高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案.docx

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高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案

高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案

　　圆锥曲线

　　圆锥曲线的两定义：

　　定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

　　圆锥曲线的标准方程在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

　　椭圆：

焦点在轴上时，焦点在轴上时＝1。

方程表示椭圆的充要条件是什么？

。

　　双曲线：

焦点在轴上：

=1，焦点在轴上：

＝1。

方程表示双曲线的充要条件是什么？

。

　　抛物线：

开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

　　圆锥曲线焦点位置的判断：

　　椭圆：

由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

　　双曲线：

由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

　　抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

　　提醒：

在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

　　圆锥曲线的几何性质：

　　椭圆为例）：

①范围：

；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

　　双曲线为例）：

①范围：

或；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：

。

　　抛物线：

①范围：

；②焦点：

一个焦点，其中的几何意义是：

焦点到准线的距离；③对称性：

一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点；④准线：

一条准线；⑤离心率：

，抛物线。

　　点和椭圆的关系：

点在椭圆外；点在椭圆上＝1；点在椭圆内

　　．直线与圆锥曲线的位置关系：

　　相交：

直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

　　相切：

直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

　　相离：

直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

　　提醒：

直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：

两条切线和一条平行于对称轴的直线。

　　焦点三角形问题：

，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。

如短轴长为，

　　抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；设AB为焦点弦，为准线与x轴的交点，则∠AF＝∠BF；设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；若Ao的延长线交准线于c，则Bc平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于c点，则A，o，c三点共线。

　　弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，焦点弦：

焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

　　抛物线：

　　在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率=。

　　提醒：

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

　　1．了解下列结论

　　双曲线的渐近线方程为；

　　以为渐近线的双曲线方程为为参数，≠0）。

　　中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

　　椭圆、双曲线的通径为，焦准距为，抛物线的通径为，焦准距为；

　　通径是所有焦点弦中最短的弦；

　　若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

　　若oA、oB是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

　　解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

　　给出直线的方向向量或；

　　给出与相交,等于已知过的中点;

　　给出,等于已知是的中点;

　　给出,等于已知与的中点三点共线;

　　给出以下情形之一：

①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.

　　给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,

　　给出,等于已知是的平分线/

　　在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

　　在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

　　在中，给出，等于已知是的外心；

　　在中，给出，等于已知是的重心；

　　在中，给出，等于已知是的垂心；

　　在中，给出等于已知通过的内心；

　　在中，给出等于已知是的内心；

　　在中，给出,等于已知是中边的中线;

　　已知A,B为抛物线x2=2py上异于原点的两点，，点c坐标为

　　求证：

A,B,c三点共线；

　　若＝且试求点的轨迹方程。

　　证明：

设，由得

　　又

　　即A,B,c三点共线。

　　由知直线AB过定点c，又由及＝知oAB，垂足为，所以点的轨迹为以oc为直径的圆，除去坐标原点。

即点的轨迹方程为x2+2=p2。

　　3.圆锥曲线中线段的最值问题：

　　例1、抛物线c:

y2¬=4x上一点P到点A与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________

　　抛物线c:

y2¬=4x上一点Q到点B与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

　　分析：

A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

　　B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：

　　已知椭圆c1的方程为，双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点。

　　求双曲线c2的方程；

　　若直线l：

与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，且l与c2的两个交点A和B满足，求的取值范围。

　　解：

设双曲线c2的方程为，则

　　故c2的方程为将

　　由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得

　　即①

　　由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点A，B得

　　解此不等式得③

　　由①、②、③得

　　故的取值范围为

　　在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B点在直线y=-3上，点满足B//oA，A•AB=B•BA，点的轨迹为曲线c。

　　求c的方程；P为c上的动点，l为c在P点处得切线，求o点到l距离的最小值。

　　设,由已知得B,A.所以=,=,=.再由愿意得知•=0,即•=0.

　　所以曲线c的方程式为y=x-2.设P为曲线c：

y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。

　　则o点到的距离.又，所以

　　当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.

　　设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于

　　设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为.

　　过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

　　已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则•＝0

　　已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则

　　已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是

　　设已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为F，直线l与抛物线c相交于A，B两点。

若AB的中点为，则直线l的方程为_____________.

　　椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.

　　过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________

　　【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:

　　双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,

　　由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是和，且或.不妨去，则，.

　　∴•＝

　　【解析】设抛物线的准线为直线

　　恒过定点P.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,

　　点的横坐标为,故点的坐标为

　　,故选D

　　点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

　　PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

　　以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

　　以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

　　若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

　　若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

　　椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

　　椭圆的焦半径公式：

　　,.

　　设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于、N两点，则F⊥NF.

　　0.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点，A2P和A1Q交于点N，则F⊥NF.

　　1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则，

　　即。

　　若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

　　3.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

　　二、双曲线

　　点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

　　PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

　　以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

　　以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.

　　若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.

　　若在双曲线外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

　　双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

　　双曲线的焦半径公式：

上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,c两点，则直线Bc有定向且.

　　若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.

　　设椭圆的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

　　若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

　　P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

　　椭圆与直线有公共点的充要条件是.

　　已知椭圆，o为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.;|oP|2+|oQ|2的最大值为;的最小值是.

　　过椭圆的右焦点F作直线交该椭圆右支于,N两点，弦N的垂直平分线交x轴于P，则.

　　0.已知椭圆,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.

　　1.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则..

　　设A、B是椭圆的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有...

　　3.已知椭圆的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线Ac经过线段EF的中点.

　　过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

　　过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

　　椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e.

　　椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

　　椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

　　双曲线

　　双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

　　过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,c两点，则直线Bc有定向且.

　　若P为双曲线右支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则.

　　设双曲线的两个焦点为F1、F2,P为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

　　若双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

　　P为双曲线上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

　　双曲线与直线有公共点的充要条件是.

　　已知双曲线，o为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

　　;|oP|2+|oQ|2的最小值为;的最小值是.

　　过双曲线的右焦点F作直线交该双曲线的右支于,N两点，弦N的垂直平分线交x轴于P，则.

　　0.已知双曲线,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.

　　1.设P点是双曲线上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则..

　　设A、B是双曲线的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有.

　　.

　　3.已知双曲线的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线Ac经过线段EF的中点.

　　过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

　　过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

　　双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e.

　　双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

　　双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

　　其他常用公式：

　　连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

　　直线的一般式方程：

任何直线均可写成的形式。

　　知直线横截距，常设其方程为

　　与直线垂直的直线可表示为。

　　两平行线间的距离为。

　　若直线与直线平行

　　则且

　　圆的一般方程：

，特别提醒：

只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。

二元二次方程表示圆的充要条件是且且。

　　圆的参数方程：

，其中圆心为，半径为。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：

；

　　为直径端点的圆方程

　　切线长：

过圆外一点所引圆的切线的长为

　　弦长问题：

①圆的弦长的计算：

常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：

；②过两圆、交点的圆系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

　　攻克圆锥曲线解答题的策略

　　摘要:

为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：

知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。

　　关键词：

知识储备方法储备思维训练强化训练

　　知识储备：

　　直线方程的形式

　　直线方程的形式有五件：

点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

　　与直线相关的重要内容

　　①倾斜角与斜率

　　②点到直线的距离③夹角公式：

　　弦长公式

　　直线上两点间的距离：

　　或

　　两条直线的位置关系

　　①=-1②

　　圆锥曲线方程及性质

　　椭圆的方程的形式有几种？

　　标准方程：

　　距离式方程：

　　参数方程：

　　双曲线的方程的形式有两种

　　标准方程：

　　距离式方程：

　　三种圆锥曲线的通径你记得吗？

　　圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

　　如：

已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点满足则动点的轨迹是

　　A、双曲线；B、双曲线的一支；c、两条射线；D、一条射线

　　焦点三角形面积公式：

　　记住焦半径公式：

，可简记为“左加右减，上加下减”。

　　椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

　　第二、方法储备

　　点差法

　　设、，为椭圆的弦中点则有

　　；两式相减得

　　=

　　联立消元法：

你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

　　设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元••••••，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为，就意味着存在。

　　例1、已知三角形ABc的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点.

　　若三角形ABc的重心是椭圆的右焦点，试求直线Bc的方程;

　　若角A为，AD垂直Bc于D，试求点D的轨迹方程.

　　分析：

问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦Bc的斜率，从而写出直线Bc的方程。

第二问抓住角A为可得出AB⊥Ac，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

　　解：

设B,c,Bc中点为,F则有

　　两式作差有

　　F为三角形重心，所以由，得，由得，代入得

　　直线Bc的方程为

　　）由AB⊥Ac得

　　设直线Bc方程为，得

　　代入式得

　　解得或

　　直线过定点，则，即

　　所以所求点D的轨迹方程是。

　　设而不求法

　　例2、如图，已知梯形ABcD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过c、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

　　分析：

本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

建立直角坐标系，如图，若设c，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,

　　建立目标函数，整理,化繁为简.

　　解法一：

如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则cD⊥轴因为双曲线经过点c、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知c、D关于轴对称

　　依题意，记A，c，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

　　设双曲线的方程为，则离心率

　　由点c、E在双曲线上，将点c、E的坐标和代入双曲线方程得

　　①

　　②

　　由①式得，③

　　将③式代入②式，整理得

　　故

　　由题设得，

　　解得

　　所以双曲线的离心率的取值范围为

　　分析：

考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略．

　　解法二：

建系同解法一，，

　　又，代入整理，由题设得，

　　解得

　　所以双曲线的离心率的取值范围为

　　判别式法

　　例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。

　　分析1：

解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：

过点B作与平行的直线，必与双曲线c相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：

解题过程略.

　　分析2：

如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：

　　简解：

设点为双曲线c上支上任一点，则点到直线的距离为：

　　于是，问题即可转化为如上关于的方程.

　　由于，所以，从而有

　　于是关于的方程

　　由可知：

　　方程的二根同正，故恒成立，于是等价于

　　由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得.

　　点评：

上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

　　例4已知椭圆c:

和点P，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

　　分析：

这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

　　由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？

一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：

来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆c的方程，利用韦达定理即可.

　　通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

　　在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：

所谓消参，目的不过是得到关于的方程，则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。

从而简化消去参的过程。

　　简解：

设，则由可得：

，

　　解之得：

　　设直线AB的方程为：

，代入椭圆c的方程，消去得出关于x的一元二次方程：

　　∴

　　代入，化简得：

　　与联立，消去得：

　　在中，由，解得，结合可求得

　　故知点Q的轨迹方程为：

.

　　点评：

由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

　　求根公式法

　　例5设直线过点P，和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.

　　分析：

本题中，绝大多数同学不难得到：

=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：

其一是构造所求变量关于某个参数的函数关系式，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

　　分析1:

从条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率.问题就转化为如何将转化为关于的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

　　简解1：

当直线垂直于x轴时，可求得;

　　当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：

，代入椭圆方程，消去得

　　解之得

　　因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.

　　当时，，，

　　所以===.

　　由,解得，

　　所以，

　　综上.

　　分析2:

如果想构造关于所求量的不等式