A.a2+b2=(a+b)(a-b)
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
8.若△ABC三边分别是a、b、c,且满足(b﹣c)(a2+b2)=bc2﹣c3 ,则△ABC是( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形
9.尺规作图要求:
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ、作线段的垂直平分线;
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ、作角的平分线.
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是( )
A.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣ⅢB.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅰ
C.①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣ⅠD.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ
10.若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是()
A.6B.12C.16D.18
11.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形()
A.三条角平分线的交点B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点
12.若关于x的方程
有增根,则a的值为()
A.-4B.2C.0D.4
二、填空题
13.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:
_____,使△AEH≌△CEB.
14.
分解因式的结果为__________.
15.若a,b互为相反数,则a2﹣b2=_____.
16.因式分解:
______.
17.某市为治理污水,需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120m后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工效比原计划增加20%,结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设
管道,那么根据题意,可得方程.
18.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为_____.
19.如图,△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E,AE=3cm,△ADC的周长为9cm,则△ABC的周长是_______
20.如图,
的三边
的长分别为
,其三条角平分线交于点
,则
=______.
三、解答题
21.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系?
请说明理由.
22.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)在图中画出△ABC与关于y轴对称的图形△A1B1C1,并写出顶点A1、B1、C1的坐标;
(2)若将线段A1C1平移后得到线段A2C2,且A2(a,2),C2(﹣2,b),求a+b的值.
23.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB//CD,M为BC边上的一点,AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
24.化简分式:
并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.
25.已知a=
+2012,b=
+2013,c=
+2014,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.C
解析:
C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系可得5﹣3<a<5+3,解不等式即可求解.
【详解】
由三角形三边关系定理得:
5﹣3<a<5+3,
即2<a<8,
由此可得,符合条件的只有选项C,
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形三边关系,能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3<a<5+3是解此题的关键,注意:
三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.
2.C
解析:
C
【解析】
试题分析:
这个正多边形的边数:
360°÷30°=12,故选C.
考点:
多边形内角与外角.
3.C
解析:
C
【解析】
【分析】
如图,过点D作
于E,根据已知求出CD的长,再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图,过点D作
于E,
,
,
,
,BD平分
,
,
即点D到AB的距离为2,
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
4.C
解析:
C
【解析】
【分析】
根据单项式的乘法和除法法则,以及幂的乘方法则即可作出判断.
【详解】
A、-3a2•2a3=-6a5,故A错误;
B、4a6÷(-2a3)=-2a3,故B错误;
C、(-a3)2=a6,故C正确;
D、(ab3)2=a2b6,故B错误;
故选:
C.
【点睛】
本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方,正确理解幂的运算法则是关键.
5.C
解析:
C
【解析】
【分析】
先由三角形内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A=105°,再根据四边形内角和定理即可求出∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°.
【详解】
:
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=75°,
∴∠B+∠C=180°-∠A=105°,
∵∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°,
∴∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°;
故答案为:
C.
【点睛】
本题考查了三角形、四边形内角和定理,掌握n边形内角和为(n-2)•180°(n≥3且n为整数)是解题的关键.
6.C
解析:
C
【解析】
【分析】
根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;可求第三边长的范围,再选出答案.
【详解】
设第三边长为xcm,
则8﹣2<x<2+8,
6<x<10,
故选:
C.
【点睛】
本题考查了三角形三边关系,解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可.
7.D
解析:
D
【解析】
【分析】
根据左图中阴影部分的面积是a2-b2,右图中梯形的面积是
(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b),利用面积相等即可解答.
【详解】
∵左图中阴影部分的面积是a2-b2,右图中梯形的面积是
(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b),
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故选D.
【点睛】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.
8.D
解析:
D
【解析】
试题解析:
∵(b﹣c)(a2+b2)=bc2﹣c3,
∴(b﹣c)(a2+b2)﹣c2(b﹣c)=0,
∴(b﹣c)(a2+b2﹣c2)=0,
∴b﹣c=0,a2+b2﹣c2=0,
∴b=c或a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故选D.
9.D
解析:
D
【解析】
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案.
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线,观察可知图②符合;
Ⅱ、作线段的垂直平分线,观察可知图③符合;
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线,观察可知图④符合;
Ⅳ、作角的平分线,观察可知图①符合,
所以正确的配对是:
①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ,
故选D.
【点睛】本题主要考查了基本作图,正确掌握基本作图方法是解题关键.
10.B
解析:
B
【解析】设多边形的边数为n,则有(n-2)×180°=n×150°,解得:
n=12,
故选B.
11.C
解析:
C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的作法,确定到三定点距离相等的点.
【详解】
解:
因为到三角形各顶点的距离相等的点,需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,只有分别作出三角形的两边的垂直平分线,交点才到三个顶点的距离相等.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和三角形外心的作法,关键是根据垂直平分线的性质解答.
12.D
解析:
D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.让最简公分母x-4=0,得到x=4.再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解:
由分式方程的最简公分母是x-4,
∵关于x的方程
有增根,
∴x-4=0,
∴分式方程的增根是x=4.
关于x的方程
去分母得x=2(x-4)+a,
代入x=4得a=4
故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
二、填空题
13.AH=CB或EH=EB或AE=CE【解析】【分析】根据垂直关系可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【详解】∵AD⊥BCCE⊥AB垂足分别为DE∴∠BEC=
解析:
AH=CB或EH=EB或AE=CE.
【解析】
【分析】
根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,就只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
【详解】
∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
∴∠BEC=∠AEC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°﹣∠AHE,
又∵∠EAH=∠BAD,
∴∠BAD=90°﹣∠AHE,
在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,
∴∠EAH=∠DCH,
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE,
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA添加AE=CE.
可证△AEH≌△CEB.
故填空答案:
AH=CB或EH=EB或AE=CE.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
14.(x-5)(3x-2)【解析】【分析】先把代数式进行整理然后提公因式即可得到答案【详解】解:
==;故答案为:
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式解题的关键是熟练掌握分解因式的几种方法
解析:
(x-5)(3x-2)
【解析】
【分析】
先把代数式进行整理,然后提公因式
,即可得到答案.
【详解】
解:
=
=
;
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式,解题的关键是熟练掌握分解因式的几种方法.
15.0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案【详解】∵ab互为相反数∴a+b=0∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=0故答案为0【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相
解析:
0
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案.
【详解】∵a,b互为相反数,
∴a+b=0,
∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=0,
故答案为0.
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义,正确分解因式是解题关键.
16.【解析】【分析】提取公因式2x后再利用平方差公式因式分解即可【详解】故答案为:
【点睛】本题考查了因式分解熟练运用提公因式法和运用公式法进行因式分解是解决问题的关键
解析:
【解析】
【分析】
提取公因式2x后再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了因式分解,熟练运用提公因式法和运用公式法进行因式分解是解决问题的关键.
17.【解析】因为原计划每天铺设xm管道所以后来的工作效率为(1+20)x根据题意得
解析:
【解析】
因为原计划每天铺设xm管道,所以后来的工作效率为(1+20%)x
根据题意,得
.
18.130°或90°【解析】分析:
根据题意可以求得∠B和∠C的度数然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数详解:
∵在△ABC中AB=AC∠BAC=100°∴∠B=∠C=40°∵点D在BC边上△A
解析:
130°或90°.
【解析】
分析:
根据题意可以求得∠B和∠C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数.
详解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=40°,
∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,
∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,
∴∠ADC=130°,
当∠ADB=90°时,则
∠ADC=90°,
故答案为130°或90°.
点睛:
本题考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答.
19.15cm【解析】【分析】【详解】在△ABC中边AB的垂直平分线分别交BCAB于点DEAE=3cmAE=BEAD=BD△ADC的周长为9cm即AC+CD+AD=9则△ABC的周长=AB+BC+AC=
解析:
15cm
【解析】
【分析】
【详解】
在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E,
AE=3cm,AE=BE,AD=BD,
△ADC的周长为9cm,
即AC+CD+AD=9,
则△ABC的周长=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC=AE+BE+AD+CD+AC=6+9=15cm
【点睛】
本题考查垂直平分线,解答本题的关键是掌握垂直平分线的概念和性质,运用其来解答本题
20.【解析】【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D作OE⊥AC于点E作OF⊥BC于点F由OAOBOC是△ABC的三条角平分线根据角平分线的性质可得OD=OE=OF又由△ABC的三边ABBCCA长分别为40
解析:
【解析】
【分析】
首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:
S△BCO:
S△CAO的值.
【详解】
解:
过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,
∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,
∴OD=OE=OF,
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,
∴S△ABO:
S△BCO:
S△CAO=(
AB•OD):
(
BC•OF):
(
AC•OE)
=AB:
BC:
AC=40:
50:
60=
.
故答案为:
.
【点睛】
此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
三、解答题
21.BN=CM,理由见解析.
【解析】
【分析】
连接PB,PC,根据角平分线性质求出PM=PN,根据线段垂直平分线求出PB=PC,根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB,即可得出答案.
【详解】
解:
BN=CM,理由如下:
如图,连接PB,PC,
∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,
∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°,
∵P在BC的垂直平分线上,
∴PC=PB,
在Rt△PMC和Rt△PNB中,
,
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),
∴BN=CM.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定,线段垂直平分线性质,角平分线性质等知识点,能正确地添加辅助线是解题的关键.
22.
(1)如图所示见解析,A1(2,3)、B1(3,2)、C1(1,1);
(2)-1.
【解析】
【分析】
(1)根据轴对称的性质确定出点A1、B1、C1的坐标,然后画出图形即可;
(2)由点A1、C1的坐标,根据平移与坐标变化的规律可规定出a、b的值,从而可求得a+b的值.
【详解】
(1)如图所示:
A1(2,3)、B1(3,2)、C1(1,1).
(2)∵A1(2,3)、C1(1,1),A2(a,2),C2(-2,b).
∴将线段A1C1向下平移了1个单位,向左平移了3个单位.
∴a=-1,b=0.
∴a+b=-1+0=-1.
【点睛】
本题主要考查的轴对称变化、坐标变化与平移,根据根据平移与坐标变化的规律确定出a、b的值是解题的关键.
23.
(1)详见解析;
(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°,根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°,求出∠AMD=90°,根据垂直的定义得到答案;
(2)作MN⊥AD,根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM,等量代换可得结论.
【详解】
证明:
(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴2∠MAD+2∠ADM=180°,
∴∠MAD+∠ADM=90°,
∴∠AMD=90°,即AM⊥DM;
(2)作MN⊥AD交AD于N,
∵∠B=90°,AB∥CD,
∴BM⊥AB,CM⊥CD,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴BM=MN,MN=CM,
∴BM=CM,即M为BC的中点.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理以及角平分线的性质,掌握平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
24.x+2;当x=1时,原式=3.
【解析】
【分析】
先把分子分母因式分解,约分,再计算括号内的减法,最后算除法,约分成最简分式或整式;再选择使分式有意义的数代入求值即可.
【详解】
解:
=x+2,
∵x2-4≠0,x-3≠0,
∴x≠2且x≠-2且x≠3,
∴可取x=1代入,原式=3.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值,熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键,注意分式有意义的条件.
25.3
【解析】
【分析】
由已知可得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,所求式子提取
,利用完全平方公式变形后,代入计算即可求出值.
【详解】
解:
∵a=
+2012,b=
+2013,c=
+2014,
∴a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca
=
(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=
[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
=
×(1+1+4)
=3.
【点睛】
本题考查因式分解的应用.