五年级奥数专题讲座.docx

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五年级奥数专题讲座

五年级奥数集训专题讲座

（一）----有趣的平均数问题

主讲：

谭发佳

我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系：

①总数量÷总份数=平均数②平均数×总份数=总数量③总数量÷平均数=总份数。

在总数量不变情况下“移多补少”，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。

1.修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？

分析：

要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。

解:

（900＋900×2＋100）÷（10＋10×1.8）

　＝2800÷28

　＝100（米）

答：

修完这两条公路平均每天修100米。

例2.一个水果店三种水果的单价平均是1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。

分析：

这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。

解：

（1.6×3＋0.2－0.5）÷3

＝4.5÷3

＝15（元）

1.5－0.2＝1.3（元）

1.5＋0.5＝2（元）

答：

香蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚子的单价是2元。

想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？

例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。

求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？

分析:

该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:

去掉最高分和最低分后,该运动员的总得分为:

9.58×3（分）;去掉最高分后,该运动员的总得分为:

9.46×4（分）;去掉最低分后,该运动员的总得分为:

9.66×4（分）;因此,该运动员的最高分为:

9.66×4-9.58×3=9.1（分）

例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.

分析:

往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解答这道题的关键.

由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以:

　S×2÷（S÷100+S÷60）（请根据提示试着思考并解答）

我也能行

1．甲、乙两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？

2．在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少

3．甲乙两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数比甲乙两数平均数多2，丙数应是多少？

4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三人中年龄最大的是谁？

最小的是谁？

5.甲、乙两数的平均数是3.21，丙数是2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是3.6，丁是多少？

6.五个裁判给一个选手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，则该选手平均分是91.5分，请你算一算最高分与最低分相差几分？

7．小丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提高到90分，第五次他考了多少分？

8.有四个数，用其中三个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到：

28、36、42、46，那么原来四个数的平均数是多少？

四面年级奥数集训专题讲座

（二）———盈亏问题

主讲：

谭发佳

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。

例如：

把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块，；如果每人分4块，少8块，小朋友有多少人？

饼干有多少块？

这种一盈一亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。

标准盈亏问题的基本数量关系式：

（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数；每次分得的数量×份数＋盈＝总数量；每次分得的数量×份数－亏＝总数量

还有一些非标准盈亏问题，如：

1、两盈：

两次分配都有余。

数量关系式为：

（大盈－小盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数

2、两亏：

两次分配都不够。

数量关系式为：

（大亏－小亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数

例1：

（一盈一亏问题）一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。

这个植树小组有多少人？

一共有多少棵树？

分析：

由题意可知，植树的人数和棵数是不会变化的，只是两次分配的方案不一样，结果就差了18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵，这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了。

人数：

（14＋4）÷（7－5）＝2（人）棵数：

5×9＋14＝59（棵）

答：

这个植树小组一共有9人，一共有59棵树。

【巩固练习1】：

幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。

幼儿园有多少个小朋友？

一共有多少个积木？

例2：

（两亏问题）学校将一批铅笔奖给三好学生。

如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。

三好学生有多少人？

铅笔有多少支？

分析：

这是两亏问题，由题意可知，三好学生人数和铅笔支数是不变的。

根据两亏关系可知

人数：

（45－7）÷（9－7）＝19（人）铅笔：

9×19－45＝126（支）

答：

三好学生有19人，铅笔有126支。

【巩固练习2】：

将月季花插入一些花瓶中。

如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和月季花的朵数？

例3：

（两盈问题）有一些少先队员到山上种一批树。

如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。

问有多少名少先队员？

有多少棵树？

（根据两盈问题请自己分析解答）

例4：

（盈亏转化）学校给一批新入学的学生分配宿舍。

如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。

求学生宿舍有多少间？

住宿学生有多少人？

分析：

“把每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每个房间住14人，则少14×4=56（人）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。

房间数：

（34＋14×4）÷（14－12）=45（间）人数：

12×45＋34=574（人）

答：

学生宿舍有45间，学生有574人。

我也能行

1、某班安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。

问有宿舍多少间？

学生多少人？

2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。

如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。

美术兴趣小组有多少名同学？

王老师一共有多少张图画纸？

3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：

一人说每人背45发还多260发；另一个说每人背50发还多200发。

求有多少敌人？

有多少发子弹？

4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。

如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支。

请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？

5、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。

问宿舍有多少间？

住宿学生有多少人？

6、学校分配学生宿舍。

如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，则空出2个房间。

问学生宿舍有多少间？

住宿学生有多少人？

7、小强从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。

小强从家到学校的路程是米（选自北京市第四届“迎春杯”刊赛）

8、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。

如果每人分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。

这批苹果的个数是_____。

选自小学数学奥林匹克预赛A卷

五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题

主讲：

谭发佳

倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。

解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：

①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）

②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数）

③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数）

④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）

例1：

三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？

分析：

把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。

乙队：

（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：

400×2=800（米丙队：

400－160=240（米）

答：

甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。

【巩固练习】：

三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？

例2：

师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。

这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？

分析：

徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。

（102－40）÷（3－1）=31（个）31+102=133（个）

答：

师傅要加工133个零件。

【巩固练习】：

两筐重量相等的梨，甲筐取出18千克，乙筐取出6千克，这时乙筐是甲筐重量的3倍，两筐梨原来各重多少千克？

例3：

甲、乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋，求两个仓库原来各有多少袋大米？

分析：

“从甲仓库取出25袋放入乙仓库，则甲仓库比乙仓库还多8袋”从这句话可得知，甲仓库比乙仓库实际要多25×2＋8=58（袋）

甲：

[800+（25×2＋8）]÷2=429（袋）乙：

800－429=371（袋）

答：

甲仓库原有429袋，乙仓库原有371袋。

【巩固练习】：

两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼鸡蛋还多1只，求甲、乙两笼原来各有多少只鸡蛋？

例4：

小东的图书中有58本不是故事书，有42本不是科技书，小东故事书和科技书共有60本，小东科技书有多少书？

分析：

这是一个和差问题，知道科技书和故事书的和，关键是求出它们的差，从题中“58本不是故事书”，就应该是科技书与其它书的和；“42本不是科技书”，就应该是故事书与其它书的和，所以科技书与故事书的差是：

58－42=16（本）

[60+（58－42）]÷2=38（本）答：

小东的科技书有38本。

我也能行

1、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40，三个数各是多少？

2、三个小朋友折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍，求三个人各折纸飞机多少架？

3、赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动时，共跑了1080米，问游泳池的长和宽各是多少米？

4、一片松树林里有很多种树，有1500棵树不是松树，1200棵树不是杨树，松树、杨树共700棵，杨树有多少棵？

5、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

6、妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁，问妈妈、女儿今年各是多少岁？

7、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，被除数、除数各是多少？

8、两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31，求这两个数。

9、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少？

五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数

主讲：

谭发佳

把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。

我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。

其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例1：

把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？

分析：

18的约数有1、2、3、6、9、18。

除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

例2：

写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

分析：

先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。

15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7

=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）

=5×6×7×8×9

【巩固练习】：

有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？

例3：

将2、5、14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

分析：

14=2×724=2×2×2×327=3×3×355=5×11

56=2×2×2×799=3×3×1125

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。

经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）

【巩固练习】：

把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。

例4：

下面的算式里，□里数字各不相同，求这个四个数字的和。

□□×□□=1995

分析：

要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。

所以，先分解1995。

1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995。

这四个数字的和就是2+1+9+5=17。

【巩固练习】：

下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。

□□×□□=1288

例5：

有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

分析：

长方体的正面面积=长×高，上面面积=长×宽，这两个面积之和是

长×高+长×宽=长×（宽+高）=143。

因为长、宽、高都是质数，而143=11×13，所以：

长=13，宽+高=11，或者：

长=11，宽+高=13。

13=2+11，而11=2+9（不合题意）

所以，长方体的体积应该为：

11×11×2=242

注意：

长、宽、高都为质数，宽+高只能是一个偶质数+一个奇质数，想一想，为什么？

我也能行

1、95个同学排成长方形做操，行数与列数都大于1，共有几种排法？

2、写出若干个连续自然数，使它们的和是1680。

3、60个同学分组排队去游览，每组人数要一样多，每组不少于6人，不多于15人，有几种分法？

怎样分？

4、有一个长方形，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是3360立方厘米，求它的表面积？

5、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九个数平均分成三组，每组的数相乘积相等，写出这三组数。

6、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙数分别是多少？

7、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？

8、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3204，问这四个孩子中最大的几岁？

9、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，b×c＝35，c×a＝42，求a×b×c的积是多少？

10、两个两位整数的积是6232，这两个数中较大的数是多少？

11、小明问小强：

你射击三枪，共中几环？

小强：

一二枪的环数乘积时48；二三枪的环数乘积时72；一三枪的环数乘积时54。

小强三枪共射中多少环？

12、翻开数学书，看见两页，页码的积是1806，求这两页的页码是多少？

五年级奥数集训专题讲座（五）——最大公约数

主讲：

谭发佳

回忆：

什么叫公约数及最大公约数？

自然数a、b最大公约数可以记作（a，b）如果（a，b）=1，则a、b是（）。

求几个数的最大公约数可以用（　　　　）和（　　　　）方法。

例１：

一张长方形的纸，长７分米５厘米、宽６分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？

如果说要使裁得的正方形面积最大，可以裁成多少块？

分析：

７分米５厘米＝75厘米，６分米＝60厘米，因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数，它们的公约数有１、３、５、15，所以有４种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也要最大，最大为15。

所以可以裁：

（75÷15）×（60÷15）＝15（块）或（75×60）÷（15×15）=20（块）

答:

有4种裁法,可以裁20块.

【巩固练习】：

将一块长80厘米,宽60厘米的长方形土地分成面积相等的小正方形。

问：

小正方形的面积最大是多少?

例2:

一个数除200余4,除300余6,除500余10.求这个数最大是多少?

分析:

一个数除200余4可以转化为196（200-4）能被这个数整除,另两个条件可以转化为294和490都能被这个数整除,求这个数最大是多少,也就是求196,294,490的最大公约数是多少。

（196,294,490）=98

答:

这个数最大是98。

【巩固练习】：

如果把110块糖平均分给五

（1）班，则多5块，如果把210块平均分给这个班，则正好分完，如果把240块糖平均分给这个班，则少5块，五

（1）放最多有多少名同学？

例3：

把长132厘米，宽60厘米，高36厘米的木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体的棱长和锯成的块数。

分析：

锯成的正方体的棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。

（132，60，36）=12所以正方体的棱长是12厘米。

正方体的块数为：

（132÷12）×（60÷12）×（36÷12）=165（块）请思考用其它方法

【巩固练习】：

一个长方体木块的长是4分米5厘米，宽3分米6厘米，高2分米4厘米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切的正方体的棱长最长是多少？

可以切成多少块？

例4：

一条道路由甲村经乙村到丙村。

甲、乙两村相距450米，乙、丙两村相距630米。

现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且甲、乙两村的中点和乙两两村的中间都要栽上树，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

分析：

由于甲、乙两村的中点和乙丙两村的中点都要种上树，也就是相当于要把450÷2=225米处和630÷2=315米处要种上树，也就是把225米和315平均分成若干段，而且距离最大，即求225和315的最大公约数。

（225，315）=45

答：

相邻两棵树之间的距离是45米。

我也能行

1、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？

2、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？

3、有一个自然数a，它符合下面的条件，a能整除112，a除38余2，102减去2也能被a整除，求a最大是多少？

4、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？

每份礼物中3种水果各有多少个？

5、在长60米，宽54米的长方形的花圃的各边上以最大且相等的距离种桃树，每两棵桃树之间5棵月季花，共种月季花多少棵？

6、36支铅笔，40个本子，平均奖给几位优秀学生，结果多出1支铅笔，差2个作业本，问有几位优秀学生？

7、一条公路由A地经B地到C地，已知AB两地之间相距600米，BC两地之间相距780米，现在路边种树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在B地以及AB、BC的中点上都要种一棵，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

思考：

甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求甲、乙两数。

提示：

甲、乙两数是16的倍数，设甲数÷16=a，乙数÷16=b。

可知，a与b是互质的……甲×乙=16a×16b

五年级奥数集训专题讲座（六）——最小公倍数

主讲：

谭发佳

回忆：

1、什么叫公倍数及最小公倍数？

2、自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×b。

3、两个数的最大公约数×最小公倍数=两数的乘积

例1：

一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米，要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

分析：

把若干个长方体堆成正方体，它的棱长是长方体长、宽、高的公倍数，现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长方体长、宽、高的最小公倍数。

要多少块砖，即用正方休的体积除以长方体的体积。

[20，12，6]=6060×60×60÷（20×12×6）=150（块）

答：

至少需要这样的砖头150块。

【巩固练习】：

用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

例2：

甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析：

甲跑一圈需要600÷3=200（秒）乙跑一圈需要600÷4=150（秒）丙跑一圈需要

600÷2=300（秒）。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

【巩固练习】：

一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？

例3：

有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？

分析：

条件转化一下：

把这个数增加3，就恰好可以被10、7、4整除，即10、7、4的最小公倍数，然后减去3就能得到这个所求的数了！

[10、7、4]=140140－3=137答：

这个数最小是137。

【巩固练习】：

学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人，六年级最少有多少人？

例4：

从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

分析：

从学校到少年宫的这一段路长50×（37－1）=1800（米）从路的一端开始，是50和60的公倍数处的电线杆不必移动。

它们的最小公倍数是300，所以从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。

1800÷300=6（根）去除最后一根，就有5根。

[50、60]=30050×（37-1）×300-1=5（根）答：

中途有5根不必移动。

我也能行