-7.5。

习题9.3根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的K⑴中元素R⑴、

k23、的值以及K

（1）中元素kF、k2?

、k35）的值。

1o

l,E,A,l

y

习题9.3图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。

因此，各刚度系数的值为

kUEA/l，斤2（3）=6EI/I2，k35）=-6EI/l2；

kJ=12EI/I3，k23）=0，k35）=O。

（i）

k231

f

「y"

（1）

（b）k23的物理意义

_

（1）

（a）kii的物理意义

（d）k1

（1）的物理意义

（e）k23）的物理意义

习题解9.3图

习题9.4根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题

9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的

元素kn、

k21、k32的值。

各杆

E、

l

x

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。

因此，各刚度系数的值为

kn

12EIEA

k21=0，

kii

1

习题解9.4图

理意义。

1

x

1

2

3

y

9.5图所示。

2

2

2

1

3

习题9.5图

（a）kii和k2i的物理意义

【解】各刚度系数的物理意义如习题解

习题9.5用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵

K⑵中元素

K⑴中元素

的物

（a）k23）的物理意义

（b）k44）的物理意义

$

門1

屮2

1c

'①

—

（b）k32的物理意义

习题解9.5图

习题9.6习题9.6图所示刚架各单元杆长为I,EA、EI为常数。

根据单元刚度矩阵元素的物理

意义，写出单元刚度矩阵K

（1）、K⑵的第3列和第5列元素。

习题9.6图

K

（1）中第5列元素：

0

12EI6EI

0罕卑

I3I2

K

（1）中第3列元素：

0

6EI2EI

4EI

6EI

2EIT

0

l

-120

l

T

00

EA小

0

1

K⑵中第3列元素：

岁0

K⑵中第5列元素：

0-岂

习题解9.6图

习题9.7用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码,

并写出各单元的定位向量。

习题9.7图

=100234T,芒=567009T

习题解9.7图

本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。

习题9.8用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。

【解】离散化如习题解9.8图所示。

非结点荷载引起的单元固端力为

各单元的等效结点荷载列阵为

（2）兀T

3

4

5

6

7

8

PF—T乍P2）

F

（2）

--Fp二

:

1.0

12

8

0

12

打

（3）

AT

6

7

8

0

9

0

pE3）—T乍P3）

（3）

■-Fp二

0

9

4.5

0

9

-4.5r

集成为结构的等效结点荷载列阵

Pe-1.000128021-3.59T

直接结点荷载列阵为

Pd-10-50400000[

综合结点荷载列阵为

PPe-0-50168021-3.59f

习题9.9用先处理法求习题

9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。

已

知：

El=2.4104kNm2。

8kN8kN

5kNm6kN/m

IE24

El1El3]El14

4m2m2m2m.5m

习题9.9图

【解】离散化如习题解9.9图所示。

本题无需坐标转换。

2

3

3

4

Pe⑵

=10.67

-10.67F

PE3）=fl2.5

-12.5T

集成为结构的等效结点荷载列阵

Pe=

1.010.67

1.8312.5F

综合结点荷载列阵为

P=PjPe-500oh：

；Pe-〔510.671.8312.5T

3

2

0

3

0

2/52

K⑶二El1

1/22

K⑷二El1

1/2

3

10

0

4/53

||1/2

||1/2

1

所以本题只涉及转角位移未知量,

【解】离散化如习题解9.10图所示。

因为不计各杆轴向变形,无需坐标转换。

各单元的单刚为

122

⑴4/52/51⑵4/5

K⑴=EIK⑵=EI

2/54/5-2，2/5

集成即可得到结构刚度矩阵

2/5

01

4

2

0]

13/5

2/5

=105

2

13

2|

2/5

9/5

0

2

9」

4/5

K=El2/5

_0

习题9.11用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。

已知：

各杆EA=4105kN,

El=5104kNm2。

【解】1）离散化如习题解9.11（a）图所示。

2）计算结构刚度矩阵

各单元单刚分别为：

单元①

单元②

2

3

4

5

0

6

"10.00

0

0

：

-J10.00

0

0

0

0.9375

1.875

10

-0.9375

1.875

0

1.875

5.000

0

4875

2.500

110.00

一_0…

_0…

r'Y0"dd"

…6「

一飞-一

0

-0.9375

-J.875

i0

0.9375

-1.875

0

1.875

2.500

0

4875

5.000

1

2

3

4

5

0

6

K⑵=K⑵=104

单元③

集成为总刚

-

「2.222

0

-2.222

3.333

0

01

0

24.27

0

-1.875

-10.00

0

-2.222

0

13.16

-1.458

0

1.875

K=104

3.333

L.875

4458

16.67

0

2.500

0

L0.00

0

0

10.00

0

0

0

1.875

2.500

0

5.000

2）计算综合结点荷载列阵

除可以按照习题做法如下：

9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。

具体

将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。

这一过程可理解

成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11（b）图所示的矩阵位移

法基本体系。

由此，可得各附加约束上的反力为

EI=4.8104kNm2。

m

3

SW-

I5m

习题9.12图

【解】离散化如习题解9.12图所示。

各单元单刚分别为

2（2,3,4）

1（0,1,0）b

3（0,0,0）

Or

y

习题解

9.12图

单元①

6.400

0

单元②

K⑴=K⑴=104

-6.400

0.9000

0

（2）T

（2）4

KTKT=10

—1.800

3

4

0

1

0

0

0；

-6.400

0

01

2

0.4608

1.152:

1

0

-0.4608

1.152

3

1.152

3.840:

0

-1.152

1.920

4

…0一一

'6.40d_

一一6一一

0

-0.4608

L.152；

i

0

0.4608

-1.152

1

1.152

1.920i

0

-1.152

3.84

I0

3

4

0

0

0

0

-1.800

；-0.90000

—1.8001

8.000

0

0

-8.000

0

0

4.800

；1.800

0

2.400

2

3

4

0

1.800:

0.9000

0

1.800

-8.000

0

0

8.000

0

2

-0.9000

-1.800

2.400|

1.800

4.800

集成为总刚

_0.4608

-0.4608

-1.1521

4

K=10

7.300

-1.800

8.461

1.152

8.640

习题9.13用先处理法计算习题

9.13

图所示组合结构的刚度矩阵

K。

已知:

梁杆单元的

54

EA=3.210kN，EI=4.810kNm

链杆单元的EA=2.4105kN。

A

习题9.13图

【解】离散化如习题解9.13图所示。

这里利用一般单元来计算链杆单元③，令其

EI为零，则

该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。

单元③的杆端位移编码如习题解

9.13图所示,

其杆端转角在结点4处为“0”，

表示无杆端转角；在结点2处为

3”

表示与单元①和②在该端的

转角相同。

点位移分量统一编码应给为“

各单元单刚分别为

单元①和②

（1）

单元③

K⑴二K⑵二K

（1）=104

T

8.000

0

0

-8.000

0

0

（3）T（3）

KTKT=10

（3）T（3）

0

0

1

2

3

扎

2

3

0

4

0

九⑵

0

0

-8.000

0

0

1

.1

0

0.900

1.800

1

0

-0.900

1.800

2

0

1.800

4.800

0

-1.800

2.400

3

0

0

0

1

8.000

0

0

0

1

-0.900

L.800

0

0.900

-1.800

4

2

1.800

2.400

0

-1.800

4.800

!

0

3

0

0

0

1

2

3

一3.072

2.304

0

:

七.072

-2.304

01

0

2.304

1.728

0

=-2.304

-1.728

0

0

0

0

0

=0

0

0

0

-3.072

-2.304

0

3.072

■

2.304

0

1

-2.304

-1.728

0

:

2.304

1

1.728

0

2

-0

0

0

0

0

0一

3

集成为总刚

一19.07

4

K=10

2.304

3.528

0

0

9.600

0

-0.900

-1.800

0.900

有多少个?

23

4需

7

9

习题9.14图

3（4,5,6）

1（0,0,0）

fy

©

7（0,0,0）

【解】离散化如习题解9.14图所示，则各单元定位向量为

5（8,9,10）

4（4,5,7）

2（1,2,3）2P

习题解9.14图

•⑴=[1230

00]T,•⑵=[12

（3）

3456]T,■（3）=[8910457]丁

•⑷=[4570

00]T,'（5）二[89

100011]T

根据单元定位向量,

判定各结点位移分量间的相关性。

这里参考【例

10.2】的方法，具体为:

位移分量1~3、6均与位移分量7~11无关，得到无关分量20对；位移分量4、

5、7与位移分量11

无关，得到无关分量3对；合计无关分量共23对。

说明K上半三角中，至少有

23个元素为零，因

此整个K中至少应有46个零元素。

习题9.15试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁，并画出弯矩图。

各杆

20kNI

EI=常数。

yiA

6kN/m

1川川川_T

BJCD

4m2m2m

4m

习题9.15图

【解】1）离散化如习题解9.15（a）图所示。

连续梁无需坐标转换。

3

（2）4（0）

1（0）2

（1）

10.8

（b）M图（kN-m）

13.2

3.6

（a）离散化

习题解9.15图

2）计算总刚

各单元刚度矩阵为

0

1

1

2

2

0

K⑴=EI『

1/2]

0K⑵=EI

"1

I

1/2]1

K⑶=EII1

1/2]2

1/2

1

1，

1/2

12

■?

1/2

10

集成为总刚

■21/2]

K二EI

||1/22

3）计算综合结点荷载列阵

按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法，在2、3两结点上附加刚臂，易求得

FP-FpiFp2【m8-10T

因此，综合结点荷载列阵为

P--FP-丨-810T

4）解结构刚度方程K=P,得

11-5.66.4fEl

5）求单元杆端力

根据F―K…乍二得

（1）

（2）

4m

【解】1）离散化如习题解9.16（a）图所示。

（a）离散化

2）计算总刚

（c）Fq图（kN）

习题解

9.16图

单元①无需坐标转换，其单元刚度矩阵为

单元②的坐标转换矩阵为

0

0

0

1

2

3

120

0

0

•20

0

0

0

1.125

2.25

-

V

0

-1.125

2.25

0

2.25

6

1

T

r

0

-2.25

3

-120

0

0

1

120

0

0

0

4125

-2.25J

0

1.125

-2.25

0

2.25

3

r

0

-2.25

6

「0.8

-0.6

0；

0

0

01

0.6

0.8

05

0

0

0

0

0

1=

0

0

0

0

0

0；

0.8

-0.6

0

0

0

0:

1

0.6

0.8

0

0

0

0-

0

0

1

K

（1）=K

（1）=104

T

（2）

10

0

0

1

2

3

则其刚度矩阵为

0

0

0

1

2

3

"61.65

-45.8

0.864:

-61.65

45.8

0.864

-45.8

34.93

1.152

45.8

—34.93

1.152

0.864

1.152

4.8

1

-0.864

-1.152

2.4

-61.65

45.8

-0.864:

1

61.65

-45.8

-0.864

45.8

-34.93

7.152:

-45.8

34.93

-1.152

「0.864

1.152

2.4:

-0.864

-1.152

4.8

1

K⑵=TTK⑵T=104

0

0

0

1

2

3

集成为总刚

K=104

181.6

.45.8

-0.864

_45.8

36.05

-3.402

-0.864

-3.402

10.8

3）计算综合结点荷载列阵

各单元的等效结点荷载列阵为

pE1）

（1）

扎T

=-FP1}-1016

10.670

16

3

■T

-10.67]

集成得结构的等效结点荷载列阵

16-10.67f

综合结点荷载列阵为

p=PEP^PE讨0

50f-1021

-10.67T

4）解结构刚度方程K=P,得

1.8513

7.4810-7.3719『

5）求单元杆端力

根据Fe=Te（K\'.e）-Fpe，得

F⑴二K（1\-

（1）-F『=104

120

0

-120

—120

1.125

2.25

-1.125

2.25

2.25

0

-1.125

0

120

-2.25

0

-2.250

1.125

-2.25

■01

0-

'01

"-22.22]

0

0

—16

78.50

0

°+

70.67

74.56

1.8513

1

0

22.22

7.4810

2

—16

T3.50

-7.3719_

3'

10.67_

1

-必6一

0

2.25

10占

单元①定位向量

-2.25

0.8-0.60000

0.60.80：

000

001I000

・M・4■■・■・・■■・■m・・m■・■■・=・■■■・■■KBI

000:

0.8-0.60

-128.87-1.47-2.79-28.871.47-4.56T

6）绘内力图，如习题解9.16（b）~（d）图所示。

习题9.17用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。

已知：

e=3107kN/m2，各杆

2

A=0.1m。

【解】1）离散化如习题解9.17（a）图所示。

单元①和②无需坐标转换,

2）计算总刚

0

0

1

2

0

0

3

4

>.5

0

!

-7.5

01

0

-

「7.5

0

!

—7.5

01

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-■・・-・・・

1

■■■・u.

■・■■■・，

K⑵=K⑵=105

--

1

4.B|B・■“■■・・■■■■

-7.5

0

；7.5

1

0

1,

-7.5

0

；7.5

1

0

:

.0

0

i0

0一

2

0

0

i0

0」

其结构坐标系中的单刚分别为

0

0

3

4

K⑴二K

（1）=105

单兀③的〉=nrad

2

，结构坐标系中的单刚为

（3）T（3）

KTKT二10

1

■0

0

0

23

0：

0

1丨0

“l.・

0;0

i

一仁0

4

01

_1

0

1

1

2

3

4

单元④的〉=0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

0

0

3

4

一3.84

2.88丨

1

」.84

-2.881

2.88

2.161

1

-2.88

-2.16

C3.84

-2.88i

i

3.84

2.88

-2.88

-2.16!

2.88

2.16

0

0

3

4

（4）T（4）5

KTKT二10

单元⑤的:

--0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

0

集成总刚为

-

11.34

-2.88

0

01

5

-2.88

12.16

0

-10

K=10

0

0

11.34

2.88

0

-10

2.88

12.16_

3）计算综合结点荷载列阵

P=Pj-80020F

4）解结构刚度方程K=P,得

•：

=10'2.55747.2919-2.06498.1304T

5）求单元杆端力

根据F°=Te（KJe），可求得各单元的杆端轴力。

这里以单元⑤为例，其杆端轴力为

001

F（5）二T（5）（K（5）J5〉）二0.8_°.6

-2.88-3.84

2.162.88

2.883.84

0.8-0.6

单元⑤定位向量

"3.84

-2.88

-3.84

2.88

-2.16

-2.88

I[2.88

-2.16-2.882.16

0

0

2.5574

-7.2919一2/

二13.98

-13.98