最新二次函数区间取最值问题专题练习含答案.docx

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最新二次函数区间取最值问题专题练习含答案

最新二次函数区间取最值问题专题练习（含答案）

班级

姓名

2018届初三数学培优材料

（一）

函数实际应用专题

（一）

例题1小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元，但是最低价为16元∕只．

（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？

（2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式．

（3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？

为什么？

分析：

理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；

（2）利用分段函数分别得出y与x的函数关系式即可；

（3）根据函数性质当x=

=45时，y有最大值202.5元；

此时售价为20-0.1×（45-10）=16.5（元），进一步解决问题．

解：

（1）设需要购买x只，

则20−0.1（x−10）=16，

得x=50，

故一次至少要购买50只；

（2）当10

即y=−0.1x2+9x，

当x>50时,y=（16−12）x，即y=4x；

（3）当0

当x=

=45时，y有最大值202.5元；

此时售价为20−0.1×（45−10）=16.5（元），

当45

∴最低价至少要提高到16.5元/只。

练习1：

某城市香菇上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？

（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？

最大利润是多少？

分析：

（1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量-6×存放天数）”列出函数关系式；

（2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可；

（3）根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值

解答：

（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000-6x），

=-3x2+940x+20000（1≤x≤90，且x为整数）；

（2）由题意得：

-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500

解方程得：

x1=50，x2=150（不合题意，舍去）

李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售；

（3）设利润为w，由题意得

w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）2+30000

∵a=-3<0，∴抛物线开口方向向下，在1≤x≤90时w随x的增大而增大

∴x=90时，w最大=29700

∴存放90天后出售这批香菇可获得最大利润29700元

例题2某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量

（件）与销售单价

（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求

与

之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额

总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：

当x取何值时，P的值最大？

最大值是多少？

分析：

（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；

（2）利用总利润=总销售额-总成本，进而得出P与x的函数关系式，进而得出最值；

（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．

解答：

（1）设y与x的函数关系式为：

y=kx+b，

∵函数图象经过点（60，40）和（70，30），

∴

解得：

故y与x之间的函数关系式为：

y=-10x+1000

（2）由题意可得出：

P=（x-50）（-10x+1000）=-10x2+1500x-50000，

自变量取值范围：

50≤x≤70．   ∵-

，a=-10<0．

∴函数P=-10x2+1500x-50000图象开口向下，对称轴是直线x=75． 

∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大，∴当x=70时，P最大值=6000．      

（3）由p≥4000，

当P=4000时，4000=-10x2+1500x-50000，解得：

x1=60，x2=90，

∵a=-10<0，∴得60≤x≤90，又50≤x≤70；

故60≤x≤70．

练习2.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数

（台）与补贴款额

（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额

的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益

（元）会相应降低且

与

之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数

和每台家电的收益

与政府补贴款额

之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益

（元）最大，政府应将每台补贴款额

定为多少？

并求出总收益

的最大值．

分析：

（1）总收益=每台收益×总台数；

（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；

（3）把y与z的表达式代入进行整理，求函数最值

解答：

（1）该商场销售家电的总收益为800×200=160000（元）；

（2）根据题意设y=k1x+800,Z=k2x+200

∴400k1+800=1200,200k2+200=160解得k1=1,k2=−15，

∴y=x+800,Z=−15x+200；

（3）W=yZ=（x+800）⋅（−15x+200）=−15x2+40x+160000=−15（x−100）2+162000.

∵a=−15<0，抛物线开口向下∴W有最大值。

当x=100时，W最大=162000

∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值

其最大值为162000元。

练习3.．“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量

（千克）与销售单价

（元）（

）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出

与

的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？

最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价

的范围（直接写出答案）．

分析：

（1）由图象过点（30，400）和（40，200）利用待定系数法求直线解析式；

（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；

（3）画出函数图象，结合图形回答问题．

解答：

（1）设y=kx+b，由图象可知，

解得：

∴y=−20x+1000（30≤x≤50,）

（2）p=（x−20），y=（x−20）（−20x+1000）=−20x2+1400x−20000，

∵a=−20<0，∴p有最大值。

当x=−

时,p最大值=4500.

即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元。

（3）令p=4480得：

4480=-20x2+1400x-20000

解方程得：

x1=34，x2=36

令p=4180得：

4180=-20x2+1400x-20000

解方程得：

x1=31，x2=39

如图所示：

∵每天可获利润不超过4480元，不得低于4180元，

∴31≤x≤34或36≤x≤39．

练习4.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

分析：

（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，

（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；

（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题

解答：

（1）z=（x−18）y=（x−18）（−2x+100）=−2x2+136x−1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800；

（2）由z=350,得350=−2x2+136x−1800，解这个方程得x1=25,x2=43,

所以，销售单价定为25元或43元，

将z═−2x2+136x−1800配方,得z=−2（x−34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合

（2）及函数z=−2x2+136x−1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=−2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x=32时,每月制造成本最低。

最低成本是18×（−2×32+100）=648（万元），

因此，所求每月最低制造成本为648万元。

例题3：

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：

[来源:

Zxxk.Com]

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：

[ww#w.zzs^tep.~*com%]

[www.z%#z&ste*@]

（1）用x的代数式表示t为：

t＝；当0＜x≤4时，

y2与x的函数关系为y2＝；当4≤x＜时，y2＝100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

分析：

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2=

及t=6-x即可求出y2与x的函数关系：

当0

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：

①0

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可

解答：

（1）由题意，得x+t=6，∴t=6-x；∵y2=

∴当0

此时y2与x的函数关系为：

y2=-5（6-x）+110=5x+80；

当4≤x<6时，0<6-x≤2，即0

此时y2=100．

故答案为：

6-x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

①当0

②当2

③当4

综上可知，

（3）当0

当2

当4

∵a=-5＜0，

∴当x>3时，W随x的增大而减小，

∴x=4时，W最大=640．

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

练习5.某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：

销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．

信息2：

销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

分析：

（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；

（2）

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答

解答：

（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

∴

解得

所以,二次函数解析式为y=−0.1x2+1.5x；

（2）设购进A产品m吨,购进B产品（10−m）吨，销售A. B两种产品获得的利润之和为W元，

则W=−0.1m2+1.5m+0.3（10−m）=−0.1m2+1.2m+3=−0.1（m−6）2+6.6，

∵a=−0.1<0，

∴当m=6时，W有最大值6.6，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A. B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元。