选修21 常用逻辑用语全章复习专用.docx
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选修21常用逻辑用语全章复习专用
基础典型题归类与解析
------选修2—1常用逻辑用语(全章)
对某章节基础题型进行归类解析,并辅之以同类型题目进行巩固练习,不仅是老师的事,学生更要学会自己做好。
当你会总结题目,对所做的题目会分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方法,还有哪些类型题不会做时,你才真正的掌握了学数学的窍门,才能真正的做到"任它千变万化,我自岿然不动"。
这个问题如果解决不好,在进入高二、高三以后会发现,有一部分同学天天做题,可成绩不升反降。
其原因就是,他们天天都在做重复的工作,很多相似的题目反复做,需要解决的问题却不能专心攻克。
久而久之,不会的题目还是不会,会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握,弄的一团糟。
我的建议是:
"归类解析"是将题目越做越少的最好办法。
一、题型一:
命题、真命题、假命题的判断
1.例1:
下列语句是命题的是( )
A.梯形是四边形 B.作直线AB
C.x是整数D.今天会下雪吗
解:
A
2、例2.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
解析:
对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”;
B所给语句是命题;
C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.
故选D.
变式练习:
下列命题是真命题的是( )
A.{∅}是空集B.
是无限集
C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数
解析:
选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.
二、题型二:
复合命题的结构
例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假:
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)已知x、y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
解析:
(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
因为当a=0时,方程变为2x-1=0,此时只有一个实根x=
.
(3)已知x、y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
变式练习:
指出下列命题的条件p与结论q,并判断命题的真假:
(1)若整数a是偶数,则a能被2整除;
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
(3)相等的两个角的正切值相等.
解析:
(1)条件p:
整数a是偶数,
结论q:
a能被2整除,真命题.
(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”,
即“若一个四边形的对角线相等且互相平分,则该四边形是矩形”.
条件p:
一个四边形的对角线相等且互相平分,
结论q:
该四边形是矩形,真命题.
(3)命题“相等的两个角的正切值相等”,即“若两个角相等,则这两个角的正切值相等”.
条件p:
两个角相等,
结论q:
这两个角的正切值相等,假命题.
三、题型三:
命题真假判断中求参数范围
例4、已知p:
x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0(m∈R)无实根,求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围.
解析:
若p为真,则
解得m>2.
若q为真,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1 p真,q真,即 故m的取值范围是(2,3). 变式练习: 已知命题p: lg(x2-2x-2)≥0;命题q: 0 解: 命题p是真命题,则x2-2x-2≥1, ∴x≥3或x≤-1, 命题q是假命题,则x≤0或x≥4. ∴x≥4或x≤-1. 四、题型四: 四种命题的等价关系及真假判断 例5.命题“若△ABC有一内角为 ,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( ) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 解析: 选D.原命题显然为真, 原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为 ”,它是真命题.故选D. 例6.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 答案: B 例7.若“x>y,则x2>y2”的逆否命题是( ) A.若x≤y,则x2≤y2B.若x>y,则x2 C.若x2≤y2,则x≤yD.若x 解析: 选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 例8..给出下列命题: ①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题; ③命题“若a>b>0,则 > >0”的逆否命题; ④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析: ①否命题: 若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题: 若△ABC为等边三角形,则AB=BC=CA,真命题; ③因为命题“若a>b>0,则 > >0”是真命题,故其逆否命题为真命题; ④逆命题: 若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>1,假命题. 所以应填①②③. 变式练习.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的( ) A.逆命题B.逆否命题 C.否命题D.以上判断都不对 解析: 选B.命题p: 若x,则y,其逆命题q: 若y,则x,那么命题q的否命题r: 若非y,则非x,所以p是r的逆否命题.所以选B. 五、题型五: 问题的逆否证法 例9.判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假. 解: ∵m>0, ∴12m>0,∴12m+4>0. ∴方程x2+2x-3m=0的判别式 Δ=12m+4>0. ∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题. 六、题型六: 判断条件关系及求参数范围 例10.“x=2kπ+ (k∈Z)”是“tanx=1”成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 当x=2kπ+ 时,tanx=1, 而tanx=1得x=kπ+ , 所以“x=2kπ+ ”是“tanx=1”成立的充分不必要条件.故选A. 例11、设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析: 由题意得: 故D是A的必要不充分条件 例12.已知条件p: -1≤x≤10,q: x2-4x+4-m2≤0(m>0)不变,若非p是非q的必要而不充分条件,如何求实数m的取值范围? 解: p: -1≤x≤10. q: x2-4x+4-m2≤0 ⇔[x-(2-m)][x-(2+m)]≤0(m>0) ⇔2-m≤x≤2+m(m>0). 因为非p是非q的必要而不充分条件, 所以p是q的充分不必要条件, 即{x|-1≤x≤10}{x|2-m≤x≤2+m}, 故有 或 , 解得m≥8. 所以实数m的范围为{m|m≥8}. 变式练习1: 已知条件: p: y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q: 5x-6>x2,则q是p的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A.p: x2+2x-3>0,则x>1或x<-3; q: 5x-6>x2,即x2-5x+6<0, 由小集合⇒大集合, ∴q⇒p,但p q.故选A. 变式练习2已知p: ≤x≤1,q: a≤x≤a+1,若p的必要不充分条件是q,求实数a的取值范围. 解析: q是p的必要不充分条件, 则p⇒q但q p. ∵p: ≤x≤1,q: a≤x≤a+1. ∴a+1≥1且a≤ ,即0≤a≤ . ∴满足条件的a的取值范围为 . 七、充要条件的论证 例13求证: 0≤a< 是不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立的充要条件. 证明: 充分性: ∵0 , ∴Δ=a2-4a(1-a)=5a2-4a=a(5a-4)<0, 则ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立. 而当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>0可变成1>0. 显然当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立. 必要性: ∵ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立, ∴a=0或 解得0≤a< . 故0≤a< 是不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立的充要条件. 八、命题真假值的判断 例14.如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题,那么( ) A.命题p不一定是假命题 B.命题q一定为真命题 C.命题q不一定是真命题 D.命题p与命题q的真假相同 解析: 选B.“p∨q”为真,则p、q至少有一个为真.非p为真,则p为假,∴q是真命题. 变式练习: 判断由下列命题构成的p∨q,p∧q,非p形式的命题的真假: (1)p: 负数的平方是正数,q: 有理数是实数; (2)p: 2≤3,q: 3<2; (3)p: 35是5的倍数,q: 41是7的倍数. 解: (1)p真,q真,∴p∨q为真命题,p∧q为真命题,非p为假命题; (2)p真,q假,∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,非p为假命题; (3)p真,q假,∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,非p为假命题. 九、命题的否定与否命题 例15.命题“若a 解析: 命题“若a 命题的否定为“若a 变式练习1: “a≥5且b≥3”的否定是____________; “a≥5或b≤3”的否定是____________. 解: a<5或b<3 a<5且b>3 变式练习2: (2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 解: 存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 变式练习3.写出下列命题的否定,然后判断其真假: (1)p: 方程x2-x+1=0有实根; (2)p: 函数y=tanx是周期函数; (3)p: ∅⊆A; (4)p: 不等式x2+3x+5<0的解集是∅. 解析: 题号 判断p的真假 非p的形式 判断非p的真假 (1) 假 方程x2-x+1=0无实数根 真 (2) 真 函数y=tanx不是周期函数 假 (3) 真 ∅ A 假 (4) 真 不等式x2+3x+5<0的解集不是∅ 假 十、全称命题与特称命题相关小综合题 例16.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假: (1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0. (2)对任意实数x1,x2,若x1 (3)∃T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|. (4)∃x0∈R,使x +1<0. 解析: (1) (2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax>0(a>0且a≠1)恒成立,∴命题 (1)是真命题. (2)存在x1=0,x2=π,x1 但tan0=tanπ,∴命题 (2)是假命题. (3)y=|sinx|是周期函数,π就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意x0∈R,x +1>0. ∴命题(4)是假命题. 例17.若命题p: ∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤-3或a>2B.a≥2 C.a>-2D.-2 解析: 依题意: ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立, 即(a+2)x2+4x+a-1≥0恒成立, 所以有: ⇔ ⇔a≥2. 所以选B 变式练习1: 已知命题p: ∃x0∈R,tanx0= ;命题q: ∀x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且q”是________命题.(填“真”或“假”) 解析: 当x0= 时,tanx0= , ∴命题p为真命题; x2-x+1= 2+ >0恒成立, ∴命题q为真命题, ∴“p且q”为真命题. 所以填: 真 变式练习2: 已知命题p: ∃x∈R,使tanx=1,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题,其中正确的是( ) A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ 解析: 当x= 时,tanx=1,∴命题p为真命题. 由x2-3x+2<0得1 ∴p∧q为真,p∧¬q为假,¬p∨q为真,¬p∨¬q为假. 所以选D 十一、综合训练典型题 例18.设命题p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q: 实数x满足 (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解: (1)由x2-4ax+3a2<0得 (x-3a)(x-a)<0. 又a>0,所以a 当a=1时,1 即p为真命题时,实数x的取值范围是1 由 解得 即2 所以q为真时实数x的取值范围是2 若p∧q为真,则 ⇔2 所以实数x的取值范围是(2,3). (2)非p是非q的充分不必要条件, 即非p⇒非p且非q 非q. 设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3}, 则A B. 所以03,即1 所以实数a的取值范围是(1,2]. 例19.若∀x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围. 解析: (1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R; (2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立, 即4m2+4am+1≥0恒成立. 又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1. 综上所述,当m=0时,a∈R; 当m≠0,a∈[-1,1]. 变式练习1: 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. 解析: (1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x), 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立, 只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时只需m>-4. (2)若m-f(x0)>0, ∴m>f(x0). ∵f(x0)=x -2x0+5=(x0-1)2+4≥4. ∴m>4. 变式练习2: 已知命题p: 函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3在[-2,+∞)上单调递增.q: 关于x的不等式ax2-ax+1>0解集为R.若p∧q假,p∨q真,求实数a的取值范围. 解析: ∵函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3 =[x+(a2-a)]2-a2,在[-2,+∞)上单调递增, ∴-(a2-a)≤-2, 即a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2. 即p: a≤-1或a≥2 由不等式ax2-ax+1>0的解集为R得 , 即 解得0≤a<4 ∴q: 0≤a<4. ∵p∧q假,p∨q真. ∴p与q一真一假. ∴p真q假或p假q真, 即 或 ∴a≤-1或a≥4或0≤a<2. 所以实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).
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