初中函数知识点总结.docx

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初中函数知识点总结

初中函数知识点总结

（掌握函数的定义、性质和图像）

平面直角坐标系

K主义：

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2>各个象限内点的特征:

第一象限：

（+,+>

第二象限：

J+）

第三象限：

J-）

第四象限土（十，J

点P（xjy）,0tJx>O,y>O;

点卩（M）,则x<0?

y>0^点P（“人贝I）x<0,y<0；点P（xfy）,贝llx>0,y<0;

乩坐标轴上点的坐标特征；

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点■橫坐标为零；原点的坐标为（0.0）,两坐标轴的点不属于任何象限*

4,点的对称特征：

已知点P（tn,n）,

关于K轴的対称点坐标是（mm）,横坐标相同，纵坐标反号关于丫轴的对称点坐标是Wnj）纵坐标相同，橫坐标反号关于原点的对称点坐标是Gw）横］纵坐标都反号

h平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征；

平行于戈轴的直线上的任意两点：

纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：

横坐标相等"

幺各象眼角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二*四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数口

入点P（x,y）的几何意义：

点P（x.y）到x轴的距离为|y|（

点P（xTy）到萝轴的距离为卜|。

点P（x.y）到坐标原点的距离为在W

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A（a-hO）.BgO）|AB|二!

兀-xt

¥轴上两点为厂（5）*d（5）icnpl儿-儿I

已知心』八儿）和*（戸订

9、中点坐标公式*已知Agj）、\1为AB的中点贝hhg笃玉,AtA）

10、点的平移特征：

在平面直角坐标系中，

将点（xTy）向右平移a亍单位长度，可以得到対应虫（x-a,y）?

将点4』）向左平移巾个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）；

将点Lj）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（％,y4-b）；

将点（xTy）向下平移b个单位长度.可以得到对应点仪，y-b）,

注竄：

对一个图形进行平移，这个圏形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看岀对这个图形进行了怎样的平移、

函数的基本知识

基本概念

K变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量’

氛函数：

一般的，庄一个变化过程中*如果有两个变量％和*井且对于算的每一个确定的值Iy都有唯一确定的值与耳对应，那么我们就把x称为自变旱*把y称为因变星，¥是芜的函数“

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，人是否有唯一确定的值与之对应

3.定义域和值域:

定义域「一般的t一个函数的自变量允许取值的范EL叫做这个函数的定义域.

值域：

一般的*一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。

4.确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）英系式含有分式时；分式的分母不等于零；

G）关系式含有二次根式时'被开放方数大于等于零；

C4）关系式中含有指数为零的式子时.底数不等于塞；

（5）实际问题中.函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

仏函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变冕与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象*

6,函数解析式：

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式°

7：

增减性（单谓性比堆减性又叫单调性，分两种情况：

单调增、单调减

单调增’y随％的增大而增大

单调减：

y随其的増大而减小

口诀：

”同增异减駕

注意：

单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确是的备与之对应时。

氛描点法画函数图形的一般涉骤

第一步：

列表（表中给出一些自变量的值屋其对应的西数值）；

第二步：

描点（在直角坐标系中，以自变呈的值为横坐标’相应的函数值为纵坐标，描岀表格中数值对应的各点”

第三步：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来L

函數的表示育法

列表法；一目了然1使用起来方便，但列出的对应值是有限的*不易看出自变军与函数之间的对应规律口

解析式法；简单明了*能够准确地反映整个变优过程中自变量与函数之间的相依关系*但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.

图象法：

形象亶观］但只能近似地表达两午变呈之间的函数关系.

一次函数图象和性质

一、一次函数的基础知识

认定义；一般地冬形如y-kx+bkb是常数*k/O）.那么y叫做k的一次函数

当b=0时.y=kx+b即尸也，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数一

—次函数的二駁形式：

y=kx+b依枫））

瓦明：

①k不为零②）d旨数为1③b取任意实数

2x解析式：

y=kx+b（k*b是常数，k^0）

3.图像=一次函数y=kx+b的图象是经过S・b）和°）两点的一条直线・我

k

们称它为直线¥=kx+孔氛增减性（单调性）：

k>0,ylijgx的增大而增大〔单调增）；k<0,y随览而增大而减小（单调减〉

仇必过点：

（0,b）和（--,0）：

理由如下；y=kx+b中*

k

⑴当xp时，y=

所以’该函数经过（,）点

⑵当尸o、时寸x=

所乩该函数经过（）点

所以I一次函数v=kx+h的图象是必经过（-?

，（））和（山b〉两点的一条

K

直线「注；两点确定一条直线。

画图时，可通过这两点来确定直线。

氣一次函数图像的画法：

两点法

计算必过点（0,b）和0）

k

1描点《有小到大的顺序）

2连线（从左到右光滑的直线）

叭增减性匕kfyfilx的增大而增大；k<0tyBx增大而减小,

Sv倾斜度（只与k相关|k|越大，图象越接近于y轴；民越小，图象越接近于龙轴

■的符号卒

k心

k©

大欽圈疗

y=5耳乌尸耳；

/=-5k与

y=-x；）+->

屮

L/尸52

//“

V=-5m*'\*

/[

'X4

L

度q

血丨越尢.图舞一帙焙诉十y轴：

-

|k|i£小.舉霆越接近于次轴宀

Ox截点（与b有关）：

（直线与y轴的交点'该点到原点的距离叫做截距〉

1当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴人

2当bP时，直线与y轴交于原点的下方。

（即y轴的负半轴）

叭图像的上下平移（只与b相关）；直线y=好也它可以看作由直线厂賦平移卜个单位长度得到一

当b>0时，将直线尸kx的图象向上平移h亍单位；口诀“正上”

当b<0时I将直线尸kx的图象向下平移b个单位.口诀“负下

例如;尸2乂十工将直线厂2只的图象向上平移？

个单位

尸2x3将直线v=2爼的團象向下平移3个单位

练习:

y=5x-6,将直线yh蛊的图象向下平移个单位

注：

一次函数y-kx-b图像的平移，只与b有关，将尸kx的图像平移，平移方向：

b正上移，b负下移

11.一次函数尸=kX*h的图象与性质

bX）

b<0

bP〈正比例函数）

经过z第一*二.三象限

经过：

第一"三、四象

经过：

第一、三象限

不经过：

第四象限

限不经过；第二象限

不经过：

第二，四象限

k>0

/卜

/ol*

O/x/\

增减性（单调性）：

图象从左到右上升，丫随x

的增大而増大，单调增

经过第一，二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

不经过：

第三象限

不经过：

第一象限

不经过：

第一、三象限

L

一

L

■°|

增减性（单调性）：

图象从左到右下降，y随x

的增大而减小，单谄减

必过点：

经过（-?

，0）和（山b）两点，正比例函数即是经过原点（0,

k

0）

12.两直线之间的位置关系（平行或相交人

若T1线八y-x+厶：

y=Zr+b:

1平行：

当&=為时■人打厶；

■■-k\+bi

2相交：

将两直线方程联立成一个方程组、.八+険'解得结果，即为交点.

13.二元一次方程组与一次函数的关系：

两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解.

14.应用：

要点是

（1）会通过图象得信息；

（2）能根摇题目中所给的信息写出表达式°

15.【思想方法】数形结合。

巩固练习：

试试画出y=x,y=x+lny=-x+l的图像

反比例函数图象和性质

一、反比例函数的基础知识

1.定义：

一般地.形如y-（点为常数，5、的函数称为反比例函数’

x

色还可以写成卩二肛_J

x

2*解析式：

y=-"为常数J

x

注：

反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数八等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数左（也叫做比例系数左）,

分母中含有自变量x,且拒数为I.

2比例系数

3自变星雄的取值为一切非零实数匚1反比例函数有意义的条件：

分母二0）

M函数『的取值是一切非零实数•，3>增减性（单调性人kX）,y随x的增大而减小（单调减hk<0,y随x增大而増大（单调增）

4.反比例函数的图象*双曲线

（1）图像的画法：

描点法

1列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数〉

2描点（有小到大的顺序）

3连线（从左到右光滑的曲线）

⑴是屮心对称图形，对称屮心是煤点

（2）对称性；乂

（2）^軸对称图形，肘称轴足直线y二x和y二-x

0）反比例函数v=-（&为常数，上去0）中自变量工去0,函数值j^0T所以双曲线是X

生经过厘点，断开的两个分支（称为左、右支人延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐

左时两支曲线分别位「…、2象限且每-像限内评虹的增人而减小标轴相交。

*

k<0时两支仙线分别位于二四象限且每象限内F随工的増大而用大

（4）比例系数k的几何含义（右图）：

反比例函数y=-（好⑴中比例旷

x

几何意义］即过双曲线V=-（焊0）上任意一点P作X轴、y轴垂线*Tx

别为A,B.则所得矩形OAPB的面积｛阴彭面积）为—|Aj_.

（由、=£变形可得：

k-xy因为面积为正数，所以k取绝对值J

x

仏反比例函数性质如下表;

k的符号

k>0

k<0

图橡的大致位育

k

V

J

X

厂

经过象限

第i

d限

第象

增减性（单调性1单调区间内讨论）

在每一象限内，从左到右看，¥随X的増大而减

C^c,0）U（0,+do）区

在每一象限内，从左到右看

¥随X的增大而增大

C-oCj0）U（0f+oy）区

氣【思想方法】：

数形结合

二次函数图象和性质

一*二次函数的基础知识：

1.定义：

一般地，形如衣十舷K是常数，左川）的函数，叫做二次函数⑦

这里需要强调；和一元二次方程类似，二次项系数而鼠疔可以为零+

二次函数的定义城&的取值范围）：

全体实数，R.

2.解析式（表达式〉：

一般式：

尸=曲4力“打（时"，S乩C星常数）：

说明:

（I）等号左边是函数，右边是关于自变量片的二次式，丿的巖高次数是:

L

⑵小乩匚星常数，灯星二次项系数，*黒一次项系数#C是常数项.

对J一次函斑二圧仏皿经过配方变形为顶曲龙戸人竺二其険点矍标为（-丄气胪）2a4（7Ztr4®

补充：

⑴二次函数解析式的表示方法（三种）

1一般式my=axt+bx+c（avh、卞为常数*a^o）；

2顶点式：

厂（.紅斤为常数."心；［抛物线的顶点卩（h,k）］

对于二欢曲数¥=加丁应十G经过配方亚形顷必曲十也二上*其顶点蚩标为｛上仲-护）

2a4ci2ki4ti

:

$'两根式（交点式）：

尸世十册“-也）（（?

".xl,兀是抛物线与t轴两交点的横坐标），

〔仅限于与X轴有两个交点八（xi,0）和BCx210）的抛物线，即AN］

-h+\Jb‘-4ac

2a

（即一元二次方程求根公式）

2ij

注：

在3种形式的互相转化中'有如下关系：

Lh.4uc-h~A+\lb~4ac-h4ac

h=k-x=.x,=

2a4a[2a22a

注意；任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式■但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与耳轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示・二次函数解析式的这三种形式可以互化.

⑵二次函数y=a（x^h/+4^y-ax1的比较从解析式上着,+A与丁二加+Ay+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得

到前者’即尸（"仝『+込出，其中"-空型二乂

\/4u2a4a

3,二次函数解析式的确定z

根据已知条件确定二次函数解析式’通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式*

2-已知抛物线顶点或对称轴或谥大（小）值|一般选用顶点式；

工已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.己知抛物线上纵坐标相同前两点，常选用顶点式.

4、二次函数y-trx~+hx-c图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数y-ax'[bx+ctE为顶点式y-（7（.rhfk,确定其开口方向*对称轴及顷点坐标：

然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：

顶点、与「轴的交点小以及【⑴打关于对称轴对称的点（沖…）、与議轴的交点b-O）（若与左轴没有交点.则取两组关于对称轴对称的点）•

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴’顶点，与丫轴的交点*与$轴的交点.

氛二次函数的图像：

抛物线

（1）对称性：

抛物线是轴对称图形。

对称轴：

直线X匕■对称轴与抛物线唯一的交点为抛

2u

物线的顶点P°特别地，当b=0时|馳物线的对称辘是y轴（即宜线沪①

（2）抛物线有一个顶点珂坐标为P丄皿"）

2a4a

当・"-0时；P在y轴上；当X打'斗“=0时1P在兀轴上。

'是料项）

仏1〕疋与抛物线的关系3是二次项系数，用是一次项系数.

（I）日决定抛物线的开口方向和大小：

开口方向：

自为正（^>0）.开口朝上，有最小值：

赳为负（3<0）,开口朝下，有最大值；开口大小：

a的绝对值越大.抛物线的开口越小。

（2）触b共同决定对称轴：

克线x=-A一

口A的符号决定对称轴x=-^-的位分两种悄况；

2a

厲当讀与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左侧;

②当■与b异号时（即ab<0）t对称轴在y轴右侧°概括的说就是"左同右异"

（3）常数项r决定抛物线与y轴交点°

抛物线与y轴交于（6c）r分三种情况：

⑴鉴汕时，抛物线与」•轴的交点在工轴上方，即抛物线与」轴交点的纵坐标为正;

⑶当£柿时，拋物线与『轴的交点为坐标原点，即抛物线与丁轴交点的纵坐标为"

⑶当亡和［时，抛物线与T轴的交点在x轴下方，即抛物线与」轴交点的纵坐标为员.

总之，只要^h.c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

6、抛物线与x轴交点个数

2h^4ac>0时，抛物线与k轴有2个交点。

Ag,0）和B（住0）

△=护-4

2a

a-y-4^

配图：

开口向上（开口向下，情况类似｝

7「类比一元二次方程的根的情况：

特别地，二次函数（以下称函数）*=«/十加+亡

当厂0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称有程），即册+加七=計

此时'函数图像与弋轴有无交点即方程有无实数根.

函数与X轴交点的横坐标即为方程的根。

趴二次函数尸/工+昙丫+气兰的图像和性质

\2®/4a

□A0

a<0

V

\/

a

图象

01Vx

开口

对称轴

顶点坐标

当x=时.

当心时.

舐W

卫有最—值，\

y有最值.y

在对称轴左

3侧

y随X的增大而

y随斗的增大而

L在对称轴右吐侧

yffix的增大而

y随k的增大而

9.应用：

（!

）最大面积；⑵最大利润；（3）其它

10.二次函数图象的平移

】*平移涉骤：

方法一；⑴将抛物线解析式转化成顶点式/用*匕确定其顶点坐标（机約;

向右仙呦【或左肿0）】

V

T

\v

平移阳个单忖

“:

M>0）【或卜平移闻个单位

冋上［或向H如砂】平移囲牛收位

4v>A

向上少叩【就卜（竝。

）】平務囲牛单僮円厂呻切”

⑵保持抛物线血的形状不变.将其顶点平移到处-具体平移方法如下:

2,平移规律

在原有函数的基础上◎值正右移.负左移;*值正上移、负下移=概括成八个字„左加右减，上加下减I

方法二：

⑴加十（:

沿J?

轴平移:

向上（T）平移旳个单位，$二和T+〔变成y-ux2^-hx+e-^in（Scj=+hx^e-m）

⑵y=ax2A-bx+c沿轴平移；向左（右〉平移加个单位，y=aH百变威

y-a（x+十方（x十m）+c（或”f二柑（了一附）‘十叔x-w）+c）

函数ykx+b（b>0）和y-#{kRh在同一坐标系中的图象可能是（B）

A13CD

在一次函数y=2x-l的图象上，到两坐标轴距离相等的点有（B）

A.1个2个C\3个D.无数个

若点（么yi）.Cl,0、（I,y.<）在反比例函数f■宁的图傑上，

则下列结论中正确的是（D）

a.yi>yi>y3B\yiyi>y5D、y3>yi>y；

已知一次函数y=（m2-4）x+bm的图象在y轴上的截距与一次富数y=（m;-2Jx+m^3的图象在y轴上的截距互为相反数、则竹尸订°