辽宁省大连市高新区名校联盟九年级上学期期中数学试题.docx
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辽宁省大连市高新区名校联盟九年级上学期期中数学试题
辽宁省大连市高新区名校联盟2021年九年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.平面直角坐标系内的点A(-2,3)关于x轴对称点的坐标是()
A.(3,-2)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(-2,-3)
2.方程x2﹣3x=0的解是( )
A.x=3B.x=0C.x=1或x=3D.x=3或x=0
3.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的顶点坐标是( )
A.(﹣1,5)B.(1,5)C.(﹣1,﹣5)D.(1,﹣5)
4.如图,在⊙O中,弦AB的长为24,圆心O到AB的距离为5,则⊙O的半径为( )
A.12
B.12
C.13D.12
5.下列方程中没有实数根的是()
A.x2﹣x﹣1=0B.x2+3x+2=0
C.2018x2+11x﹣20=0D.x2+x+2=0
6.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
7.若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是()
A.抛物线开口向上B.当x>﹣1时,y随x的增大而减小
C.对称轴为x=﹣1D.c的值为﹣3
8.在一次会议中,每两人都握了一次手,共握手21次,设有x人参加会议,则可列方程为( )
A.x(x+1)=21B.x(x﹣1)=21
C.
D.
9.如图,在⊙O中,AC∥OB,∠BAO=m°,则∠BOC的度数为( )
A.m°B.2m°C.(90﹣m)°D.(180﹣2m)°
10.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
则当y<6时,x的取值范围是( )
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
11
6
3
2
3
…
A.﹣1<x<3B.﹣3<x<3C.x<﹣1或x>3D.x>3
二、填空题
11.若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根,那么a=______.
12.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为.
13.将二次函数y=x2+1的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得二次函数解析式为_____.
14.设x1,x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根,则x1+x2的值是_____.
15.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系
,已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面的最大高度是m.
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
三、解答题
17.解方程:
(x﹣2)(x﹣5)+1=0
18.抛物线y=2x2+bx+c经过(﹣3,0),(1,0)两点
(1)求抛物线的解析式,并求出其开口方向和对称轴
(2)用配方法求出该抛物线的顶点坐标.
19.如图,P是⊙O外一点,OP交⊙O于A点,PB切⊙O于B点,已知OA=1,OP=2,求PB的长.
20.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2;并写出点A2、B2、C2坐标;
(3)请画出△ABC绕O逆时针旋转90°后的△A3B3C3;并写出点A3、B3、C3坐标.
21.有一面积为150平方米的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,墙对面设一个2米宽的门,另三边(门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长33米.求养鸡场的长和宽各是多少米.
22.如图,已知直线y=﹣2x+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P,使△POB≌△POC?
若存在,求出点P的坐标:
若不存在,请说明理由.
23.如图①,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:
BC为⊙O的切线;
(2)连接AE并延长与BC的延长线交于点G(如图②所示).若AB=
,CD=9,求线段BC和EG的长.
24.某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
25.在Rt△ABC中,AB=AC,OB=OC,∠A=90°,∠MON=α,分别交直线AB、AC于点M、N.
(1)如图1,当α=90°时,求证:
AM=CN;
(2)如图2,当α=45°时,问线段BM、MN、AN之间有何数量关系,并证明;
(3)如图3,当α=45°时,旋转∠MON,问线段之间BM、MN、AN有何数量关系?
并证明.
26.如图1,抛物线C1:
y=ax2+k的顶点A(0,﹣2),且过点(2,0),点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.
(1)抛物线的解析式为 ;
(2)求点C的坐标:
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C,且抛物线C的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.
参考答案
1.D
【分析】
根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答.
【详解】
根据平面直角坐标系中对称点的规律可知,点P(-2,3)关于x轴的对称点坐标为(-2,-3).
故选D.
【点睛】
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律.解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
2.D
【分析】
利用因式分解法中的提公因式法求解一元二次方程即可
【详解】
解:
x2﹣3x=0
x(x﹣3)=0
∴x=0或x﹣3=0,
∴x1=0,x2=3.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查用因式分解法解一元二次方程,在该题中准确地找出公因式是关键
3.B
【分析】
根据二次函数的顶点式求出解即可,即:
二次函数
的顶点坐标为
【详解】
解:
因为y=﹣(x﹣1)2+5是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点,顶点坐标为(1,5).
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的顶点式,熟练掌握顶点式的特点是关键
4.C
【分析】
根据圆的垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧)得出OC垂直平分AB,再利用勾股定理求出半径OA的长
【详解】
解:
∵OC⊥AB,
∴AC=BC=
AB=12,
则OA=
=13,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了圆的垂径定理与简单的勾股定理的运用,熟练掌握相关概念是关键
5.D
【解析】
【分析】
先确定各个选择支的a、b、c,再代入根的判别式中计算,根据计算结果确定正确的选择支.
【详解】
当a=1,b=﹣1,c=﹣1时,△=b2﹣4ac=1+4=5>0,方程有两个不相等的实数根,故选项A不合题意;
当a=1,b=3,c=2时,△=b2﹣4ac=9﹣8=1>0,方程有两个不相等的实数根,故选项B不合题意;
当a=2018,b=11,c=﹣20时,△=b2﹣4ac=112+4×2018×20>0,方程有两个不相等的实数根,故选项C不合题意;
当a=1,b=﹣1,c=2时,△=b2﹣4ac=1﹣8=﹣7<0,方程没有实数根,故选项D合题意.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了根的判别式,题目难度不大.△>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,△<0时,一元二次方程没有实数根.
6.B
【解析】
试题分析:
根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形,∠DFC=∠BEC=60°,即得结果.
由题意得EC=FC,∠DCF=90°,∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B.
考点:
正方形的性质,旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质
点评:
解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质:
旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
7.B
【分析】
由条件可求得点c的值,再利用二次函数解析式,逐项判断即可.
【详解】
解:
∵y=x2+2x+c与y轴交点为(0,﹣3),
∴c=﹣3,故D正确,不符合题意,
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=﹣1,当x>﹣1时,y随x的增大而增大,故A、
C正确,不符合题意,B不正确,故选B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质,解题的关键是求得函数解析式、化为顶点式.
8.D
【分析】
如果有x人参加聚会,则每个人需要握手(x-1)次,x人共需要握手x(x-1)次,又因为每两个人都握了一次手,因此需要将重复的部分除去,即共握
次,之后根据题意列出方程即可
【详解】
解:
设x人参加这次聚会,则每个人需握手:
x﹣1(次);
依题意,可列方程为:
=21;
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际运用,根据题意找出等量关系是关键
9.B
【分析】
先根据OA=OB,∠BAO=m°,得出∠B=∠BAO,再根据AC∥OB得出∠B=∠CAB,最后根据圆周角定理(在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半)即可得出答案
【详解】
解:
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB=m°,
∵AC∥OB,
∴∠CAB=∠B=m°,
∴∠BOC=2∠CAB=2m°,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理,掌握该定理是解题关键
10.A
【分析】
根据表格数据,利用二次函数的对称性判断出x=3时,y=﹣6,之后写出相应范围即可
【详解】
解:
由表可知,二次函数的对称轴为直线x=1,
所以,x=3时,y=﹣6,
所以,y<6时,x的取值范围为﹣1<x<3.
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的对称性,掌握对称性的特点是解题关键
11.﹣3
【解析】
将x=1代入一元二次方程x2+2x+a=0,得:
解得:
a=-3.
故答案为a=-3.
12.50°.
【解析】
试题分析:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°.∴∠ABC的度数为50°.
考点:
圆周角定理.
13.y=(x+2)2﹣2.
【分析】
根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数的顶点坐标,再利用顶点坐标写出解析式即可
【详解】
解:
二次函数y=x2+1的顶点坐标为(0,1),
∵函数图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,
∴0﹣2=﹣2,
1﹣3=﹣2,
∴平移后的二次函数顶点坐标为(﹣2,﹣2),
∴所得二次函数解析式为y=(x+2)2﹣2.
故答案为:
y=(x+2)2﹣2.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移性质及顶点式的书写,掌握其平移的规律是解题关键
14.-3
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出即可,即,在一元二次方程
(
)中,
是它的两个根,则
;
【详解】
解:
由根与系数的关系可知:
x1+x2=﹣3,
故答案为:
﹣3
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系,掌握其基本关系是关键
15.19.6.
【解析】
试题分析:
由题意得:
t=4时,h=0,因此0=16a+19.6×4,解得:
a=﹣4.9,∴函数关系为
=
,所以足球距地面的最大高度是:
19.6(m),故答案为19.6.
考点:
1.二次函数的应用;2.二次函数的最值;3.最值问题.
16.3.
【分析】
连接PC.先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC=2,再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM,由此可得到PM的最大值为PC+CM.
【详解】
解:
如图连接PC.
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,
∴AB=4,
根据旋转不变性可知,A′B′=AB=4,
∴A′P=PB′,
∴PC=
A′B′=2,
∵CM=BM=1,
又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,
∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线).
故答案为3.
【点睛】
本题考查旋转的性质,直角三角形的性质、三角形的三边关系,解题的关键是掌握本题的辅助线的作法.
17.
;
【分析】
将原方程化为一般式,求根公式(
)求解即可
【详解】
解:
原方程化为:
x2﹣7x+11=0,
∴△=49﹣4×11=5,
∴x=
;
∴
;
【点睛】
本题主要考查了用公式法解一元二次方程,掌握其求根公式是关键
18.
(1)抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,开口向上,对称轴为直线x=﹣1;
(2)抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣8).
【分析】
(1)将(﹣3,0)、(1,0)代入解析式求出b、c值即可求得解析式;再根据二次函数的性质即可得开口方向与对称轴
(2)将二次函数配方成顶点式后便可求得其顶点坐标
【详解】
解:
(1)将点(﹣3,0)、(1,0)代入解析式
可得:
2+b+c=0,
解得:
,
则抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,开口向上,对称轴为直线x=
=﹣1;
(2)∵y=2x2+4x﹣6
=2(x2+2x)
=2(x2+2x+1﹣1)﹣6
=2(x+1)2﹣8,
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣8).
【点睛】
本题主要考查了二次函数的基本性质,掌握其最基本的性质(对称轴、顶点式的求法等)是解此题关键
19.
【解析】
试题分析:
连接OB,由切线的性质则可得∠B=90°,在Rt△POB在,利用勾股定理即可得.
试题解析:
连接OB,
∵PB切⊙O于点B,
∴∠B=90°,
∵OA=1,
∴OB=OA=R=1,
∴OP=2,
∴PB=
.
20.
(1)见解析;
(2)见解析,A2(﹣1,﹣1)、B2(﹣4,﹣2)、C2(﹣3,﹣4);(3)见解析,A3(﹣1,1)、B3(﹣2,4)、C3(﹣4,3).
【分析】
(1)利用平移的性质得出对应点的位置进而得出答案
(2)利用关于原点对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案
(3)利用旋转的性质得出旋转后的点的坐标进而得出答案
【详解】
解:
(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△A2B2C2即为所求,A2(﹣1,﹣1)、B2(﹣4,﹣2)、C2(﹣3,﹣4);
(3)如图,△A3B3C3即为所求,A3(﹣1,1)、B3(﹣2,4)、C3(﹣4,3).
【点睛】
本题主要考查了二次函数平移旋转等图形变换的基本性质,掌握前后变换规律是解题关键
21.鸡场的长为15米,宽为10米.
【分析】
设长为
,则根据图可知一共有三面用到了篱笆,长用的篱笆为
米,与2倍的宽长的总和为篱笆的长33米,长
宽为面积150平方米,根据这两个式子可解出长和宽的值.
【详解】
解:
设鸡场的长为
,因为篱笆总长为33米,由图可知宽为:
米,
则根据题意列方程为:
,
解得:
,
(大于墙长,舍去).
宽为:
=10米.
答:
鸡场的长为15米,宽为10米.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用,理解题意,正确的列方程,牢记长方形的面积求解:
长
宽,一元二次方程的求解是本题的关键与重点.
22.
(1)y=﹣x2+2x+3;
(2)存在.P(
).
【分析】
(1)根据待定系数法求解析式即可
(2)先确定出点C坐标,然后根据△POB≌△POC建立方程,求解即可
【详解】
解:
(1)由y=﹣2x+6=0,得x=3
∴B(3,0).
∵A(1,4)为顶点,
∴设抛物线的解析为y=a(x﹣1)2+4,解得a=﹣1.
∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(2)存在.
当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,
∴C(0,3).
∵OB=OC=3,OP=OP,
∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC.
作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,则∠POM=∠PON=45°.
∴PM=PN.
设P(m,m),则m=﹣m2+2m+3,解得m=
.
∵点P在第三象限,
∴P(
,
).
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及三角形与函数实际情况的综合运用,熟练掌握两者的相关概念是解题关键
23.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【详解】
试题分析:
(1)连接OE,OC,即可证明△OEC≌△OEC,根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°,从而证得∠OBC=90°,则BC是圆的切线.
(2)先求线段BC的长,过D作DF⊥BG于F,则四边形ABFD是矩形,在Rt△DCF中,由切线长定理知AD=DE、CE=BC,利用勾股定理可求得CF的长,设AD=DE=BC,根据CD=9,列出方程即可求出x,△ADE中,由于AD=DE,可得到∠DAE=∠AED=∠CEG,而AD∥BG,根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG,由此可证得CE=CG=CB,即可求得BG的长.
试题解析:
(1)证明:
如图1,连接OE,OC;
∵CB=CE,OB=OE,OC=OC
∴△OEC≌△OBC(SSS)
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线.
(2)解:
如图2,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,
∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B
∴DA=DE,CE=CB,
在Rt△DFC中,CF=
=1,
设AD=DE=BF=x,
则x+x+1=9,
x=4,
∵AD∥BG,
∴∠DAE=∠EGC,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠AED;
∵AD∥BG,
∵∠AED=∠CEG,
∴∠EGC=∠CEG,
∴CG=CE=CB=5,
∴BG=10,
在Rt△ABG中,AG=
=6
,
∵AD∥CG,
∴
=
,
∴EG=
×6
.
24.
(1)
;
(2)w=-x2+300x-10400(50≤x≤80);w=-3x2+540x-16800(80<x<140);(3)售价定为90元.利润最大为7500元.
【分析】
(1)当售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,y=260-x,50≤x≤80,当如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件,y=420-3x,80<x<140,
(2)由利润=(售价-成本)×销售量列出函数关系式,
(3)分别求出两个定义域内函数的最大值,然后作比较.
【详解】
(1)当50≤x≤80时,y=210-(x-50),即y=260-x,
当80<x<140时,y=210-(80-50)-3(x-80),即y=420-3x.
则
,
(2)由利润=(售价-成本)×销售量可以列出函数关系式
w=-x2+300x-10400(50≤x≤80)
w=-3x2+540x-16800(80<x<140),
(3)当50≤x≤80时,w=-x2+300x-10400,
当x=80有最大值,最大值为7200,
当80<x<140时,w=-3x2+540x-16800,
当x=90时,有最大值,最大值为7500,
故售价定为90元.利润最大为7500元.
【点睛】
此题考查二次函数的应用,解题关键在于应用二次函数解决实际问题比较简单.
25.
(1)证明见解析;
(2)BM=AN+MN,理由见解析;(3)MN=AN+BM.理由见解析.
【分析】
(1)根据题意AB=AC,∠BAC=90°,得出
是一个等腰直角三角形,再根据三线合一得出OA=OB=OC,从而∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,且AO⊥BC,从而得出∠MON=∠AOC=90°,再又因为等角的余角相等,所以∠AOM=∠CON,所以通过证明△AOM≌△CON得出AM=CN
(2)根据题意,在BA上截取BG=AN,连接GO,AO,先证明△BGO≌△AON,再证明△GMO≌△NMO得出GM=MN,从而证明出BM=AN+MN
(3)根据题意,过点O作OG⊥ON,连接AO,先证明△NAO≌△GBO,得到AN=
GB,GO=ON,再证明△MON≌△MOG得到MN=MG,从而进一步证明出MN=AN+BM
【详解】
证明:
(1)如图1,连接OA,
∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,
∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,
∴∠MON=∠AOC=90°,
∴∠AOM=∠CON,且AO=CO,∠BAO=∠ACO=45°,
∴△AOM≌△CON(ASA)
∴AM=CN;
(2)BM=AN+MN,
理由如下:
如图2,在BA上截取BG=AN,连接GO,AO,
∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,
∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,
∵BG=AN,∠ABO=∠NAO=45°,AO=BO,
∴△BGO≌△AON(SAS)
∴OG=ON,∠BOG=∠AON,
∵∠MON=45°=∠AOM+∠AON,
∴∠AOM+∠BOG=45°,且∠AOB=90°,
∴∠MOG=∠MON=45°,且MO=MO,GO=NO,
∴△GMO≌△NMO(SAS)
∴GM=MN,
∴BM=BG+GM=AN+MN;
(3)MN=AN+BM,
理由如下:
如图3,过点O作OG⊥ON,连接AO,
∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,
∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,
∴∠GBO=∠NAO=135°,
∵MO⊥GO,
∴∠NOG=90°=∠AOB,
∴∠BOG=∠AON,且AO=BO,∠NAO=∠GBO,
∴△NAO≌△GBO(ASA)
∴AN=GB,GO=ON,
∵MO=MO,∠MON=∠GOM=45°,GO=NO,
∴△MON≌△MOG(SAS)
∴MN=M
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- 辽宁省 大连市 高新区 名校 联盟 九年级 学期 期中 数学试题