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导数专题训练
导数专题训练
一.解答题(共30小题)
1.(2018•德阳模拟)已知函数f(x)=ln(x+1).
(1)当x∈(﹣1,0)时,求证:
f(x)<x<﹣f(﹣x);
(2)设函数g(x)=ex﹣f(x)﹣a(a∈R),且g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),
①求实数a的取值范围;②求证:
x1+x2>0.
2.(2018•达州模拟)已知函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=
x2﹣(2a+1)x+(a+1)lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极大值;
(2)当a≥1时,求证:
方程f(x)=g(x)有唯一实根.
3.(2018•东莞市模拟)已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx(a∈R).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,证明:
对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.
4.(2018•汕头一模)已知函数f(x)=e2x﹣ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)>ax2+1,求a的取值范围.
5.(2018•玉溪模拟)设M是满足下列条件的函数构成的集合:
①方程f(x)﹣x=0有实数根;②函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:
方程f(x)﹣x=0只有一个实根;
(2)判断函数
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的元素,对于定义域中任意α,β,当|α﹣2012|<1,|β﹣2012|<1时,证明:
|f(α)﹣f(β)|<2.
6.(2018•玉溪模拟)已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
7.(2018•绵阳模拟)函数f(x)=﹣lnx+
2+(a﹣1)x﹣2(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求证:
f(x)≥﹣
.
8.(2018•铁东区校级一模)设函数f(x)=(2﹣x)ex.
(1)求f(x)在x=0处的切线;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+2,求a的取值范围.
9.(2018•内江一模)已知函数f(x)=ex﹣2,其中e≈2.71828…是自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:
当x>0时,f(x)>x﹣1≥lnx;
(Ⅱ)设m为整数,函数g(x)=f(x)﹣lnx﹣m有两个零点,求m的最小值.
10.(2018•南充模拟)已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b,(k∈R,b∈R).
(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:
f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(2)若f(x)≥kx+b对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数k,b应满足的条件.
11.(2018•四川模拟)已知函数
(其中a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明
(其中f'(x)是f(x)的导函数).
12.(2018•株洲一模)已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明:
.
13.(2018•长沙一模)已知函数f(x)=
+be﹣x,点M(0,1)在曲线y=f(x)上,且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直.
(1)求a,b的值;
(2)如果当x≠0时,都有f(x)>
+ke﹣x,求k的取值范围.
14.(2018•南充模拟)已知a∈R,函数f(x)=ln(x+1)﹣x2+ax+2.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围;
(2)令a=﹣1,b∈R,已知函数g(x)=b+2bx﹣x2.若对任意x1∈(﹣1,+∞),总存在x2∈[﹣1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数b的取值范围.
15.(2018•张掖一模)已知函数f(x)=ax2﹣ex(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y轴垂直,求y=f'(x)的最大值;
(2)若对任意0≤x1<x2都有f(x2)+x2(2﹣2ln2)<f(x1)+x1(2﹣2ln2),求a的取值范围.
16.(2018•武侯区校级模拟)已知函数f(x)=kex﹣x2(其中k∈R,e是自然对数的底数)
(1)若k=2,当x∈(0,+∞)时,试比较f(x)与2的大小;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求k的取值范围,并证明:
0<f(x1)<1.
17.(2018•泸州模拟)已知函数f(x)=
﹣ax+alnx(a>0).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性
(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=
+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2,且x1<x2,证明:
x1x22<2.
18.(2017秋•济宁期末)设函数f(x)=x+lnx﹣
.
(1)讨论函数f(x)的单词性;
(2)当a=1时,记g(x)=xf(x),是否存在整数t,使得关于x的不等式t≥g(x)有解?
若存在,请求出t的最小值;若不存在,请说明理由.
19.(2017秋•西城区期末)已知函数f(x)=x2lnx﹣2x.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:
存在唯一的x0∈(1,2),使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f
(2)﹣f
(1)(Ⅲ)比较f(1.01)与﹣2.01的大小,并加以证明.
20.(2017秋•南开区期末)设函数f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求函数f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2)
①求实数a的范围;②证明:
.
21.(2017秋•沈阳期末)设函数
,已知曲线y=f(x)在x=0处的切线l方程为y=kx+b,且k≥b.
(1)求m的取值范围;
(2)当x≥﹣2时,f(x)≥0,求m的最大值.
22.(2017秋•泰州期末)已知函数f(x)=ex﹣lnx(x>0)的最小值为m.
(1)设g(x)=f'(x),求证:
g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求证:
m>2;(3)求函数h(x)=ex﹣emlnx的最小值.
23.(2017秋•滨州期末)已知函数f(x)=(x﹣1)ex+ax2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.
24.(2017秋•七台河期末)已知函数
.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)对任意的
,x1,x2∈[1,2],恒有
,求正实数λ的取值范围.
25.(2017秋•广西月考)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a<0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有
,求实数a的取值范围.
26.(2017秋•黄冈期末)已知f(x)=
(a≠0,且a为常数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=
,在区间(1,+∞)内,存在x1,x2,且x1≠x2时,使不等式|f(x1)﹣f(x2)|≥k|lnx1﹣lnx2|成立,求k的取值范围.
27.(2017秋•辽宁期末)已知函数
.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程;
(2)当x>0且x≠1,不等式
恒成立,求实数a的值.
28.(2017•长汀县)已知函数
(Ⅰ)若直线x=t(t>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于A,B两点,且曲线y=f(x)在点A处的切线与y=g(x)在点B处的切线相互平行,求a的取值范围;
(Ⅱ)设
,证明:
(其中n>1,n∈N*,e=2.71828…是自然对数的底数)
29.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+
)(1+
)…(1+
)<m,求m的最小值.
30.(2017•鹰潭一模)已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2(f'(x)+
)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(Ⅲ)求证:
×
×
×…×
<
(n≥2,n∈N*).
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