等差数列的前n项和.docx

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等差数列的前n项和

等差数列的前n项和

【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

解依题意，得

解得a1=113，d=－22．

∴其通项公式为

an=113＋（n－1）·（－22）=－22n＋135

∴a6=－22×6＋135＝3

说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而

即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．

【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．

解由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3

若am＝bN，则有3n－1＝5N－3

若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1（k为非负整数）．

又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以

N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66

∴两数列相同项的和为

2＋17＋32＋…＋197=1393

【例3】选择题：

实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

[]

A．1，3，5　　B．1，3，7

C．1，3，99　D．1，3，9

又∵14＝5a＋3b，

∴a＝1，b＝3

∴首项为1，公差为2

∴a50=c=1＋（50－1）·2=99

∴a＝1，b＝3，c＝99

【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

解依题意2＝1＋（2n＋2－1）d　　　　　　　　　　　　　　　　　①

由①，有（2n＋1）d=1　　　　　　　　　⑤

∴共插入10个数．

【例5】在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．

且Sm＝Sn，m≠n

∴Sm+n＝0

【例6】已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．

d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．

解方程组得：

d＝－2，a1＝9

∴an＝9＋（n－1）（n－2）＝－2n＋11

其余各项为负．数列{an}的前n项和为：

∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n

当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn

∴Tn＝2（－25＋50）－（－n2＋10n）＝n2－10n＋50

说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．

【例7】在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．

解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34

得4a1＋38d＝34

＝20a1＋190d

＝5（4a1＋38d）=5×34=170

由等差数列的性质可得：

a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17

S20＝170

【例8】已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．

解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得

由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4

再由d＞0，得d＝2∴a1=－10

最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180

解法二由等差数列的性质可得：

a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4

又a3·a7=－12，由韦达定理可知：

a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根

解方程可得x1=－6，x2＝2

∵d＞0∴{an}是递增数列

∴a3＝－6，a7=2

【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

[]

∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199

解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：

Sn＝an2＋

bn

可设Sn＝2n2k，Tn＝n（3n＋1）k

说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由

k是常数，就不对了．

【例10】解答下列各题：

（1）已知：

等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；

（2）在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；

（3）已知：

等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；

（4）已知：

等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．

分析与解答

a9=a6＋（9－6）d=－17＋3×（－5）=－32

（2）a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350

（3）∵a4＋a6＋a15＋a17=50

又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21

∴a4＋a17=a6＋a15=25

（4）∵an=33－3n∴a1＝30

∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．

【例11】求证：

前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．

证设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn．

当n≥2时，an＝Sn－Sn-1

∴an＝（4n2＋3n）－[4（n－1）2＋3（n－1）]

=8n－1

当n=1时，a1=S1=4＋3=7

由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有an=8n－1

又an+1－an＝[8（n＋1）－1]－（8n－1）＝8

∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．

说明这里使用了“an=Sn－Sn-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，Sn-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．

【例12】证明：

数列{an}的前n项之和Sn＝an2＋bn（a、b为常数）是这个数列成为等差数列的充分必要条件．

由Sn＝an2＋bn，得

当n≥2时，an＝Sn－Sn-1

＝an2＋bn－a（n－1）2－b（n－1）

=2na＋b－a

a1＝S1＝a＋b

∴对于任何n∈N，an＝2na＋b－a

且an－an-1=2na＋（b－a）－2（n－1）a－b＋a

＝2a（常数）

∴{an}是等差数列．

若{an}是等差数列，则

Sn=an2＋bn

综上所述，Sn=an2＋bn是{an}成等差数列的充要条件．

说明由本题的结果，进而可以得到下面的结论：

前n项和为Sn=an2＋bn＋c的数列是等差数列的充分必要条件是c＝0．事实上，设数列为{un}，则：

【例13】等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n（m＞n），求前m＋n项和Sm+n．

解法一设{an}的公差d

按题意，则有

=－（m＋n）

解法二设Sx＝Ax2＋Bx（x∈N）

①－②，得A（m2－n2）＋B（m－n）＝n－m

∵m≠n∴A（m＋n）＋B=－1

故A（m＋n）2＋B（m＋n）＝－（m＋n）

即Sm+n＝－（m＋n）

说明a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2＋Bx．（x∈N）

【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？

解∵S偶项－S奇项=nd

∴nd=90－75=15

又由a2n－a1＝27，即（2n－1）d=27

【例15】在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．

解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．

∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2

∴当n=13时，Sn最大，最大值S13＝169

解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等

∵a1＝25，S9＝S17

∴an=25＋（n－1）（－2）=－2n＋27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．

解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．

由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0

而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14

∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0

∴S13=169最大．

解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．

∵{an}是等差数列

∴可设Sn＝An2＋Bn

二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S9＝S17，

∴取n=13时，S13＝169最大