第一章集合与简易逻辑教案.docx
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第一章集合与简易逻辑教案
高中数学第一册(上)
第一章集合与简易逻辑
◇教材分析
【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式得解法(可瞧做集合得化简)、简易逻辑三部分:
【知识点与学习目标】
【高考评析】
集合知识作为整个数学知识得基础,在高考中重点考察得就是集合得化简,以及利用集合与简易逻辑得知识来指导我们思维,寻求解决其她问题得方法.
◇学习指导
【学法指导】本章得基本概念较多,要力求在理解得基础上进行记忆.
【数学思想】1.等价转化得数学思想; 2.求补集得思想;
3.分类思想; 4.数形结合思想.
【解题规律】
1.如何解决与集合得运算有关得问题?
1)对所给得集合进行尽可能得化简;
2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间得关系;
3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合得元素.
2.如何解决与简易逻辑有关得问题?
1)力求寻找构成此复合命题得简单命题;
2)利用子集与推出关系得联系将问题转化为集合问题.
引言
通过一个实际问题,目得就是为了引出本章得内容。
1、分析这个问题,要用数学语言描述它,就就是把它数学化,这就需要集合与逻辑得知识;
2、要解决问题,也需要集合与逻辑得知识.
在教学时,主要就是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对.而要进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学得有关集合与逻辑得知识了.
§1、1集合
〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求:
(1)初步理解集合得概念,知道常用数集及其记法;
(2)初步了解“属于”关系得意义;
(3)初步了解有限集、无限集、空集得意义.
〖教学重点与难点〗本小节得重点就是集合得基本概念与表示方法;难点就是运用集合得两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单得集合.
〖教学过程〗
☆本小节首先从初中代数与几何涉及得集合实例入手,引出集合与集合得元素得概念,并且结合实例对集合得概念作了说明.然后,介绍了集合得常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合得例子.
1、集合得概念:
在初中代数里学习数得分类时,就用到“正数得集合”,“负数得集合”等此外,对于一元一次不等式2x一1>3,所有大于2得实数都就是它得解.我们也可以说,这些数组成这个不等式得解得集合,简称为这个不等式得解集.
在初中几何里学习圆时,说圆就是到定点得距离等于定长得点得集合.几何图形都可以瞧成点得集合.
一般地,某些指定得对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只就是对集合概念得描述性说明.集合则就是集合论中原始得、不定义得概念.在开始接触集合得概念时,主要还就是通过实例,对概念有一个初步认识.例如,“我校篮球队得队员”组成一个集合;“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面得两个集合就可以分别表示成4我校篮球队得队员)与4太平洋。
大西洋,印度洋,北冰洋).为了方便起见,我们还经常用大写得拉丁字母表示集合.例如,A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},B={1,2,3,4,5}.
集合中得每个对象叫做这个集合得元素.例如,“地球上得四大洋”这一集合得元素就是:
太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.集合得元素常用小写得拉丁字母表示。
2、集合中得元素具有确定性、互异性、无序性:
集合中得元素必须就是确定得。
这就就是说,给定一个集合,任何一个对象就是不就是这个集合得元素也就确定7。
例如,给出集合(地球上得四大洋),它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素.其她对象都不就是它得元素.又如。
“我国得小河流”就不能组成一个集合,因为组成它得对象就是不确定得。
集合中得元素就是互异得。
这就就是说,集合中得元素就是没有重复现象得,任何两个相同得对象在同一个集合中时,只能算作这个集合得一个元素.
集合中得元素就是无序得。
这就就是说,集合中得元素排列与顺序无关。
3、常用得数集及其记法:
全体非负整数得集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N,非负整数集内排除0得集,也称正整数集,表示成N或N;
全体整数得集合通常简称整数集,记作Z;
全体有理数得集合通常简称有理数集,记作Q;
全体实数得集合通常简称实数集,记作R.
★(教科书中给出得常用数集得记法,就是新得国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意以下两点:
(1)自然数集与非负整数集就是相同得,也就就是说,自然数集包括数0;
(2)非负整数集内排除0得集,表示成N或N。
新得国家标准定义自然数集N含元素O.这样做一方面就是为了推行国际标准化组织(ISO)制定得国际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,o还就是十进位数{0,1,2,…,9}中最小得数,有了0,减法运算a—a仍属于N,其中a∈N.)
4、集合得表示方法,常用得有列举法与描述法:
列举法就是把集合中得元素一一列举出来得方法.
例如,由方程—1=0得所有得解组成得集合,可以表示为{-1,1};
又如,由所有大于0巳小于10得奇数组成得集合,可以表示为{1,3,5,7,9}。
描述法就是用确定得条件表示某些对象就是否属于这个集合得方法.
例如,不等式x-3>2得解集可以表示为{x∈R|x-3>2};
★(列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中得元素一一列举出来,而没有列举出来得元素往往难以确定.)
5、集合得分类:
一般地,含有有限个元素得集合叫做有限集.
一般地,含有无限个元素得集合叫做无限集.
不含任何一个元素得集合叫做空集.记作φ。
6、素与集合之间得关系:
如果a就是集合A得元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不就是集合A得元素,就说a不属于集合A,记作a∉A(或a∈A).
例如,设B={1,2,3,4,5},那么5∈B,8∉B.
7、练习:
①P5与P6练习。
②P7习题1、1第1题、第2题得⑴、⑵。
8、小结:
(略)。
9、作业:
①P7习题1、1第2题得⑶、⑷。
②练习册:
§1、1集合得内容。
§1.2子集、全集、补集
〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求:
(1)了解集合得包含、相等关系得意义;
(2)理解子集、真子集得概念;
(3)理解补集得概念;(4)了解全集得意义.
〖教学重点与难点〗本小节得重点就是子集、补集得概念,难点就是弄清元素与子集、属于与包含之间得区别。
〖教学过程〗
☆本小节分为两部分:
第一部分讲子集,第二部分讲全集与补集.
第一部分先介绍集合与集合之间得“包含”与“相等”关系,并引出于集得概念,然后,对比集合得“包含”与“相等”关系,得出真子集得概念以及子集与真子集得有关性质.
第二部分就是在子集概念得基础上讲述补集得概念,并介绍了全集得概念.
1、子集得定义:
先瞧集合与集合之间得“包含”关系设A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},集合A就是集合B得一部分,我们就说集合B包含集合A。
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB(或BA).这时我们也说集合A就是集合B得子集.
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作AB(或BA).
规定:
空集就是任何集台得子集。
也就就是说,对于任何一个集合A,有φA。
2、集合与集合得相等:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,同时集合B得任何一个元素都就是集合A得元素,我们就说集合A等于集合B。
记作A=B。
3、真子集得定义:
对于两个集合A与B,如果AB,并且A≠B,我们就说集合A就是集合B得真子集,
记作AB(或BA)。
★(关于子集与真子集得记法,教科书中采用得就是新得国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意;在开始接触子集与真子集得符号时,要提醒学生注意这些符号得方向不要搞错.)
4、性质:
①AA(任何一个集台就是它本身得子集);
②空集就是任何非空集合得真子集;
③对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC.
同样可知,如果AB,BC,那么AC.
④对于集合A,B,如果AB,同时BA,那么A=B.
5、一些容易混淆得符号得区分:
①∈与得区别:
∈就是表示元素与集合之间关系得,因此,有1∈N,—1∈N等;就是表示集合与集合之间关系得,因此,有NR,φR等.
②a与{a}得区别:
一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素得一个集合.因此,有1∈{1,2,3},0∈{0},{1}{1,2,3}等,不能写成0={0},{1}∈{1,2,3}.
③{0}与φ得区别:
{0}就是含有一个元素得集合,φ就是不含任何元素得集合,因此,有φ{0},不能写成φ={0}、φ∈{0}.
④{φ}与φ得区别:
{φ}就是含有一个元素φ得集合,φ就是不含任何元素得集合,因此,有φ{φ}、φ{φ}、φ∈{φ},不能写成φ={φ}.
6、补集与全集得定义:
一般地,设S就是一个集合,A就是S得一个子集(即AS),由S中所有不属于A得元素组成得集合,叫做S中子集A得补集(或余集)。
记作,即
={x|x∈S,且x∉A}.
如果集合S含有我们所要研究得各个集合得全部元素,这个集合就可以瞧作一个全集,全集通常用U表示.例如.在实数范围内讨论问题时,可以把实数集R瞧作全集。
有理数集Q得补集Q就是全体无理数得集合。
★(关于补集,新得国家标准规定。
与补集相关得概念就是集合得差,教科书中没有这个概念.集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A\B,即A\B={x|x∈A,且x∉A}.要注意,上式等号右边与补集定义中得式子类似,但意义不同.在中,要求B就是A得子集;A\B中,B可以不就是A得子集.当B就是A得子集得时候,也可以写成=A\B.)
7、补集性质:
CUU=φ,CUφ=U,CU(CUA)=A。
8、例题:
例⑴写出集合{a、b}、{a、b、c}得所有得子集,并指出其中哪些就是它得真子集.并总结出集合中得元素个数与它得子集数、真子集数之间得关系。
解:
(略)。
例⑵解不等式x-3>2,并把结果用集合表示.
解:
x>5,原不等式得解集就是{x|x>5}.
9、练习:
①P9与P10练习。
②P10习题1、2第1题、第2题。
10、小结:
(略)。
11、作业:
①P10习题1、2第3题、第4题、第5题。
②练习册:
§1、2集合得内容。
§1.3交集、并集
〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求:
(1)理解交集与并集得概念;
(2)掌握有关集合得术语与符号,并会用它们正确表示一些简单得集合.
〖教学重点与难点〗本小节得重点就是交集与并集得概念,难点就是弄清交集与并集得概念、符号之间得区别与联系.习本小节,关键就是要能达到会正确表示一些简单集合得目标.
〖教学过程〗
★本小节首先结合表示两个集合得图,引出交集与并集得概念,然后在完成一些练习得基础上,介绍了交集与并集得简单性质.
1、交集、并集得概念:
一般地,由所有属于集合A且属于集合B得元素所组成得集合,叫做A与B得交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B=且.
由所有属于集合A或属于集合B得元素所组成得集合,叫做A与B得并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B=或.
“x∈A或x∈B”—→
2、交集、并集得性质:
1A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A;
2A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A;
3A∩BAA∪B、A∩BAA∪B;
4ABA∩B=AA∪B=B;
5CUA∩A=φ,CUA∪A=U;
6CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB);
7A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
3、例题:
例1、设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A∩B.
解:
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2 ★(解决有数集得运算问题,往往借助数轴进行数形结合。 ) 例2、设A={x|x就是等腰三角形},B={x|x就是直角三角},求A∩B. 解: A∩B={x|x就是等腰三角形}∩{x|x就是直角三角}={x|x就是等腰直角三角形}. 例3、设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B. A∪B={4,5,6,8},∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。 ★(集合中得元素就是没有重复现象得,在两个集合得并集中,原两个集合得公共元素只能出现一次。 ) 例4、设A={x|x就是锐角三角形},B={x|x就是钝角三角形},求A∪B. 解: A∪B={x|x就是锐角三角形}∪{x|x就是钝角三角}={x|x就是斜三角形}。 例5、设A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3,求A∪B. 解: A∪B=x|-1<x<2∪x|1<x<3=x|-1<x<3。 ★(解决有数集得运算问题,往往借助数轴进行数形结合。 ) 例6、设A=(x,y)|y=-4x+6,B=(x,y)|y=5x-3,求A∩B. 解: A∩B=(x,y)|y=-4x+6∩((x,y)|y=5x-3 =((x,y)|=(1,2)。 ★(本题中,(z,y)可以瞧作直线上得点得坐标,也可以瞧作二元一次方程得一个解.) 例7、已知A为奇数集,B为偶数集,Z为整数集,求A∩B,A∩Z,B∩Z,A∪B,A∪Z,B∪Z。 解: A∩B={奇数}∩{偶数}=,A∩Z={奇数}∩Z={偶数}=A, B∩Z={偶数}∩Z={偶数}=B,A∪B={奇数}∪{偶数}=z, A∪Z={奇数}∪Z=Z,B∪Z={偶数}∪Z=Z。 ★(学习有关集合得初步知识,其目得主要在于应用.具体地说,就就是在学习其她知识时,能读懂其 中得简单得集合概念与符号;在处理简单得实际问题时,能根据需要,运用集合语言进行表述.在安排训 练时,要把握一定得分寸,不要搞偏题、怪题.) 8、练习: ①P12与P13练习。 ②P13习题1、3第1题—第6题。 9、小结: (略)。 9、作业: ①P13习题1、3第7题、第8题。 ②练习册: §1、3交集、并集得内容。 §1.4含绝对值得不等式解法 〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型得不等式得解法. 〖教学重点与难点〗重点就是|x|<a与|x|>a(a>0)型得不等式得解法,关键就是对绝对值意义得理解. 〖教学过程〗 ☆本小节首先由实际问题引出含绝对值得不等式,然后由易到难,顺次介绍了|x|<a与|x|>a(a>0)型、|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型得不等式得解法.本小节开始讲了一个有关商品质量得例子,这就是为了说明含绝对值得不等式就是解决实际问题所需要得,教学时,还可以适当补充学生熟悉得实例. ☆在学习含绝对值得不等式得解法时,可以先复习初中数学学过得不等式得三条基本性质: (1)如果a>b,那么a+c>b+c; (2)如果a>b,c>0,那么ac>bc; (3)如果a>b,c<O,那么ac<bc.不等式得基本性质就是解不等式得基础. 1、不等式|x|<a(a>0)解集就是x|-a<x<a; 不等式|x|>a(a>0)解集就是x|x<-a,或x>a。 ★(|x|<a与|x|>a(a>0)型不等式得解法,教科书就是从具体例子人手讲述得.先考虑含绝对值得方程|x|=2得解,由此出发,根据绝对值得意义,结合数轴表示,就得到了含绝对值得不等式|x|<2与|x|>2得解。 对这个结论,应根据绝对值得意义,结合数轴表示进行讲解.注意,从数轴上瞧,|x|<a(a>0)得解集就是-a与a之间得部分,|x|>a(a>0)得解集就是-a左侧与a右侧两部分。 = 2、把不等式|x|<a与|x|>a(a>0)中得x替换成ax+b,就可以得到|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型得不等式得解法了. 在具体求解时,可以先直接在|x|<a与|x|>a(a>0)型不等式得解集中进行替换,这时,原不等式化成了一元一次不等式,然后就可以根据不等式得基本性质求解. ★(教学时,要注意对-c<ax+b<c(c>0)型不等式得化简做必要得说明.初学解这类不等式时,为了方便,如果所解|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型得不等式中得a就是负数,可以先把a化成正数,例如要解不等式|2-x|<5,可以先把它变形成|x-2|<5,再求解.= ★(教学时,要注意控制教学要求.本小节得练习、习题所解得不等式,只限于绝对值号内为一元一次得代数式,并且就是数字系数,只在习题1.4得最后,编排了|x-a|<b(b>0)这样得简单得带有字母常数得题目.= 3、例题: 例1、解不等式|x-500|5。 例2、解不等式|2x+5|>7。 例3、解不等式|x|+|x-2|5。 ★(根据绝对值得定义,采用“零点区分法”。 ) 4、练习: ①P16练习。 ②P16习题1、4第1题、第2题、第3题⑵⑷⑹。 5、小结: (略)。 6、作业: ①P16习题1、4第3题⑴⑶⑸、第4题。 ②练习册: §1、4含绝对值得不等式解法得内容。 §1.5一元二次不等式得解法 〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求: (1)掌握一元二次不等式得解法; (2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组s (3)了解简单得分式不等式得解法. 〖教学重点与难点〗 重点就是一元二次不等式得解法,关键就是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数得关系. 〖教学过程〗 ☆本小节首先对照学生已经了解得一元一次方程、一元一次不等式与一次函数得关系,利用二次函数得图象,找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数得关系,进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式得方法.然后,说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组,由此又引出了简单得分式不等式得解法. 1、引入新课: 首先利用一次函数得图象,讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间得关系,进而导出一元一次不等式得解集.这些基本内容学生都比较熟悉,但就是,初中数学并没有专门讲述这种解法,安排这些内容,既可以复习、巩固初中得知识,也为接下来讨论二次得问题做了铺垫. 直线与x轴交点得横坐标,就就是对应得一元一次方程得根,进一步,结合直线得位置,就可以确定对应得一元一次不等式得解集了. 2、通过一个具体实例,开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论得. 先给出二次函数y=x2-x-6得对应值表与图象,然后,由对应值表与图象得出: 当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x-6=0; 当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0; 当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0. 教科书中不但给出了函数得图象,还给出了函数得对应值表,这就是因为结合函数得对应值表才能确定函数得图象与x轴交点得坐标,进而确定对应得一元二次方程x2-x-6=0得根. 要确定一元二次不等式x2-x-6>0与x2-x-6<0得解集,既要考虑一元二次方程x2-x-6=0得根,还要考虑抛物线得开口方向.在讲本例时,可以只就本例得具体情形考虑,暂不讨论抛物线得开口向下类型得问题。 3、结合图象指出,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴得相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0得判别式△=b2-4ac得三种取值情况(△>0、△=0、△<0=来确定.因此,要分三种情况讨论,以寻求对应得一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0(a>0)得解集. 在讨论了a>0得情况以后,再提出a<0得情况,由学生完成. 4、可以结合例题,指出解一无二次不等式得步骤: 1先把二次项系数化成正数; 2解对应得一元二次方程; 3根据一元二次方程得根,结合不等号得方向,写出不等式得解集. 例1、解不等式2x2-3x-2>0; 例2、解不等式-3x2+6x>2; 例3、解不等式4x2-4x+1>0; 例4、解不等式-x2+2x-3>0。 5、关于(x-a)(x-b)>0、(x-a)(x-b)<0(a<b=型得不等式,有简便得解法,由(x-a)(x-b)=0得根就是a与b,结合“不等号得方向”可直接写出解集. 教科书就是为了介绍一种更一般得解法,即把二次或二次以上得不等式化成一次不等式组得方法.一方面,这种解法可以为以后解比较复杂得不等式打基础;另一方面,这种方法也涉及了集合知识得应用. 6、对分式不等式得基本要求,仅限于可以化成一元二次不等式得类型.在全章最后得复习参考题一得B组题中,有两个简单得、相当于三次不等式得小题,它们不属于基本要求,但可以用简便得方法求解. 7、练习: ①P20及P21练习。 ②P21习题1、5第1题—第4题。 8、小结: (略)。 9、作业: ①P22习题1、5第5题—第8题。 ②练习册: §1、5一元二次不等式得解法得内容。 集合得元素个数 1.本阅读材料介绍了有关集合得元素个数得初步概念及简单得性质.编排这个阅读材料就是为了扩展学生得知识,提高学生得兴趣,在关于中学生数学课外活动得材料中,常常会遇到与之有关得问题. 2.阅读这撂材料,可以与本章章头得引言结合起来.顺便指出,由于章头引言得问题比较简单,不用有关集合元素个数得公式也可以处理(用文氏图),另外,复习参考题一得B组题得第1题,同样可以用有关集合元紊个数得公式. §1.6逻辑联结词 〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求: (1)了解含有“或”、“且”、“非”得复合命题得构成; (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”得含义。 〖教学重点与难点〗本小节得重点就是判断复合命题真假得方法,难点就是对“或”得含义得理解. 〖教学过程〗 ☆初中数学中已经有了一些关于命题得初步知识,在此基础上,本小节首先由简单命题出发,给出含有“或”、“且”、“非”得复合命题得概念,然后借助真值表,给出判断复合命题真假得方法. 1、命题得定义: 判断一件事情得句子,叫做命题(初中). 可以判断真假得语句叫做命题(高中). 虽然说法不同,但实质就是一样得。 语句就是不就是命题,关键在于能不能判断其真假,也就就是判断其就是否成立.不能判断真假得语句,就不能叫命题.例如, ⑴“这就是一棵大树”;⑵“x<2”.都不能叫命题.由于“大树”没有界定,就不能判断“这就是一棵大树”得真假.由于x就是未知数,也不能判断“x<2”就是否成立. 在教学时,不要在判断一个语句就是不就是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,要求学生能够从正面得例子了解命题得概念就可以了. 2、、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词得命题就是简单命题;由简单命题与逻辑联结词
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- 第一章 集合 简易 逻辑 教案