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完整版高一数学竞赛培训教材有讲解和答案
高中思维训练班《高一数学》
第1讲集合与函数(上)
『本讲要点』:
复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:
函数的迭代
1.定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x不∈P},若A={y|y=x2}B={x|-3≤x≤3},再定义M△N=(M-N)∪(N-M),求A△B
数.若AB{a1,a4},a1
a4
10.
且A
n
1000,
*4.
函数f(n)
f(f(n
5)),
n
1000
5.
练习:
定义:
fn
(x)
f(f(
f(x)
n个
3.已知集合A
{a1,a2,a3,a4}
f10(x)1024x1023.求f(x)的解析式.(本讲重点迭代法)
+y)=f(x)+f(y)+xy。
求f(x)(本
求f(7)(本讲重点迭代
2.集合A={1,2,3}中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是.若A={1,2,3,,n},则所有子集的元素之和
9.求集合A={1,2,3,,10}所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c>0,的解集是{x|m
的解集
作业答案:
7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10.x<1/n或x>1/m
答案:
B-A={x|-3≤x<0}A△B={x|-3≤x<0或x>3}
2.【解】〖分析〗已知{1,2,,n}的所有的子集共有2n个.而对于i{1,2,,n},显然{1,2,,n}中包含i的子集与集合{1,2,,i1,i1,,n}的子集个数相等.这就说明i
f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=ax+b(a+1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1)
10依次类推有:
f10(x)=a10x+b(a9+a8+⋯+a+1)=a10x+b(1a)1a
由题设知:
10
a10=1024且b(1a)=10231a
∴a=2,b=1或a=-2,b=-3
∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3
8.解:
令y=1,得f(x+1)=f(x)+x+1
再依次令x=1,2,⋯,n-1,有
f
(2)=f
(1)+2
f(3)=f
(2)+3
n(n1)
2
f(n-1)=f(n-2)+(n-1)f(n)=f(n-1)+n依次代入,得
f(n)=f
(1)+2+3+⋯+(n-1)+n=
x(x1)
∴f(x)=2
方法3.抽象函数的周期问题
*1例f(x)在x>0上为增函数,且f(x)f(x)f(y).求:
y
(1)f
(1)的值.
当x>0时,f(x)>2
(2)若f(6)1,解不等式f(x3)f
(1)2x
(1)求证:
f(x)在R上是增函数
(2)若f
(1)=5/2,解不等式f(2a-3)<3
3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)
=-1.
(1)求f
(1)和f(1/9)的值
(2)证明f(x)在x>1上是增函数
(3)在x>1上,若不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围
4例几个关于周期的常见的规律:
5练习:
f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),以下结论正确的是(多
选):
A.f
(2)=0
B.f(x)=f(x+4)
C.f(x)的图象关于直线x=0对称
D.f(x+2)=f(-x)
『课后作业』:
6定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x和y都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)证明f(x)在x>0上为增函数
(2)若f(5)=1,解不等式f(x+1)–f(2x)>2
*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-1f(x),求证f(x)是周期函数
1f(x)
7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)].求f(7)(本讲重点迭代法)
111
*8.已知f
(1)=且当n>1时有=2(n+1)。
求f(n)(n∈N+)(本
5f(n)f(n1)
讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A={1,2,3,,10}所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c>0,的解集是{x|m
的解集
作业答案:
6.0 7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)].求f(7)(本讲重点迭代 法) 111 *8.已知f (1)=且当n>1时有=2(n+1)。 求f(n)(n∈N+)(本 5f(n)f(n1) 讲重点顺序拼凑法) 9.求集合A={1,2,3,,10}所有非空子集的元素之和 10.已知不等式ax2+bx+c>0,的解集是{x|m 的解集 『上讲课后作业回顾』: 化学 5.有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后,完全转化为氯化物,测得 氯化物的质量为9.5克,通过计算指出该金属的名称。 (差量法) 6.取100克胆矾,需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液(十 字交叉法) 高中思维训练班《高一数学》 第3讲函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题 『本讲要点』: 函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解 『重点掌握』: 凑f(x)法计算函数的周期 『需要的知识背景』: 函数的奇偶性,一次函数、二次函数 1例已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+1)=-f(x) (1)证明: f(x)是周期函数,并求最小正周期 (2)当x∈[0,1)时,f(x)=x,求在[-1,0)上的解析式 (T=2,已求好)(f(x)=-x-1,已求好) **2例f(x)图像满足下列条件,试证明f(x)为周期函数 (1)关于x=a,x=b对称. (2)关于(a,0),(b,0)对称.(3)关于(a,0),x=b对称. *3练对函数f(x),当x∈(-∞,+∞)时,f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x) 为周期函数,并求出最小正周期f(x)=f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)T=10 推广该题,对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数,证明同上面类似 4例设f(x)和g(x)均为周期函数,f(x)的周期为2,g(x)的周期为3,问: f(x)±g(x),f(x)g(x)是否是周期函数若是,求出它们的周期 f(x)的周期为2,--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3,--->g(x+3n)=g(x) 2与3的最小公倍数是6,--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)>f(x)±g(x)是周期为6的周期函数; f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)>f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。 高中思维训练班《高一数学》 第4讲函数的对称专题(下) 第5讲对称与周期的关系 『本讲要点』: 较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1: 两个函数的图象对称性 性质1: y f(x)与y f(x)关于x轴对称。 换种说法: yf(x)与 yg(x)若满足f(x) g(x),即它们关于y 0对称。 性质2: y f(x)与y f(x)关于Y轴对称。 换种说法: yf(x)与 yg(x)若满足f(x) g(x),即它们关于x 0对称。 性质3: y f(x)与y f(2ax)关于直线x a对称。 换种说法: yf(x)与 yg(x)若满足f(x) g(2ax),即它们关于 xa对称 性质4: yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。 换种说法: yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a,即它们关于ya对称。 性质5: yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。 换种说法: yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b,即它们关于点(a,b)对称。 性质6: yf(ax)与y(xb)关于直线xab对称。 2 知识点2: 单个函数的对称性 性质1: 函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时,函数yf(x)的图象关于直线xab对2 称。 证明: 性质2: 函数yf(x)满足f(ax)f(bx)c时,函数yf(x)的图象关于点(ab,2c)对称。 2 证明: 性质3: 函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线xba对称。 2 证明: 知识点3: 对称性和周期性之间的联系 性质1: 函数yf(x)满足f(ax)f(ax),f(bx)f(bx)(ab),求证: 函数 yf(x)是周期函数。 证明: 性质2: 函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时,函数 yf(x)是周期函数。 (函数yf(x)图象有两个对称中心(a,c)、(b,c)时,函22 数yf(x)是周期函数,且对称中心距离的两倍,是函数的一个周期) 证明: 性质3: 函数yf(x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴xb(a≠b)时,该函数也是周期函数,且一个周期是4(ba) 证明: 推论: 若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称,则f(x)是周期函数,4(ba)是它的一个周期 证明: 性质4: 若函数f(x)对定义域内的任意x满足: f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。 (若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴,应注意二者的区别) 证明: 性质5: 已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb,则yfx是以2a为周期的函数 证明: 『例题与习题』: 1例(2005高考·福建理)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f (2)0,则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是() A.3B.4C.5D.7 *2例f(x)的定义域是R,且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008.求f(2008)的值。 3练 函数fx对于任意实数x满足条件fx2f1x,若f1 5,则 ff 5 ___。 解: 由fx2 1 得fx4 1f(x),所以f(5)f (1) 5,则 fx fx2 ff 5f(5) f (1) 1 1 f(12) 5 *4例若函数f(x)在R上是奇函数,且在1,0上是增函数,且f(x2)f(x). ①求f(x)的周期; ②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性; 解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4),故周期T4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为 P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y) ∵f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x) ∴f(4k2x)f(2x)f(x)y ∴点P2在图象上,图象关于直线x2k1对称. ③设1x1x22,则2x2x11,02x22x11 ∵f(x)在(1,0)上递增,∴f(2x1)f(2x2)⋯⋯(*) 又f(x2)f(x)f(x)∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2). 所以: f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数. 5例已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数,周期T5,函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x2时函数取得最小值5. (1)证明: f (1)f(4)0; (2)求yf(x),x[1,4]的解析式; **(3)求yf(x)在[4,9]上的解析式. 解: ∵f(x)是以5为周期的周期函数,且在[1,1]上是奇函数,∴ ②当x[1,4]时,由题意可设f(x) a(x2)2 5(a0), 由f (1) f(4)0得a(12)25a(4 2)25 0,∴ a2, ∴f(x) 2(x2)25(1x4). ③∵y f(x)(1x1)是奇函数,∴ f(0) 0, 又知y f(x)在[0,1]上是一次函数, ∴可设 f(x) kx(0x 1) 而f (1) 2 2(12)253, ∴k 3,∴当0x1时,f(x) 3x, 从而1 x0时,f(x)f(x) 3x,故 1x 1时, f(x)3x ∴当4 x6时,有1x51, ∴f(x) f(x5)3(x 5)3x 当6x 9时,1x54, ∴f(x) 2 f(x5)2[(x5)2]25 2 2(x7)2 5 ∴f(x) 3x15,4x6 2(x7)25,6x9 课后作业』 : f (1)f (1)f(51)f(4),∴f (1)f(4)0. 6练已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x 15. 2)f(x),则f(6)的值为(B) (D)2 故函数,f(x)的周期为4 (A)-1(B)0(C)1 解: 因为f(x)是定义在R上的奇函数 所以f(0)0,又f(x4)f(x2)f(x), 所以f(6)f (2)f(0)0,选B 7练定义在R上的非常数函数满足: f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是(A)(第十二届高中数学希望杯第二题) (A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周期函数 解: ∵f(10+x)为偶函数,∴f(10+x)=f(10-x). ∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。 故选(A) 8练设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=(B) (A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5 解: ∵y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心; 又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1 是y=f(x)对称轴,故y=f(x)是周期为2的周期函数。 ∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B) 高中思维训练班《高一数学》 第6讲归纳总结,作业回顾 物理**5例如图1一8所示,有两根不可伸长的柔软的轻绳,长度分别为l1和l2,它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物,上端分别与质量可忽略的小 圆环A、B相连,圆环套在圆形水平横杆上.A、B可在横杆上滑动,它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2,且l1l2。 试求μ1和μ2在各种取值情况下,此系统处于静态平衡时两环之间的距离AB。 物理6作业A跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运 动员和他身上装备的总重量为G1,圆顶形降落伞伞面的重量为G2,有12条相同的 拉线(拉线重量不计),均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖直方向都成30°角。 则每根拉线上的张力大小为: (答案在本页最下边) 物理7作业如图2—7所示,AO是质量为m的均匀细杆,可绕O轴在竖直平面内自动转动。 细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触,圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡,已知杆的倾角为θ,AP长度是杆长的1,各处的摩擦都不计,则挡板对圆柱体的作用力 4 等于。 (答案在本页最下边) 化学*5作业三氟化溴溶于水可发生如下反应: BrF3+H2OHBrO3 +Br2+HF+O2↑ (1)其中发生自身氧化还原反应的物质是; (2)当有5.0mol水参加反应时,由水还原的BrF3的物质的量为, 由BrF3还原的BrF3的物质的量为; (3)当有5.0mol水作还原剂参加化学反应时,由水还原的BrF3的物质的量为,由BrF3还原的BrF3的物质的量为; (4)当有5.0mol水未参加氧化还原反应时,由水还原的BrF3的物质的量为 ,由BrF3还原的BrF3的物质的量为。 答案: (1)BrF3 (2)1.3mol0.67mol(3)3.3mol1.7mol(或1.8 mol)(4)2.2mol1.1mol 高中思维训练班《高一数学》 第6讲第一阶段考试(数学) 满分: 150分时间: 120分钟姓名分数 、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分。 在每小题只有一项是符 合要求的) 1、已知集合A=xy 2 x,x Z,B=yy 2 x,x Z,则A与B的关系是 AB AIB 设全集U={1,2, 2、 3,4,5},A CUB 1,2 ,则集合CUAB的子集个数最多 A.3 B.4 C.7 D. 3、 列各图中能表示从集合A到集合B的映 设A={x|0 2}, B={y|0y 2}, x 0 x 312y 123xD. 射是 4、已知函数f(x) ax2 c,且f(x) 0的解集为(- 2,1)则函数y f(x)的图 象为 5、设集合A=0,12,B= 12,1, 函数 f(x)= 1 x 2 1 x,x 若x0A,B, (x0)]A,则x0的取值范围是 1 11 A.0,1 B. 4 42 A.1B. 2 C.3 ) 6、若一系列函数的解析式相同, ( C. D. 0,38 D.4 值域相同, 但定义域不同,则称这些函数为 生函数”, 那么函数解析式为y2x21,值域为{1,7}的“孪生函数”共有 A.10个 B.9个 C.8个 D.4个 () D.是奇函数又 )上是减函数,如 7、函数y1x是 x1x2 A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 是偶函数 8、已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+ 果x1<0,x2>0, 且|x1|<|x2|,则有() A.f(-x1)+f(-x2)>0B.f(x C.f(-x1)-f(-x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0 9、设函数f(x)2x,bxxc,0x.0,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)x2,x0. 的解的个数为 (A).1(B)2(C)3(D)4() 10、
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