同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案可编辑.docx

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同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案可编辑

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案

习题1?

11.设A?

∞,?

5∪5,+∞,B[?

10,3,写出A∪B,A∩B,A\B及A\A\B的表达式解A∪B?

∞,3∪5,+∞,A∩B[?

10,?

5,A\B?

∞,?

10∪5,+∞,A\A\B[?

10,?

5

CCC2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:

A∩BA∪B证明因为

CCCCCx∈A∩B?

x?

A∩B?

x?

A或x?

B?

x∈A或x∈Bx∈A∪B,CCC

所以A∩BA∪B3.设映射f:

X→Y,A?

X,B?

X证明1fA∪BfA∪fB;2fA∩B?

fA∩fB证明因为y∈fA∪B?

?

x∈A∪B,使fxy?

因为x∈A或x∈By∈fA或y∈fB?

y∈fA∪fB,所以fA∪BfA∪fB2因为y∈fA∩Bx∈A∩B,使fxy?

因为x∈A且x∈By∈fA且y∈fB?

y∈fA∩fB,

所以fA∩B?

fA∩fB4.设映射f:

X→Y,若存在一个映射g:

Y→X,使gfI,fgI,其中I、I分别是X、

XY

XY

Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有Ixx;对于每一个y∈Y,有Iyy.证明:

f是双射,且g

XY?

1

是f的逆映射:

gf证明因为对于任意的y∈Y,有xgy∈X,且fxf[gy]Iyy,即Y中任意元素都是X中某

y

元素的像,所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x≠x,必有fx≠fx,否则若fxfx?

g[fx]g[fx]xx

1212121212因此f既是单射,又是满射,即f是双射对于映射g:

Y→X,因为对每个y∈Y,有gyx∈X,且满足fxf[gy]Iyy,按逆映射的

y

定义,g是f的逆映射5.设映射f:

X→Y,A?

X证明:

?

11ffA?

A;?

12当f是单射时,有ffAA?

1?

1证明1因为x∈Afxy∈fAfyx∈ffA,?

1

所以ffA?

A12由1知ffA?

A1?

1另一方面,对于任意的x∈ffA?

存在y∈fA,使fyx?

fxy因为y∈fA且f是单1?

1

射,所以x∈A.这就证明了ffA?

A.因此ffAA6.求下列函数的自然定义域:

1y3x+2;

22解由3x+2≥0得x函数的定义域为[?

+∞

33

12y;

2

1?

x

2解由1?

x≠0得x≠±1函数的定义域为?

∞,?

1∪?

1,1∪1,+∞1

23y1?

x;

x

2解由x≠0且1?

x≥0得函数的定义域D[?

1,0∪0,1]14y;

2

4?

x

2解由4?

x0得|x|2函数的定义域为?

2,25ysinx;解由x≥0得函数的定义D[0,+∞6ytanx+1;

ππ

x≠kπ+?

1解由x+1≠k0,±1,±2,得函数的定义域为k0,±1,±2,

227yarcsinx?

3;解由|x?

3|≤1得函数的定义域D[2,4]

18y3?

x+arctan;x解由3?

x≥0且x≠0得函数的定义域D?

∞,0∪0,39ylnx+1;解由x+10得函数的定义域D?

1,+∞

1

x10ye解由x≠0得函数的定义域D?

∞,0∪0,+∞7.下列各题中,函数fx和gx是否相同?

为什么?

21fxlgx,gx2lgx;

22fxx,gxx;

33

433fxxx,gxxx?

1

224fx1,gxsecx?

tanx解1不同因为定义域不同2不同因为对应法则不同,x0时,gx?

x3相同因为定义域、对应法则均相相同4不同因为定义域不同

π|sinx||x|πππ

38.设?

x,求?

?

?

?

?

?

2,并作出函数y?

x的图形π644

?

0|x|≥3

ππ1ππ2ππ2解?

|sin|,?

|sin|,?

?

|sin?

|,?

?

20

6624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:

x1y,?

∞,1;1?

x2yx+lnx,0,+∞证明1对于任意的x,x∈?

∞,1,有1?

x0,1?

x0.因为当xx时,

121212

xxxx

1212yy0,12

1?

x1?

x1?

x1?

x

1212

x

所以函数y在区间?

∞,1内是单调增加的

1?

x2对于任意的x,x∈0,+∞,当xx时,有

1212

x

1yyx+lnx?

x+lnxxx+ln0,12112212

x

2

所以函数yx+lnx在区间0,+∞内是单调增加的10.设fx为定义在?

l,l内的奇函数,若fx在0,l内单调增加,证明fx在?

l,0内也单

调增加证明对于?

x,x∈?

l,0且xx,有?

x,?

x∈0,l且?

x?

x

12121212因为fx在0,l内单调增加且为奇函数,所以

f?

xf?

x,fx?

fx,fxfx,212121

这就证明了对于?

x,x∈?

l,0,有fxfx,所以fx在?

l,0内也单调增加121211.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?

l,l上的,证明:

1两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;2两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是

奇函数证明1设Fxfx+gx.如果fx和gx都是偶函数,则F?

xf?

x+g?

xfx+gxFx,所以Fx为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数如果fx和gx都是奇函数,则F?

xf?

x+g?

x?

fx?

gx?

Fx,所以Fx为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数2设Fxfx?

gx.如果fx和gx都是偶函数,则F?

xf?

x?

g?

xfx?

gxFx,所以Fx为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数如果fx和gx都是奇函数,则F?

xf?

x?

g?

x[?

fx][?

gx]fx?

gxFx,所以Fx为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数如果fx是偶函数,而gx是奇函数,则F?

xf?

x?

g?

xfx[?

gx]?

fx?

gx?

Fx,所以Fx为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?

221yx1?

x;232y3x?

x;

2

1?

x3y;2

1+x4yxx?

1x+1;5ysinx?

cosx+1;

x?

x

a+a6y

2

2222解1因为f?

x?

x[1?

?

x]x1?

xfx,所以fx是偶函数

23232由f?

x3?

x?

?

x3x+x可见fx既非奇函数又非偶函数

2

2

1?

?

x

1?

x3因为f?

xfx,所以fx是偶函数

2

2

1+x

1+x4因为f?

x?

x?

x?

1?

x+1?

xx+1x?

1?

fx,所以fx是奇函数5由f?

xsin?

x?

cos?

x+1?

sinx?

cosx+1可见fx既非奇函数又非偶函数

?

x?

?

x?

xx

a+aa+a6因为f?

xfx,所以fx是偶函数

2213.下列各函数中哪些是周期函数?

对于周期函数,指出其周期:

1ycosx?

2;2ycos4x;3y1+sinπx;4yxcosx;

25ysinx解1是周期函数,周期为l2π

π2是周期函数,周期为l

23是周期函数,周期为l24不是周期函数5是周期函数,周期为lπ14.求下列函数的反函数:

31yx+1;1?

x2y;

1+x

ax+b3yad?

bc≠0;cx+d4y2sin3x;5y1+lnx+2;x

26

y

x

2+1

33

33解1由yx+1得xy?

1,所以yx+1的反函数为yx?

1

1?

y

1?

x1?

x1?

x2由y得x,所以y的反函数为y

1+x1+y1+x1+x

?

dy+b

ax+bax+b?

dx+b3由y得x,所以y的反函数为y

cy?

a

cx+dcx+dcx?

a

y

11x4由y2sin3x得xarcsin,所以y2sin3x的反函数为yarcsin

3232

y?

1x?

15由y1+lnx+2得xe?

2,所以y1+lnx+2的反函数为ye?

2xx

y

22x6由y得xlog,所以y的反函数为ylog

22

xx

2+11?

y2+11?

x15.设函数fx在数集X上有定义,试证:

函数fx在X上有界的充分必要条件是它在X

上既有上界又有下界证明先证必要性.设函数fx在X上有界,则存在正数M,使|fx|≤M,即?

M≤fx≤M.这

这就证明了fx在X上有下界?

M和上界M再证充分性.设函数fx在X上有下界K和上界K,即K≤fx≤K取M|K|,|K|,

121212

则M≤K≤fx≤K≤M,12

即|fx|≤M

这就证明了fx在X上有界16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值

x和x的函数值:

12

2ππ1yu,usinx,x,x;12

63

ππ2ysinu,u2x,x,x;

12

8,4

23yu,u1+x,x1,x2;

12

u24ye,ux,x0,x1;

12

2x5yu,ue,x1,x?

112

2π11π33

2222解1ysinx,ysin,ysin

12

624324

ππ2ππ2ysin2x,ysin2?

sin,ysin2?

sin1

12

84242

2223y,1+xy1+12,y1+25

12

222

x014ye,ye1,yee

12

2x2?

122?

?

1?

25ye,yee,yee

1217.设fx的定义域D[0,1],求下列各函数的定义域:

21fx;2fsinx;3fx+aa0;4fx+a+fx?

aa0

22解1由0≤x≤1得|x|≤1,所以函数fx的定义域为[?

1,1]2由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤2n+1πn0,±1,±2?

所以函数fsinx的定义域为

[2nπ,2n+1π]n0,±1,±2?

3由0