数列与不等式证明方法归纳练习版.docx
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数列与不等式证明方法归纳练习版
数列与不等式证明方法归纳
共归纳了五大类,16种放缩技巧,28道典型练习题,供日后学习使用。
一、数列求和
(1)放缩成等比数列再求和
(2)放缩成差比数列再错位相减求和
(3)放缩成可裂项相消再求和
(4)数列和比大小可比较单项
二、公式、定理
(1)利用均值不等式
(2)利用二项式定理
(3)利用不动点定理
(4)利用二次函数性质
三、累加、累乘
(1)累加法
(2)利用类等比数列累乘
四、证明不等式常用方法
1)反证法
(2)数学归纳法及利用数学归纳法结论
五、其它方法
(1)构造新数列
(2)看到“指数的指数”取对数
(3)将递推等式化为递推不等式
(4)符号不同分项放缩
、数列求和
(1)放缩成等比数列再求和
[典例1]已知数列an,an
22*
0,ai0,ania.i1an(nN)。
(I)求证:
当nN*时:
ana.i;
22a
[典例2]已知数列an满足ai,a.i'nN
53an
(I)求丄的通项公式;
an
(n)设an的前n项和为Sn,求证:
Sn
1*
[典例3]设数列an满足ai1,a*ian(nN)。
an
(I)证明:
2n1an、3n2(nN*);
(n)求正整数m,使a20i7m最小。
(2)放缩成差比数列再错位相减求和
n*
an
[典例1]已知数列an满足:
ai1,ani(1—)an(nN),求证:
a.i
[典例2]已知数列an与其前n项和Sn满足一」(1(a2)。
an1a1Sn
(I)求数列
an的通项公式;
(n)证明:
nk*
3(nN)。
kiak1
(3)放缩成可裂项相消再求和
n*
[典例1]已知an21(nN)。
求证:
a
a2
a2
a3
an
an1
1(n
[典例2]已知数列
an
满足a12,an12(Snn1)(nN)。
(I)求证:
an
1
是等比数列;
(n)求证:
1
1
11
11
。
ai
a2
a3an
16
[典例3]设Mn是数列an前n项之积,满足Mnan1,nN
(I)求数列an的通项公式;
——22
2,、
5
1
n)设SnM1M2
Mn,求证:
Snan1
12
3
(4)数列和比大小可比较单项
22a
[典例1]已知数列an满足ai,a.iJ,nN
53an
(I)求丄的通项公式;
an
(n)设an的前n项和为Sn,求证:
Sn
2
[典例2]已知nN,圆Cn:
x2y2R(Rn0)与y轴正半轴的焦点为P,与曲线
厂1*
yx的交点为Q(-,yn),直线PQ与x轴的交点为A(an,0)。
对nN,证明:
n
(I)anan12;
(n)若Snnai,Tnn1,则7-。
i1i1i5Tn2
、公式、定理
(1)利用均值不等式
[典例]数列an定义如下:
印2,an,
2
anan1。
证明:
(I)an1an;
(n)
an11
a1a2an;
1
11
1
(川)
1—
1。
n
a〔a2
an
(2)利用二项式定理
[典例]已知数列an满足:
ai1,2an3a.1点(n2)。
2
(I)求数列an的通项公式;
(3)利用不动点定理求数列通项
[典例
16x
1]已知函数f(x)
4x
7
4,数列可
bn满足
a10,b10,an1f(an),
bn1
f(bn),nN*。
(I)
求a1的取值范围,使对任意的正整数n,
都有an1
an;
(n)
若a13,bi4,求证:
0bnan
1
8n1,n
*
N
[典例2]已知函数f(x),数列an满足ai1,an1f(an),nN
4x15
(I)求f(x)x
0的实数解;
(n)是否存在实数
c,使得a2nca2n1对所有的nN*都成立?
证明你的结论;
(川)设数列an的前n项和为Sn,证明:
-Sn1o
4n
(4)利用二次函数性质
[典例]在正项数列an中,ait(t
0),a2-,Sn为an的前n项和,且
3
2
4SnSii3SniSn(n2)
(I)比较a2016与3a2017的大小;
2
an1
、累加、累乘
1)累加法
[典例1]已知数列
an,an
0,
2
a10,an1
an1
2*
1an2(nN*)。
(I)求证:
当n
N*时:
an
an1;
(n)记Sna1
a2
an,
求证:
Snn
2(n
*
N*)。
[典例2]已知f(x)X2
X,数列an的首项ai
1
an1
2
f(an)。
(I)求证:
an1an;
12*
[典例3]已知数列an满足a1=且an1=an-an(nN)
2
(I)证明:
1-2(nN*);
an1
(n)设数列
的前n项和为Sn,证明
1
2(n2)
Sn
1
2(n1)
(2)利用类等比数列累乘
2
求证:
[典例1]设2a3,给定数列an,其中印a,an1邑,nN
2(an1)
[典例2]已知数列an满足:
aia
0,1,且0an1
an2an3,设bn
(anan1)an1。
(i)比较a1a2和亠的大小;
ai
(n)求证:
也dan1;
■a1a2an
2
(川)设Tn为数列bn的前n项和,求证:
Tn—
[典例3]已知函数f(X)X3X2,数列Xn(Xn>0)的第一项X.=1,以后各项按如下方式取定:
曲线yf(x)在(Xn1,f(Xn!
))处的切线与经过(0,0)和(Xn,f(Xn))两点的直
线平行(如图)求证:
当nN*时,
2
(I)XnXn
3x;
12Xn
(2)
Xn
(2)n
3*1
[典例4]设数列an满足印0,an1n1*
(I)an1(3C)(nN);
Can1C,nN,其中0C3。
证明
/、22
(n)aia2
2
13c
四、证明不等式常用方法
(1)反证法
[典例]设a
2,给定数列
an
,其中ai
a,an1
2
2(an1),nN。
求证:
([)an
an12,n
(n)如果
a3,那么当
.a
lg3
」3时,必有an1
lg4
a3
(2)数学归纳法及利用数学归纳法结论
[典例]设数列an满足ai3,a*i
2*
a*nan1(nN),证明对nN
(i)ann2;
1111
(n)
1a-i1a21an2
五、其它方法
(1)构造新数列
[典例]设数列
、卄2
an满足anian
(I)当
0
ai1时,
0an
1
(□)当
ai
1时,an
(q
1)q
(川)当
ai
I评
时,n
2n
Sn
n
i
;
an1(nN),Sn为an的前n项和。
证明:
对nN,
(2)看到“指数的指数”取对数
[典例]已知数列an满足:
ai-,an1
2
2*2n1112n
anan(nN)。
证明:
2an3
22
(3)将递推等式化为递推不等式
[典例]已知数列an满足:
1
a1,an1
2
2
20163"(0N)。
(I)求证:
an1an;
(n)求证:
a20171;
(川)若an
1,求正整数
k的最小值。
(4)符号不同分项放缩
[典例]已知数列
an中的相邻两项
a2k1,a2k是关于x的方程x2
kk
(3k2)x3kg2
的两个根,且a2kiwa2k(k1,2,3,L).
(i)求数列an的前2n项和S2n;
(n)记f(n)
1
sinn
-3,Tn
(1严
(1)f(3)
(1)f(4).
(1)f(n1)
2
sinn
a〔a2
a3a4
a2n1a2n
1十
5,
*
).
证••十Tn<
三(n
N
6
24
,求
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部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 不等式 证明 方法 归纳 练习