浙江宁波中考数学试题.docx
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浙江宁波中考数学试题
2013年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项符号题目要求)
1.(3分)(2013•宁波)﹣5的绝对值为( )
A.
﹣5
B.
5
C.
﹣
D.
2.(3分)(2013•宁波)下列计算正确的是( )
A.
a2+a2=a4
B.
2a﹣a=2
C.
(ab)2=a2b2
D.
(a2)3=a5
3.(3分)(2013•宁波)下列电视台的台标,是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分)(2013•宁波)在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5.(3分)(2013•宁波)备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车,此项目总投资约77亿元,77亿元用科学记数法表示为( )
A.
7.7×109元
B.
7.7×1010元
C.
0.77×1010元
D.
0.77×1011元
6.(3分)(2013•宁波)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
7.(3分)(2013•宁波)两个圆的半径分别为2和3,当圆心距d=5时,这两个圆的位置关系是( )
A.
内含
B.
内切
C.
相交
D.
外切
8.(3分)(2013•宁波)如果三角形的两条边分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的( )
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
9.(3分)(2013•宁波)下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方形包装盒的是( )
A.
B.
C.
D.
10.(3分)(2013•宁波)如图,二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( )
A.
abc<0
B.
2a+b<0
C.
a﹣b+c<0
D.
4ac﹣b2<0
11.(3分)(2013•宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=,BC=4,连结BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
2
12.(3分)(2013•宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A.
a=b
B.
a=3b
C.
a=b
D.
a=4b
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
13.(3分)(2013•宁波)实数﹣8的立方根是 ﹣2 .
14.(3分)(2011•海南)分解因式:
x2﹣4= (x+2)(x﹣2) .
15.(3分)(2013•宁波)已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称,则该函数的解析式为 y=﹣ .
16.(3分)(2013•宁波)数据﹣2,﹣1,0,3,5的方差是
.
17.(3分)(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4
,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .
18.(3分)(2013•宁波)如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2
,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (
,
) .
三、解答题(共8小题,满分76分)
19.(6分)(2013•宁波)先化简,再求值:
(1+a)(1﹣a)+(a﹣2)2,其中a=﹣3.
20.(7分)解方程:
=
﹣5.
21.(7分)(2013•宁波)天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如图,从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A,B的俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度为51米,A,B两点在CD的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B之间的距离(结果保留根号)
22.(9分)(2013•宁波)2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数(AQI)如图所示:
(1)这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少?
(2)当0≤AQI≤50时,空气质量为优.求这11个城市当天的空气质量为优的频率;
(3)求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数.
23.(9分)(2013•宁波)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上,并写出平移后抛物线的解析式.
24.(12分)(2013•宁波)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/部)
4000
2500
售价(元/部)
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.
(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?
并求出最大毛利润.
25.(12分)(2013•宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求证:
BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A.B.C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.
26.(14分)(2013•宁波)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(﹣4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P,D,B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于点F,连结EF,BF.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时.
①求证:
∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y.请求出y关于x的函数解析式;
(3)请你探究:
点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2:
1?
如果存在,求出此时点P的坐标:
如果不存在,请说明理由.
2013年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项符号题目要求)
1.(3分)(2013•宁波)﹣5的绝对值为( )
A.
﹣5
B.
5
C.
﹣
D.
考点:
绝对值.
分析:
根据绝对值的概念:
数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案.
解答:
解:
﹣5的绝对值为5,
故选:
B.
点评:
此题主要考查了绝对值,关键是掌握绝对值规律总结:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
2.(3分)(2013•宁波)下列计算正确的是( )
A.
a2+a2=a4
B.
2a﹣a=2
C.
(ab)2=a2b2
D.
(a2)3=a5
考点:
幂的乘方与积的乘方;合并同类项.
分析:
根据合并同类项的法则,同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案.
解答:
解:
A、a2+a2=2a2,故本选项错误;
B、2a﹣a=a,故本选项错误;
C、(ab)2=a2b2,故本选项正确;
D、(a2)3=a6,故本选项错误;
故选:
C.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法,合并同类项,一定要记准法则才能做题.
3.(3分)(2013•宁波)下列电视台的台标,是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
中心对称图形.
分析:
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:
解:
A、不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、不是中心对称图形,故本选项错误;
D、是中心对称图形,故本选项正确.
故选D.
点评:
本题考查了中心对称图形,掌握中心对称图形的概念:
中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合是解题的关键.
4.(3分)(2013•宁波)在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
概率公式.
分析:
根据概率的求法,找准两点:
①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
解答:
解:
解:
根据题意可得:
一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球,共5个,
从中随机摸出一个,则摸到红球的概率是
=.
故选:
D.
点评:
本题考查概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
5.(3分)(2013•宁波)备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车,此项目总投资约77亿元,77亿元用科学记数法表示为( )
A.
7.7×109元
B.
7.7×1010元
C.
0.77×1010元
D.
0.77×1011元
考点:
科学记数法—表示较大的数.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:
77亿=7700000000=7.7×109,
故选:
A.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
6.(3分)(2013•宁波)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
考点:
多边形内角与外角.
分析:
利用多边形的外角和360°,除以外角的度数,即可求得边数.
解答:
解:
多边形的边数是:
360÷72=5.
故选A.
点评:
本题考查了多边形的外角和定理,理解任何多边形的外角和都是360度是关键.
7.(3分)(2013•宁波)两个圆的半径分别为2和3,当圆心距d=5时,这两个圆的位置关系是( )
A.
内含
B.
内切
C.
相交
D.
外切
考点:
圆与圆的位置关系.
分析:
由两个圆的半径分别为2和3,圆心之间的距离是d=5,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
解答:
解:
∵两个圆的半径分别为2和3,圆心之间的距离是d=5,
又∵2+3=5,
∴这两个圆的位置关系是外切.
故选D.
点评:
此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.
8.(3分)(2013•宁波)如果三角形的两条边分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的( )
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
考点:
三角形中位线定理;三角形三边关系.
分析:
本题依据三角形三边关系,可求第三边大于2小于10,原三角形的周长大于14小于20,连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半,那么新三角形的周长应大于7而小于10,看哪个符合就可以了.
解答:
解:
设三角形的三边分别是a、b、c,令a=4,b=6,
则2<c<10,14<三角形的周长<20,
故7<中点三角形周长<10.
故选B.
点评:
本题重点考查了三角形的中位线定理,利用三角形三边关系,确定原三角形的周长范围是解题的关键.
9.(3分)(2013•宁波)下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方形包装盒的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
展开图折叠成几何体.
分析:
根据长方体的组成,通过结合立体图形与平面图形的相互转化,分别分析得出即可.
解答:
解:
A、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意;
B、剪去阴影部分后,无法组成长方体,故此选项不合题意;
C、剪去阴影部分后,能组成长方体,故此选项正确;
D、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意;
故选:
C.
点评:
此题主要考查了展开图折叠成几何体,培养了学生的空间想象能力.
10.(3分)(2013•宁波)如图,二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( )
A.
abc<0
B.
2a+b<0
C.
a﹣b+c<0
D.
4ac﹣b2<0
考点:
二次函数图象与系数的关系.
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
A、根据图示知,抛物线开口方向向上,则a>0.
抛物线的对称轴x=﹣
=1>0,则b<0.
抛物线与y轴交与负半轴,则c<0,
所以abc>0.
故本选项错误;
B、∵x=﹣
=1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0.
故本选项错误;
C、∵对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是(﹣1,0),
∴当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0.
故本选项错误;
D、根据图示知,该抛物线与x轴有两个不同的交点,则△=b2﹣4ac>0,则4ac﹣b2<0.
故本选项正确;
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
11.(3分)(2013•宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=,BC=4,连结BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
2
考点:
梯形;等腰三角形的判定与性质.
分析:
延长AE交BC于F,根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF,再根据两直线平行,内错角相等可得∠DAF=∠AFB,然后求出∠BAF=∠AFB,再根据等角对等边求出AB=BF,然后求出FC,根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形,然后根据平行四边形的对边相等解答.
解答:
解:
延长AE交BC于F,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAF=∠DAF,
∵AE∥CD,
∴∠DAF=∠AFB,
∴∠BAF=∠AFB,
∴AB=BF,
∵AB=,BC=4,
∴CF=4﹣=,
∵AD∥BC,AE∥CD,
∴四边形AFCD是平行四边形,
∴AD=CF=.
故选B.
点评:
本题考查了梯形的性质,等腰三角形的性质,平行四边形的判定与性质,梯形的问题,关键在于准确作出辅助线.
12.(3分)(2013•宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A.
a=b
B.
a=3b
C.
a=b
D.
a=4b
考点:
整式的混合运算.
专题:
几何图形问题.
分析:
表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.
解答:
解:
左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,
∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,
∴AE+a=4b+PC,即AE﹣PC=4b﹣a,
∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=3bAE﹣aPC=3b(PC+4b﹣a)﹣aPC=(3b﹣a)PC+12b2﹣3ab,
则3b﹣a=0,即a=3b.
故选B
点评:
此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
13.(3分)(2013•宁波)实数﹣8的立方根是 ﹣2 .
考点:
立方根.
分析:
利用立方根的定义即可求解.
解答:
解:
∵(﹣2)3=﹣8,
∴﹣8的立方根是﹣2.
故答案﹣2.
点评:
本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.
14.(3分)(2011•海南)分解因式:
x2﹣4= (x+2)(x﹣2) .
考点:
因式分解-运用公式法.
分析:
直接利用平方差公式进行因式分解即可.
解答:
解:
x2﹣4=(x+2)(x﹣2).
点评:
本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是:
两项平方项,符号相反.
15.(3分)(2013•宁波)已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称,则该函数的解析式为 y=﹣ .
考点:
反比例函数的性质.
分析:
根据图象关于x轴对称,可得出所求的函数解析式.
解答:
解:
关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数,
即﹣y=,
∴y=﹣
故答案为:
y=﹣.
点评:
本题考查了反比例函数图象的对称性,是识记的内容.
16.(3分)(2013•宁波)数据﹣2,﹣1,0,3,5的方差是
.
考点:
方差.
分析:
先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数,再根据方差公式进行计算即可.
解答:
解:
这组数据﹣2,﹣1,0,3,5的平均数是(﹣2﹣1+0+3+5)÷5=1,
则这组数据的方差是:
[(﹣2﹣1)2+(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(3﹣1)2+(5﹣1)2]=
;
故答案为:
.
点评:
本题考查方差,掌握方差公式和平均数的计算公式是解题的关键,一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2].
17.(3分)(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4
,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .
考点:
扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
专题:
综合题.
分析:
根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.
解答:
解:
∵弦AB=BC,弦CD=DE,
∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,
∴∠BOD=90°,
过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,
则BF=FG=2
,CG=GD=2,∠FOG=45°,
在四边形OFCG中,∠FCD=135°,
过点C作CN∥OF,交OG于点N,
则∠FCN=90°,∠NCG=135°﹣90°=45°,
∴△CNG为等腰三角形,
∴CG=NG=2,
过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2
,
在等腰三角形MNO中,NO=
MN=4,
∴OG=ON+NG=6,
在Rt△OGD中,OD=
=
=2
,
即圆O的半径为2
,
故S阴影=S扇形OBD=
=10π.
故答案为:
10π.
点评:
本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大.
18.(3分)(2013•宁波)如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2
,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (
,
) .
考点:
反比例函数综合题.
分析:
由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形;根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E(a,),D(b,),由双曲线的对称性可以求得
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