函数的定义域及求法讲解.docx
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函数的定义域及求法讲解.docx
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函数的定义域及求法讲解
函数的定义域及求法讲解
一、函数的定义域及求法
[例题]:
1、求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.
[解析]:
[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→原函数的定义域为R;
当m≠0时,则mx2-4mx+m+3>0,
①m<0时,显然原函数定义域不为R;
②m>0,且△=(-4m)2-4m(m+3)<0时,即0<m<1,原函数定义域为R,
所以当m∈[0,1)时,原函数定义域为R.
4、求函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域.
[解析]:
[求原函数的值域]
由题意可知,即求原函数的值域,
∵x≥4, ∴log2x≥2 ∴y≥3
所以函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3,+∞).
5、函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.
[解析]:
由题意可知2-1≤2x≤21 → f(x)定义域为[1/2,2]
→1/2≤log2x≤2 →√ ̄2≤x≤4.
所以f(log2x)的定义域是[√ ̄2,4].
二、函数的值域及求法:
配方法;零点讨论法;函数图象法;利用求反函数的定义域法;换元法;利用函数的单调性和有界性法;分离变量法.
[例题]:
:
求下列函数的值域
[解析]:
1、[利用求反函数的定义域求值域]先求其反函数:
f-1(x)=(3x+1)/(x-2),其中x≠2,
由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}
2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得,
因此,原函数的值域为[1/2,+∞)
4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x=t,其中t>0,则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) →t=(y+1)/(y-1)>0
∴y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3,1,2,
①当x<-3时,y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9
②当-3≤x<1时,y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5 ③当1≤x<2时,y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6 ④当x≥2时,y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得,原函数的值域是[5,+∞) 6、[利用函数的有界性] 三、函数的单调性及应用 [例题]: 2、设a>0且a≠1,试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. [解析]: [利用复合函数的单调性的判定] 由题意可得原函数的定义域是(-1,4), 设u=4+3x-x2,其对称轴是x=3/2, 所以函数u=4+3x-x2,在区间(-1,3/2]上单调递增;在区间[3/2,4)上单调递减. ①a>1时,y=logau在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑,得函数u=4+3x-x2的单调递增区间(-1,3/2],即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. ②0<a<1时,y=logau在其定义域内为减函数,由x↑→u↓→y↑,得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2,4),即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. 3、已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围。 [解析]: [利用复合函数的单调性的判定] 由题意可知,a>0.设u=g(x)=2-ax,则g(x)在[0,1]上是减函数,且x=1时, g(x)有最小值umin=2-a. 又因为u=g(x)=2-ax>0,所以,只要umin=2-a>0则可,得a<2. 又y=loga(2-ax)在[0,1]上是x减函数,u=g(x)在[0,1]上是减函数, 即x↑→u↓→y↓,所以y=logau是增函数,故a>1. 综上所述,得1<a<2. 4、已知f(x)的定义域为(0,+∞),且在其上为增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f (2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3. [解析]: [此题的关键是求函数值3所对应的自变量的值] 由题意可得,f(4)=f (2)+f (2)=2,3=2+1=f(4)+f (2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x) 所以原不等式的解集为{x|2 四、函数的奇偶性及应用 [例题]: [解析]: ①[利用作和差判断] 由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数, 即,f(x)=-f(x),∴原函数是奇函数. ②[利用作商法判断]由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数, (2)∵f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f[1-(1-x)]=f[1+(1-x)],x∈R, 即f(x)=f(2-x), 又∵f(x)在R上为偶函数,→f(-x)=f(x)=f(2-x)=f(2+x) ∴f(x)是周期的函数,且2是它的一个周期. 五、函数的周期性及应用 [例题]: 1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. [解析]: [利用周期函数的定义] y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)| 即对于定义域内的每一个x,当x增加到(x+π/2)时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2. 3、求函数y=sin3x+tan(2x/5)的最小正周期. [解析]: [最小公倍数法和公式法], (设f(x)、g(x)是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T1、、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期等于T1、、T2的最小公倍数.) (注: 分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数). 由题意可知,sin3x的周期是T1=2π/3,tan(2x/5)的周期是T2=5π/2, ∴原函数的周期是T=10π/1=10π. 4、求函数y=|tanx|的最小正周期. [解析]: [利用函数的图象求函数的周期] 函数y=|tanx|的简图如图: 由函数y=|tanx|的简图可知, 其最小正周期是π. 5、设f(x)是(-∞,+∞)上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(7.5) [解析]: [利用周期函数的定义] 由题意可知,f(2+x)=f(x) ∴ f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
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