等比数列.docx

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等比数列

等比数列

教学目标︰

1、通过实例，理解等比数列的概念

通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。

2、     探索并掌握等比数列的通项公式

通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。

3、通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。

教学重点：

理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：

等比数列与其对应函数的关系。

教学过程：

一、            创设情境,引入新课

在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例1。

●            实例分析1：

在《数学3》（必修）中，我们认识了二进制数。

它是一串由“0”和“1”构成的数。

计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。

计算机存储的最基本单位是“位（bit）”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位，就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n个位共能储存的不同信息

 种，写出{ 

 }的前5项。

【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？

老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。

【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到{ 

 }的前5项为2,4,8,16,32。

   ①

●        实例分析2：

公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。

你能解释这个论述的含义吗？

【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。

【老师】（用现代语言叙述后）如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？

【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：

1，

，

，

，

，…。

　②

【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。

●        实例分析3：

一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。

如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。

假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？

【学生】合作讨论,得出什么为第一轮，第二轮。

从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1,20,202，203,…。

③

【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③，说说它们有什么共同特点？

引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。

我们可以发现：

数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

也就是说这个数列有一个共同的特点：

从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。

我们把这样的数列称为等比数列。

这就是我们今天要研究的课题，等比数列。

【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子，观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等比数列的定义。

二、探究新课

1、等比数列的定义

探究1：

类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？

【设计意图】学会类比的思想。

【学生】独立思考，类比等差数列的定义。

给等比数列下定义。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q表示。

【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？

如果我们第n项用

表示，那么它的前一项该怎么表示，那么比怎么表示？

这里的n的取值范围呢？

【学生】讨论，交流。

或

【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的，和刚才那位同学下的定义一样吗？

有什么不同？

【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。

学生发现课本中有q≠0这个条件.

思考：

等比数列的定义中，可否去掉“q≠0”的条件？

为什么？

能否将“         ”的条件改写成“          ”？

为什么？

【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。

【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“q≠0”的条件，因为如果q=0,则分子为0,而每一个分子都可能出现在分母中,则分母为0无意义;       表达式说明在等比数列中的任意项都不能为0.

感悟:

等比数列中q≠0,

.

【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？

【学生1】常数列。

【老师】是吗?

有不同意见吗?

【学生2】非零的常数列既是等差又是等比数列。

练习1：

判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q。

（1）                                      1,2,8，32，128,… 。

           ---不是  

（2）                                      -1,－5，－25，－125,…。

        --是  q=5

（3）　2，2，2，2，…  。

           ---是　q=1

（4）1，-0.5，0.25，-0.125，…。

     ---是　q=-0.5

（5）1,2，1,2,1,2…。

                 ---不是

【老师】思考:

公比q的取值范围是什么呢？

【学生】正数、负数，但是不能为零。

练习2：

求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1，____， 9            

（2）-1，____，-4

（3）-12，____，-3             

（4）1， _____，1

【学生1】根据等比数列的定义，得出插入3后，构成等比数列。

【学生2】补充插入-3后，也能构成等比数列。

学生思考，得到两个都符合题意.。

下面三个小题可根据

（1），顺利得到答案。

【老师】在学习等差数列的定义后，我们也做过这样的题目，在两数中间插入一个数，使三数成等差数列，那么我们把中间这个数称为等差中项。

类比等差中项的概念，我们把刚才插入的那个数称为等比中项。

2、等比中项

探究2：

前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义，你能仿照等差中项，给出等比中项的定义吗？

等差中项与等比中项有何差异？

【老师】类比等差中项的概念，大家给等比中项下个定义吧。

【学生】如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

学生思考得结论：

任何两个数都有等差中项，有且只有一个，而只有同号的两个数才有等比中项，而且有两个，且互为相反数。

3、等比数列的通项公式

我们继续来研究一下情境中的这三个数列。

探究3：

试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比数列的通项公式。

【设计意图】体现由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，归纳，猜想的过程。

①

  ②

      ③

【学生】通过观察，看出这三个数列的通项公式，并寻找这三个公式中共性的地方，把①改写成

，②

，③

，观察，发现都有n-1次幂的形式，而且乘号前面的数字2,1,1都是首项

，乘号后面的数字2，

20都是各项的公比，所以猜想等比数列的通项公式是an=a1qn-1。

【老师】这位同学猜想的很好，那我们就来推导一下等比数列的通项公式，看看和这位同学猜想的一致吗？

探究4：

类比等差数列通项公式的推导过程，请你写出首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式。

【老师】我们在学习等差数列的通项公式时，用过哪些方法？

【学生1】回忆了用不完全归纳法证明通项公式的方法，类比等差数列的推导过程，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：

a2=a1q,

a3=a2q=a1q2,…

即an=a1qn-1.

【老师】请同学们想一想，你还有其它方法吗？

【学生2】根据等比数列的定义，我们还可以写出

进而有

，即an=a1qn-1.

【学生3】an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a1qn-1.亦得an=a1qn-1。

【老师】等比数列的通项公式：

an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）

我们知道了等比数列的通项公式后，下面我们做课本52页练习，来看一下它有哪些应用。

学生做练习，老师巡视，予以指导。

探究5：

在课本50页的平面直角坐标系中，

（1）画出通项公式为an=2n-1的数列的图象。

（2）再在坐标系中画出函数y=2x-1的图象，观察它们之间的关系。

（3）若将底数换为

 呢？

你有怎样的结论？

【设计意图】等比数列

的通项公式还可以写成

，当q为不等于1的正数时，

是一个指数函数，

是一个的非零常数与一个指数函数的积。

因此从图像上看，表示数列

的点都在函数

的图像上。

【学生】观察、动手作图，发现规律，总结规律，数列是特殊的函数，等比数列是其对应函数图象上孤立的点。

【老师】通过几何画板演示动画。

三、归纳小结　提炼精华

本节课主要学习了：

    一个定义：

    一个公式：

，an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）

    两种思想：

方程思想、函数的思想。

    三种方法：

不完全归纳法、迭代法、叠乘法（此条不板书）。

【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？

【学生1】在本节课中，我学习了等比数列的定义，等比中项的公式，学会了等比数列的推导的三种方法，最后学习了等比数列和函数之间的关系。

【学生2】在本节课中我还学习了类比的思想。

【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。

【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。

这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

四、作业

2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?

3、课本p53习题2.4 1、2、7、8

五、目标检测设计

1:

求下列等比数列的第4项和第5项；

（1）4，-8,16,...   

（2）

2：

求下列各组数的等比中项；

（1）4,9；    

（2）

3:

已知等比数列的公比是q，第项为，试求其第n项。