6概率论例题练习.docx
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6概率论例题练习
第一节随机事件
例题
例1在标准大气压下,纯水加入到1000C,水必然会沸腾。
例2对铁板加热,铁板温度必定会升高。
例3往桌上酯一枚均匀的硬币,正面向上或正面向下。
例4从含有5个次品的一批产品中,任意抽取2件,次品数可能是0,1,2。
例5掷一粒骰子,出现的点数可能是1,2,3,4,5,6。
例6袋中有红、黄、蓝色球各一个,不放回地取两次(有放回地取两次)每次取一个球,考察这两个球的颜色,试写出样本空间。
例7某图书馆的书分为A={数学书},B={中文版的书},C={1980年以后出版的书},问下列事件或式子各表示什么意思?
(1)
(2)
(3)
(4)
例8某运动员参加三项比赛,用A,B,C分别表示“百米获胜”,“跳远获胜”,“三级跳远获胜”。
试用A,B,C及其关系或运算表示下列事件:
(1)只有百米获胜。
(2)只有一项比赛获胜。
(3)恰有两项比赛获胜。
(4)至少有一项比赛获胜。
(5)至多有一项比赛获胜。
同步练习
1.一批产品有正品和次品,每次取一件,连取3次,设Ai=“第i件为正品”(i=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件:
(1)B1=“3件都是正品”
(2)B2=“3件不都是正品”
(3)B3=“3件中恰有1件正品”
(4)B3=“3件中至少有1件正品”
(5)B3=“3件中至多有1件正品”
2.下列各事件的关系正确的是()
A.
B.
C.若
则
D.
3.下列结论正确的是()
A.若
则A,B互为对立事件
B.若A,B为互不下相容事件,则A,B互为对立事件
C.若A,B为互不下相容事件,则
也互不相容
D.若A,B为互不下相容事件,则
4.用A表示事件“甲考核通过且乙考核不通过”,则其对立事件
为()
A.“甲考核不通过,乙考核通过”
B.“甲、乙考核都通过”
C.“甲考核不通过”
D.“甲考核不通过或乙考核通过”
第二节事件的概率
例题
例9从1到10这十个正整数中任取一个数。
(1)求随机事件的样本空间
(2)设事件A=“任取一个数是奇数”,求P(A)
(3)设事件B=“任取一个数是5的倍数”,求P(B)
(4)求P(A∪B)
例10袋中有重量相等、大小相同的20个球,其编号为1~20
(1)从袋中任取一球,设事件A=“取到前10个号码的球”,求P(A)
(2)每次从袋中任取两球,设事件B=“取到的两球都是前10个号码的球”,求P(B)
(3)每次取一球,无放回地取两次,设事件C=“每次取到的都是前10个号码的球”,求P(C)
(4)每次取一球,无放回地取两次,设事D=“第二次才取到偶数号的球”,求P(D)
(5)每次取一球,无放回地取两次,设事E=“第二次取到偶数号的球”,求P(E)
(6)每次取一球,有放回地取两次,设事F=“第二次才取到偶数号的球”,求P(F)
例11某100件产品中有次品5件,一次任取5件。
(1)设事件A=“至少有1件次品”求P(A).
(2)设事件B=“恰有3件次品”求P(B).
例12甲、乙两人同时向一敌机射击,已知甲、乙击中敌机的概率分别为00.6和0.5,甲、乙同时击中敌机的概率为0.3,求敌机被击中的概率。
例13设有号码为1~5的5个球及标号为1~10的10个盒子,将这5个球放入10个盒子中,假设每个球放入任意一个盒子的可能性相同,求下列事件的概率:
(1)A=“指定的5个盒子各有1个球”.
(2)B=“5个求只能放入5个盒子”.
同步练习
1.下列说法正确的是()
A.若A,B为对立事件,则
B.若P(AB)=0则P(A)=0或P(B)=0
C.若A与B互不相容,则P(A)=1-P(B)
D.若A与B互斥,则
2.在10乒乓球中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是()
A.“3个都是白球”B.“3个都是黄球”
C.“至少有1个黄球”D.“至少有1个白球”
3.若事件A与B互斥,且P(A)=0.5,P(A∪B)=0.8,则P(B)=()
A.0.3B.0.4C.0.2D.0.1
4.从0,1,2,3,4,5共六个数字中,任取三个数组成数字不重复的三个奇数的概率是
5.袋中装有号码为1,2,3的三个球,从中任取一个,记下号码,再放回袋中,这样重复取三次,如果记下的三个号码之和是6,那么三次取得的都是2号球的概率是
6.甲、已二人参加歌手大奖赛的知识竞答比赛,共有6个选择题,8个判断题,甲、乙二人依次各抽1题,则甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是
7.设有5封信及标号为1~5的5个信筒,将这5封信投入任意一个信筒是等可能的,求下列事件的概率。
(1)A=“5个信筒各有2封信”。
(2)b=“4号信筒里只能投指定的1封信,其余的信筒各1封信”。
8.甲袋里有15只乒乓球,其中3只白球,7只红球,5只黄球,乙袋里有20只乒乓球,其中10只白球,6只红球,4只黄球,现从两袋中各取1只球,求两球颜色相同的概率。
9.一个宿舍里住了4个学生,试求这4个学生除生的月份不同的概率。
第三节条件概率、乘法公式、独立性
例14袋中有白球5只,红球3只,随机地取两次,每次取1只,取后不放回,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的也是白球的概率。
例15已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.4,求P(A∪B)
例16甲、乙两人生产同样的零件共100个,其中有40个是乙生产的,而在这40个零件中有36个是正品,现从这100个零件中任取1个。
(1)试求它是乙生产的正品的概率是多少?
(2)通过此例说明P(A|B)与P(AB)在概念上的差异。
例17在10张奖卷中,有2张是一等奖。
甲、乙二人随机各抽1张,不放回。
试证明甲、乙二人抽中“一等奖奖卷”是概率是相同的,而且与抽取的先后次2序无关。
例18两人同时射击同一目标,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求两人各射击一次后,目标被击中的概率。
例19某电路如图,其中A,B,C为开关。
设各开关闭合开启都相互独立,且每一个开关闭合的概率均为p,求L与R为通路的概率.
例20三人独立地破译一个密码,各自译出密码的概率分别是
,求此密码破译出的概率。
同步练习
1.若A与B的交是不可能事件,则A与B一定是()
A.对立事件B.相互独事件
C.互不相容事件D.相等事件
3.若事件A与B满足P(B︱A)=1,则有()
A.A是必然事件B.P(B︱
)=0
C.A
BD.A
B
对于任意两个随机事件A和B,下列结论正确的是()
A.若AB≠Ø,则A、B一定独立
B.若AB≠Ø,则A、B有可能独立
C.若AB=Ø,则A、B一定独立
D.若AB=Ø,则A、B一定不独立
4.若A,B为两个对立事件,且P(A)≠0,P(B)≠0,则下列式子正确的是()
A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.
C.P(AB)=P(A)P(B)D.
5.设事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(B︱A)=0.5,则P(A+B)=
6.设事件A,B为对立事件,且(A)>0则P(B︱A)=
7.设事件A,B满足P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A︱B)=0.4,则P(B︱A)=
8.设事件A,B相互独立,P(A)=
=a-1,P(A+B)=
则常数a=
9.设20件产品中有3件次品,从中任取两件,在已知其中有1件是次品的条件下,求另1件也是次品的概率。
10.某班级有学生50人,其中男生30人,10个是团员,女生20人中有团员15人,现从中选1人参加校团代会,已知选出的是女生,问选出的人是团员的概率是多少?
11.设某家庭有3个孩子,在已知至少有1个女孩的条件下,求这个家庭至少有1个男孩的概率。
第四节一维随机变量及其数字特征
例21掷一枚均匀的骰子一次,观察出现的点数,如果用X表示出现的点数,则X的取值为1,2,3,4,5,6.用{X=i}(i=1,2,…6)表示“出现i点”的事件。
当i取不同值时就表示试验中出现不同个结果,因此事件“出现3点”的概率就可以用P(X=3)=
来表示。
这里的X显然是一个取值为1,2,…6的变量。
例22设有某种产品10件,其中有3件次品,从中任意抽取3件。
如果用X表示抽取得的次品数,则X的取值为0,1,2,3,而X=1表示对应的事件“抽到1件产品”,显然X也是一个随机变量,它不同的数值表示抽取的不同的结果。
因此,设事件Ai=“抽到的3件恰有i件次品”与“X=i”的意义是完全对应的。
例23对于例22,求抽得的次品的分别列。
例24设随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
(1)求常数a
(2)求p{0.5≤X<4}
(3)求X的分别函数F(x)及F(3.2)
例25下列数列为某随机变量的分布列的是()
A.
B.
C.
D.
例26甲、乙两名射手在10发子弹的射击中,击中的环数及次数如下表所示
甲
乙
试确定获胜者。
例27两批钢筋,每批各10根,它们的抗拉强度分别为
第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140
第二批90,100,120,125,125,130,135,145,145,145
分别求它们的方差D(X1),D(X2)
同步练习
1.设随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
2
P
试求C
2.可以作为离散型随机变量分布了列的是
A.
B.
C.
D.
3.设随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
P
0.1
a
0.2
0.1
0.3
(1)求a的值,并求P{X<1}.
(2)求E(X).
(3)求D(X)及
.
(4)求X的分布函数.
3.甲、乙两人打靶,设他们击中靶的环数分别为X1,X2,并且有如下的分布列
X1
8.6
9.1
9.4
9.9
P
0.2
0.3
0.2
0.3
X2
8.5
9.0
9.5
10.0
P
0.2
0.3
0.2
0.3
试比较甲、乙两人射击水平的高低。
5.一盒子中有编码为1,2,3,4,5的5个乒乓球,现从中任取3个,用X表示取出的3个球上的最大号码,求:
(1)X的分布列.
(2)E(X)
6.设随机变量X的分布函数为
求X的分布列.
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