离散数学课后习题答案第三章.docx
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离散数学课后习题答案第三章
Askhll■■■_■=解乙乙乙乙乙乙
3-51列出所冇从X={a.b.c>到Y={$}的关系.
3-5.26个仃Q个兀我”1,1.d以有姜少神不同的关系・
解IM为4X中的任创二兀关系ffiUiXXX的f«J.iftiXXXkX2i» 3-5.3设A={6: 00.6: 30,7: 30.9: 30,10: 30}衣不住晚I毎隔半小时的九个时刻的錬.•JB={3.12.15.17}农小本地卩U个电視频道的94合,设R.和R一-从A到B的朗? •儿决系.“r二无JQlfiR|.&・RiUIL・RiCR: . Ri❸d和RiRc暉分别得出怎样的解n. 解: AXB&示在吹上九个时剜和脚个电视城道所细成的电视节II衣. 艮和&分别址AXB“勺曲个广W・例如R丧朮传乐評日播出的时刮衣.&足仪前\$11的斥由时何冀・H'JR,U&衣小幵如成戏曲仃口的插川时何衣.R4&祝示弄乐和戏仙・起描I”的时的左・农爪汗乐\和|衣以及戏曲节H衣.伸不兄幵乐和戏曲起的"II农•Ri-fc衣示不圮战曲时阿的音乐节日时间瓷. 3-5.4设L农小关系-小J或等J“・D讥皿吋幽粽“关娠JLfllD刀的定义J-«1・2,3.6}.分別马出LBID的所有元*并求HILOD解: L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>. <3.6>,<14>.<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={ LHD= {<1,2>,<1.3>,<1.6>,<2.6>,<3.6>,<1.1>,<2.2>,<33>.<«-6>} 3-5.5对卜列毎•式.f^lllAI.的二尤关系.试给出关系图: >){ A={1,23,4}: b)( 111A=MneNAn^lO} c)< d)(<5ty>|x.y足".喷的}.这T. A={2・3・4・5.6} Wz a)R={<0,0>,<0,l>,<0^>,<03>, <1gVIAv1,3>, <2.0>,<2,1>,<2A<2.3>,<3.0>,<3,l>,<34>.<3J>J b)R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3.0>,<33>,<3.«>・ <4.0>,<4,4>, <5.0>,<5,5>, <7.0>,<7,7>} 3-6.1分析集介A={1・2.3}I.的卜述五个关筑, (1) R={<1.1>.<1. 2>・ <1. 3>. <3,3>}: (2) S-{<1・1、>・V 2、・ v2・ 1>. V2・2>,<3.3>}s (3) T={V1・1>・Vl・ 2>・ <2. 2>. V2・3>}: ⑷ 0=空Xi/R, (5) AXA二个MiXifU 刿斯a中的r: 述黄系址否为皿反的.b)对称的.C)珂传通的.d>反对你的. W(1>R圧可传递和反对称的. (2)SftfIJK•对称和町传递的. (3)T於反对称的. ⑷空关第足对称.町传递和反対称的. (5)个域关廉兄门反•对你和町便H的・ 3-6.2给定疋{1・2.3.4}.巧氓。 卜.的关系R.nR={ a)住AxA的坐杯E-亡出 它的关Jfiffi: b>x■/)自反的in对称的ihx传 递的.iv)反对称的叫? R足町传it的的和反对称的Ml不足门反的和对称的. 3-6.3举出A=U・2・3}匕关系R的例。 ttHH/fb述性帧• a)既足对你的・乂足反对称的: b)R既不是对称的.乂不尺反时称Ml c)Rftuf传递的. a)R={<1.1>.<2・2>.<3・3>} b)R={<1.2>.<2.l>・V2・3>} c)R={<1・2A・V2・1>・Vl・1>•<2.2>・VS・SA} 3-6.4如果关集R和S址Fl反的.対你的和町传递的.证期RHS也於门反.对祢和叩传递的. 证明IQR和S兄X卜的门反的.对称的和町传通的关系. 1)对任ttxex.有V.・x>eRIx«xAWS・所以Vjc.xA匕RiS.即RCS住X上足门反的・ 2|甘任.色的y^GRAS・gy・y>GRA 足时称的. 3)对任意的Vjc・y>eRnSA 3-6.5给定S={1・2・S・4}和S上: Xi系$R=(<1.2>.<1.3>.<2.2>•<2.1>.<3.1>} ift«R•1建的・找出关系RqR・ 使紂艮兄町传递的.还能找出另个 3-7.1设&和JLttA卜的任倉关艇・说明以下命題的贞賈并予以证明. a>若It和&足门反的.则Jtoft也足自反的: b>若R-4UR.M反自反的.则R.O1LIU足反门反的= c>K1L4II&足对陈的・则lto&也址对称的* a>nkinit.足传说的.则儿。 &也足传递的. 讦明a)对ffj&aeA.设民和R,兄门反的.則V.a>€! L・V.a>€Ra所以.V.a>€! LoR3・11|JRoR.也足自反的. b〉假-例iflhI: A=•: a.b}・^! G={ 仏和R,足反门反的•fllJUogVa.a>}.所以RioRaALA上不址反门反的・ MtahiftA={a.b・c}・/fRk={ 所以.R.oR.不兄对称的. d)假.例(ahaA={a・b・u}・HRi={ 足他迪的.ft! Re2•: €>• 3-7.2if明若S为集介X止的二元关帝| "S足传通的.FII仅 b>s足n反的.当ii仅半i^s;c>iiE«n5^3-7.3(b)(BPS足反对喃黎歸叫4仅寺sas-cip. 证明"设S为传递的.« AWS・R nstt传谨的・Vx.s>es.所以 反上.设(SoS>US・v> esIIjy・S-'«S.则s>eSoS.IN为 b)设5兄「|反的・令Vhy>€l.・W1x=y.(HVjc・x> 反之.令IxCS・设任憊kWX・ c)对称的.锻止Vx・7>esns*.则 IM为S兄反对林的•Atx-y. 所以Vmy>- 反之.若sns-clw.« Vjc・y>WS\Vx・y>3S* qVm.y>esns* =V=・y>€lx ittx=y.即S足反对称的. 3-7.3设S为X上的关糸.ifMfJK-S足门反和传il的.則SoS=S・其18为典叫? 证朗ns«x卜传通关系•由列題3-7.2a>可知(SoS)uS・ 令<翼・y>CS.HilKH反11・必冇Vsc.jc>WS・快I此有Vjc・yAWSoS. IIPSgSoS.御到S=SoS. i•理的進不<.«fiUX=: l・=・S)・S={<1.2>・V2・2>・Vl・1>}- 3-61WWW3-8l中的有向国.«: «»•»和庆系R・并求IHR的门反朗包相对称RJ包解 R«{ r•R>«RuIx«{ 4'R'・Ri」R'・i<氛•>.<•.b>. 3-S2(介44・b・g<1}A上的关系 R={<«.b>・ ■)用坏Pt运辉和带懈方法求出R的门反・対称、传螺御包: b)WWarshallW法.求IIIRM传遽闭包. Vfa> 0100 v,=1010 QQQ| 0000 3-9.1I个元素的条介井有多少不同的划分. 解整效: 可划分为: 4.H3.1-1-2.2*2.1-H1-1. i*c.s 3-9.2设认.九.・・・•人)是荽合A的一个划分.我们定义A上的一个二元关系R.使Va.1>WR半且仅十•和b在这个划分的同一块中.证明R是门反的.对称的.和传通的。 证明设对任&a€A.则必”在从使aSAc・冈■与r必可看作在同…块中•故右<亠・>€Ro即R是自反的. 设a,b€A.若W 对任总a,b,c€A. n(3i)(aSA.AbSA: )AOj)(bSAjAcSA;) n(Si)(3j>(aSAxAcSAjAbe^nA;) n(3i)(3j>(aCAtAcCAjAAHAj^O) n(Hi)Oj)(aS^AcCAjAi^)(Vi^jo^nA^O)n“c在同一块 nG.c>WR •・・R传逋 3-10.1Hill和R'是第令AI的尊侑兀抚・用何子说朝$RUR'不一定足零价夫駅・ilF刖W4H・2.S}・S^RUR* R=fVl・l>・V2・2>・<3.S>・VS・X>・Vl・3>} R‘={<1.1>.<2.Z>・VS・S>・VS・2>・<2.3>} WlRUR*=«1.丄〉.V2・2>・V3・S>・VS・)>・Vl・S>・<3.2>.<2-3>}闪为4lJ<2.3>«SA<3.1>«S.l>eS.曲RUR'BPRUR'不总 3-10.2uCMill彳个上所仃3价人航的个®(为上少? W冈为・exI的尊价X;抵9X的划分址・■対W的.所以I个AJ 的C(n・94个元iK■介堰厅划分的散II址州冋的・山习IS3-91可旬共肖XS个不问的尊价"• 3-: 0.3ttmmftS=: 1・亠3.I.5}.找H1S卜的竽价决垠R・此关彖R能产牛划分{{】・2》・(3).{4・5)}.井賀岀关系禺・ W我们町用如F方法产牛•个零价夫象: R产U・2)X(1・2}=(<1-1>・VI.2>・V2・1>・V2・2>} ! G=(3}X(3}={<3.3>} Ri=“・5)X(I・5}«(<4.4>・V4・5>.<5.4>・VS・5>} R«R>umURa«< >・V2・1>・V2・2>.<3.3>.V4・i>.V4・S>.<5.4>.<5.5>) K«MCui|lH・ 3-10.4设R址•个「兀X<1・S={ UE>MJIQR址丄I的为价又駅・ <1>対任一x・A・火为R仗▲上门反.所以V*x>«R.IllS>i£义.Vat.x>«S. 册以SJt门反的• <2)对任*z.y«A.V<«.y>«5.WK/fl-M个c・ftW •累.因为R址对称.故#h <3)对任«x.y.z«A.« ci>«R.Vg・y>«R.由R的传1®件.町知<次・y>«R.问理仔在g・使Vy・c: -€R二: .二"・R・由R传遥.对为|Vy・s>«R・WillS——•r wrd町编紺二〉・s・故S足传堰的. 3-10.5的A・"AI/CX«! l*JFl< “竹1仪-Ixvsyu・ill^JRIt•个驾价斤星・ 证明: 设A上定义的二元关系R为: < 1对任总Vx,y>WA・因为;壬•所以 < 即R是自反的。 2设 < yvvy 即R是对称的. 3 设任总Vx,y>GA.GA. =>< 故R是传递的.于是R是A上的等价关系。 3-10.6设R是集合A上的对称和传递关系.证明如果对于A中的每一个元素■,在A中同时也存在b,使 证明: 对任总aGA,必存在一个bWA.使得Va,b>GR. 因为R是传递的和对称的.故有: 所以RZEA上是口反的.即R是A上的等价关系。 3-10,7设他和R: 是非空集合A上的等价关系.试确定下述各式.哪叫是A上的等价关系•对不是的式子.提供反例证明• a)(AXA)-R: : b) b)R/t c)r(RrR.)(即RrR: 的自反闭包〉• 解a)(AXA)■&不是A上等价关系•例如: A={a,b).R产} AXA={ (AXA)-Ri={ 所以(AXA)・R: 不是A上等价关系• b〉设A={a.btc} R: R: b>.» 所以&和R: 足A上等价关系.但R-R: 不是A上等价关系. c)若R】是A上等价关系.則 =>WR: ORi 所以Rf是A上自反的. 若Va.b>WRf则存在c,使得Va.c>GR】/\Vc,b>因Rl对称.故冇 6RxA 即R】: 是对称的。 若V餌b>WRMVb,c>GR;\则有 =>(3eJ(€R1A<«i,b>GR.)A(3e-)(€R1A ) => AGR;(VR: 传递) => 即Rf是传递的・ 故Rf是A上的等价关系. d)如b)所设.&和&是A上的等价关系,但 r(RrR: )=(RrR: )UL 不是A上的等价关系。 3-10.8设C•是实数部分非零的全体复数组成的集合.C•卜•的关系R定义为: (屮bi)R(c+di)oac>0,证明R是等价关系.并给出关系R的等价类的几何说明. 证明: ⑴对任总非零实数a.^a: >Oo>(a*bi)R(a^bi) 故R在C•上是自反的。 (2)对任意(a*bi)R(c+di)obc>0・ Wca=ac/(ko(c+di)R(a*bi),所以R在C•上是对称的。 (3)设(a十bi)R(c・di)•(c+di)R(u*vi)•则有ac>OAcu>0 若c>0>则a>0Au>(hoau>0 若c<0・则b<0au<0=>au>0 所以(a+bi)R(u+vi),即R在C•上是传递的. 关系R的等价类.就是复数半面上第一、四鉄限上的点,或第二.三纹限上的点•因为在这两种情况下.任总两个点(a,b),(c,d)・其横坐标乘积ac>0. 3-10.9i殳ri和IV是非空集合A上的划分.并设R和R'分别为由n和rr诱导的等价关系.那么rr细分n的充骐条件是RyR・ 证明: 若rr细分口・由假设叽则在ru中有某个块s’,便得afbes\因rr细分门,故在门中.必有某个块s.便sus,即atbeS.干是有aRb■即R'uRo 反之.若RyR・令S•为H'的一个分块.fia€S\MSNa]讦gxR'a} 但对毎一个x.IVxR*arRrCR•故xRau闵此{xxRra}c{xxRa}W[a]rc[a]R设S二[ah,则SrCS这就证明了rr细分n. 3-10.io设&是表示i上的蟆j等价关系,&是表示I上的模k等价关系.证明I/&细分I/RJ3且仅为k是j的整数倍。 证明: 山題设R;={ R-={ 故 a)假设T/広细分I/R”则尽U&因此<人0>€比=><匕0>eR; 故k-o=ik=cj(对某个cel) 于足k是j的整敌倍。 b)若对于某个rGEUk=rj则: => 因此.ZR"于是[/良细分I/Rj
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- 离散数学 课后 习题 答案 第三