精编八年级因式分解难题附答案及解析.docx
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精编八年级因式分解难题附答案及解析
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
一.填空题(共10小题)
1.已知x+y=10,xy=16,则xy+xy的值为
2
2
.
2.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分
解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),
请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
.
2
3.若多项式x+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是
.
2
4.分解因式:
4x﹣4x﹣3=
.
2
2
5.利用因式分解计算:
202+202×196+98=
.
2
2
2
6.△ABC三边a,b,c满足a+b+c=ab+bc+ca,则△ABC的形状是
.
2
2
2
2
2
2
2
2
7.计算:
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+101=
.
8.定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是
(填上你认为正确的所有结论的序号).
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9.如果1+a+a+a=0,代数式a+a+a+a+a+a+a+a=
.
2
2
10.若多项式x﹣6x﹣b可化为(x+a)﹣1,则b的值是
.
二.解答题(共20小题)
2
2
11.已知n为整数,试说明(n+7)﹣(n﹣3)的值一定能被20整除.
2
12.因式分解:
4xy﹣4xy+y.
13.因式分解
第1页(共31页)
3
(1)a﹣ab2
2
(2)(x﹣y)+4xy.
14.先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m
2
+2mn+2n﹣6n+9=0,求m和n的值.
2
2
2
解:
∵m+2mn+2n﹣6n+9=0
2
2
2
∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0
2
2
∴(m+n)+(n﹣3)=0
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题:
2
2
y
(1)若x+2y﹣2xy+4y+4=0,求x的值.
2
2
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a+b﹣6a﹣6b+18+|3
﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?
15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和
2
2
2
2
2
2
谐数”.如4=2﹣0,12=4﹣2,20=6﹣4,因此4,12,20这三个数都是和
谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数
构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为
.
16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及
边长为b的大正方形③的纸片.
第2页(共31页)
(1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们
拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将
2
2
多项式a+3ab+2b分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,
求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,
把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)
可以拼成多少种边长不同的正方形.
,求
17.
(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片
拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:
.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
2
2
②请你用拼图等方法推出2a+5ab+2b因式分解的结果,画出你的拼图.
18.已知a+b=1,ab=﹣1,设s=a+b,s=a2
+b
2
,s3=a3+b,⋯,sn=an+b
3
n
1
2
第3页(共31页)
(1)计算s;
2
(2)请阅读下面计算s的过程:
3
因为a+b=1,ab=﹣1,
3
3
2
2
所以s=a+b=(a+b)(a+b)﹣ab(a+b)=1×s﹣(﹣1)=s+1=
3
2
2
你读懂了吗?
请你先填空完成
(2)中s的计算结果,再用你学到的方法计算
3
s4.
(3)试写出s,s,s三者之间的关系式;
n﹣2
n﹣1
n
(4)根据(3)得出的结论,计算s.
6
19.
(1)利用因式分解简算:
9.82+0.4×9.8+0.04
2
(2)分解因式:
4a(a﹣1)﹣(1﹣a)
2
2
20.阅读材料:
若m﹣2mn+2n﹣8n+16=0,求m、n的值.
2
2
2
2
2
解:
∵m﹣2mn+2n﹣8n+16=0,∴(m﹣2mn+n)+(n﹣8n+16)=0
2
2
2
2
∴(m﹣n)+(n﹣4)=0,∴(m﹣n)=0,(n﹣4)=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
2
2
(1)已知x+2xy+2y+2y+1=0,求x﹣y的值.
2
2
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a+b﹣6a﹣8b+25=0,
求△ABC的最大边c的值.
(3)已知a﹣b=4,ab+c
2
﹣6c+13=0,则a﹣b+c=
.
21.仔细阅读下面例题,解答问题:
2
例题:
已知二次三项式x﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m
的值.
第4页(共31页)
2
2
2
解:
设另一个因式为(x+n),得x﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x﹣4x+m=x+(n+3)
x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n
解得:
n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.
问题:
2
(1)若二次三项式x﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a=
;
2
(2)若二次三项式2x+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b=
;
2
2x+5x﹣k有一个因式是
(3)仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式
(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.
22.分解因式:
2
(1)2x﹣x;
(2)16x﹣1;
2
2
2
3
(3)6xy﹣9xy﹣y;
2
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y).
2
2
2
2
23.已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)=3(a+b+c),试确定
三角形的形状.
24.分解因式
(1)2x﹣4xy+2y4
4
22
3
2
2
(2)2a﹣4ab+2ab.
25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四
块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为;
(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)、(m﹣n)、mn之间的等量关
2
2
系是
.
第5页(共31页)
2
(3)若x+y=7,xy=10,则(x﹣y)=
.
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③,它表示了
.
2
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m+4mn+3n
2
.
2
26.已知a、b、c满足a﹣b=8,ab+c+16=0,求2a+b+c的值.
27.已知:
一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足
a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,
求:
这个长方体的体积.
2
2
2
28.(x﹣4x)﹣2(x﹣4x)﹣15.
29.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
2
=(1+x)(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是
,共应用了
次.
2
2004
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)+⋯+x(x+1),则需应用上述方法
次,
结果是
.
2
n
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)+⋯+x(x+1)(n为正整数).
30.对于多项式x﹣5x+x+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多项式x3
3
2
﹣5x
2
+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注:
把x=a代入多项
第6页(共31页)
式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式
3
2
2
写成:
x﹣5x+x+10=(x﹣2)(x+mx+n),
(1)求式子中m、n的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式
﹣10的因式.
x﹣2x﹣13x
32
第7页(共31页)
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
参考答案与试题解析
一.填空题(共10小题)
2
1.(2016秋?
望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则xy+xy2
的值为160.
【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【解答】解:
∵x+y=10,xy=16,
2
2
∴xy+xy=xy(x+y)=10×16=160.
故答案为:
160.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
2.(2016秋?
新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因
看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分
解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
﹣3).
2(x
2
【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;
将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,再对该
多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.
2
【解答】解:
∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x﹣20x+18;
2
2(x﹣2)(x﹣4)=2x﹣12x+16;
2
∴原多项式为2x﹣12x+18.
2
2
2
2x﹣12x+18=2(x﹣6x+9)=2(x﹣3).
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,
看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次
第8页(共31页)
项正确.
3.(2015春?
昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则
m的值是±4.
2
2
2
2
【分析】利用完全平方公式(a+b)=(a﹣b)+4ab、(a﹣b)=(a+b)﹣4ab
计算即可.
2
2
【解答】解:
∵x+mx+4=(x±2),
2
2
即x+mx+4=x±4x+4,
∴m=±4.
故答案为:
±4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式
是解题关键.
2
4.(2015秋?
利川市期末)分解因式:
4x﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).
2
【分析】ax+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项
系数a分解成两个因数a
12
,a
的积a?
a
12
,把常数项c分解成两个因数c,c
12
2
的积c?
c,并使ac+ac正好是一次项b,那么可以直接写成结果:
ax+bx+c=
1
2
12
21
(a
x+c)(ax+c),进而得出答案.
1122
2
【解答】解:
4x﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).
故答案为:
(2x﹣3)(2x+1).
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键.
5.(2015春?
东阳市期末)利用因式分解计算:
2022+202×196+982=90000.
【分析】通过观察,显然符合完全平方公式.
2
【解答】解:
原式=202+2x202x98+982
第9页(共31页)
=(202+98)2
=3002
=90000.
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.
2
2
2
6.(2015秋?
浮梁县校级期末)△ABC三边a,b,c满足a+b+c=ab+bc+ca,
则△ABC的形状是等边三角形.
2
【分析】分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得(a﹣b)+(a
2
2
﹣c)+(b﹣c)=0,得出:
a=b=c,即选出答案.
2
2
2
【解答】解:
等式a+b+c=ab+bc+ac等号两边均乘以2得:
2
2
2
2a+2b+2c=2ab+2bc+2ac,
2
2
2
2
2
2
即a﹣2ab+b+a﹣2ac+c+b﹣2bc+c=0,
即(a﹣b)+(a﹣c)+(b﹣c)
2
2
2
=0,
解得:
a=b=c,
所以,△ABC是等边三角形.
故答案为:
等边三角形.
【点评】此题考查了因式分解的应用;利用等边三角形的判定,化简式子得
a=b=c,由三边相等判定△ABC是等边三角形.
2
2
2
2
2
2
2
2
7.(2015秋?
鄂托克旗校级期末)计算:
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+101=
5151.
【分析】通过观察,原式变为1+(3﹣2)+(5﹣4)+(101﹣100),进一
222222
步运用高斯求和公式即可解决.
【解答】解:
1﹣2+3﹣4+5﹣6+⋯﹣100+1012
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=1+(3﹣2)+(5﹣4)+(101﹣100)
第10页(共31页)
=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+⋯+(101+100)
=(1+101)×101÷2
=5151.
故答案为:
5151.
【点评】此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题.
8.(2015秋?
乐至县期末)定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运
算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是
③④(填上你认为正确的所有结论的序号).
【分析】根据题中的新定义计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2,本选项错误;
②a★b=(1﹣a)b,b★a=(1﹣b)a,故a★b不一定等于b★a,本选项错误;
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a+b﹣b=﹣a2
2
2
2
2
﹣b=﹣2a=2ab,本选项正确;
④若a★b=0,即(1﹣a)b=0,则a=1或b=0,本选项正确,
其中正确的有③④.
故答案为③④.
【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,弄清题中的新
定义是解本题的关键.
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9.(2015春?
张掖校级期末)如果1+a+a+a=0,代数式a+a+a+a+a+a+a+a=
第11页(共31页)
0.
【分析】4项为一组,分成2组,再进一步分解因式求得答案即可.
【解答】解:
∵1+a+a+a
23
=0,
∴a+a+a+a
234
5678
+a+a+a+a,
2
3
5
2
3
=a(1+a+a+a)+a(1+a+a+a),
=0+0,
=0.
故答案是:
0.
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题.
2
2
10.(2015春?
昆山市期末)若多项式x﹣6x﹣b可化为(x+a)﹣1,则b的
值是﹣8.
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.
2
2
2
【解答】解:
∵x﹣6x﹣b=(x﹣3)﹣9﹣b=(x+a)﹣1,
∴a=﹣3,﹣9﹣b=﹣1,
解得:
a=﹣3,b=﹣8.
故答案为:
﹣8.
【点评】此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键.
二.解答题(共20小题)
2
2
11.已知n为整数,试说明(n+7)﹣(n﹣3)的值一定能被20整除.
【分析】用平方差公式展开(n+7)﹣(n﹣3),看因式中有没有20即可.
2
2
【解答】解:
(n+7)
2
﹣(n﹣3)
2
=(n+7+n﹣3)(n+7﹣n+3)=20(n+2),
2
2
∴(n+7)﹣(n﹣3)的值一定能被20整除.
2
2
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式:
a﹣b=(a+b)(a﹣b).
第12页(共31页)
2
12.(2016秋?
农安县校级期末)因式分解:
4xy﹣4xy+y.
【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
4x
2
y﹣4xy+y
2
=y(4x﹣4x+1)
2
=y(2x﹣1).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因
式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,
直到不能分解为止.
13.(2015秋?
成都校级期末)因式分解
(1)a﹣ab2
3
(2)(x﹣y)+4xy.
2
【分析】
(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用完全平方公式分解即可.
2
2
【解答】解:
(1)原式=a(a﹣b)=a(a+b)(a﹣b);
2
2
2
2
2
(2)原式=x﹣2xy+y+4xy=x+2xy+y=(x+y).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键.
14.(2015春?
甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m
2
2
+2mn+2n﹣6n+9=0,求m和n的值.
22
解:
∵m+2mn+2n﹣6n+9=0
2
2
2
∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0
2
2
∴(m+n)+(n﹣3)=0
第13页(共31页)
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题:
(1)若x+2y﹣2xy+4y+4=0,求x的值.
22y
2
2
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a+b﹣6a﹣6b+18+|3
﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?
2
2
2
2
【分析】
(1)首先把x+2y﹣2xy+4y+4=0,配方得到(x﹣y)+(y+2)=0,
再根据非负数的性质得到x=y=﹣2,代入求得数值即可;
2
2
2
2
(2)先把a+b﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,配方得到(a﹣3)+(b﹣3)+|3﹣
c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.
2
2
【解答】解:
(1)∵x+2y﹣2xy+4y+4=0
2
2
2
∴x+y﹣2xy+y+4y+4=0,
∴(x﹣y)+(y+2)
22
=0
∴x=y=﹣2
∴
;
(2)∵a+b﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,
22
2
2
∴a﹣6a+9+b﹣6b+9+|3﹣c|=0,
2
2
∴(a﹣3)+(b﹣3)+|3﹣c|=0
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形.
【点评】此题考查了配方法的应用:
通过配方,把已知条件变形为几个非负数
的和的形式,然后利用非负数的性质得到几个等量关系,建立方程求得数值解
决问题.
15.(2015秋?
太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,
第14页(共31页)
2
2
2
2
2
2
那么称这个正整数为“和谐数”.如4=2﹣0,12=4﹣2,20=6﹣4,因此4,
12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数
构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500.
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【分析】
(1)利用36=10﹣8;2016=505﹣503说明36是“和谐数”,2016
不是“和谐数”;
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(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则“和谐数(2n+2)﹣(2n)
2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2﹣2n)=4(2n+1),然后利用整
除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;
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(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为:
2﹣0=4,最大的为:
502﹣482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.
【解答】解:
(1)36是“和谐数”,2016不是“和谐数”.理由如下:
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36=10﹣8;2016=505﹣503;
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数),
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∵(2k+2)﹣(2k)=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)
=(4k+2)×2
=4(2k+1),
∵4(2k+1)能被4整除,
∴“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,
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S=(2﹣0)+(4﹣2)+(6﹣4)+⋯+(50﹣48)=50=2500.
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故答案是:
2500.
【点评】本题考查了因式分解的应用:
利用因式分解把所求的代数式进行变形,
从而达到使计算简化.
16.(2015春?
兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长
为b宽为a的长方形②以及
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