非线性电路的仿真与分析.docx

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非线性电路的仿真与分析

非线性电路的仿真与分析

摘要：

近20年来，由于计算机技术的高度发展，使得对于混沌的研究成为当今科学研究的前沿，并发展成一门新兴的学科。

本文从理论分析与仿真两个角度分别研究非线性电路中的混沌现象。

简要介绍了混沌及其特征，混沌产生的机理和条件，以及非线性电路分析仿真的算法。

在分析与仿真蔡氏电路的基础上，构造一个变形蔡氏电路模型，对其电路的非线性元件利用分段线性化方法处理，接着利用非线性电路模型的仿真算法──四阶龙格-库塔算法，并用MATLAB编程语言对该非线性微分方程进行分析与仿真该变形蔡氏电路通向混沌的道路。

结果表明该变形蔡氏电路也和蔡氏电路一样，在不同的参数下存在有丰富的分岔和混沌现象，并在特定参数下存在所谓的“双涡卷”混沌吸引子。

关键字：

混沌；四阶龙格-库塔算法；非线性电路模型；MATLAB仿真分析

Abstract:

Inrecent20years,becauseofthedevelopmentofcomputertechnology,chaosresearchhasbecometheadvancedpositionsofscienceresearch,andchaoshasbeenanewacademicsubject.ThechaosphenomenoninnonlinearcircuitisstudiedbyMATLABsimulationandtheoreticalanalysisinthepaper.Thispaperintroducessimplychaosanditscharacteristic,thechaosoutputmechanismandcondition,andthecalculablemethodofanalyticsimulationofnonlinearcircuit.InthefoundationoftheanalysisandsimulationofChua’scircuit,amodifiedChua’scircuitmodelisconstructed.Itsnonlinearcomponentisprocessedusingthewayofthesegmentlining.ThenthesimulatedcalculablemethodoffourthrankRounge-kuttaandthelanguageofMATLABareusedtoanalyzethenonlineardifferentialequationandtosimulatethewayofthismodifiedChua’scircuittothechaos.TheresultisthatthemodifiedChua’scircuitexistsabundantlybifurcationandchaosphenomenonunderthedifferentparameter,andexistsso-called"doublescroll"chaosattractorundertheparticularparameterassoonasChua’sone.

Keywords:

Chaos;CalculablewayoffourthrankRounge-kutta;Nonlinearcircuitmodel;AnalysisofMATLABsimulation.

引言1

一．非线性电路简介3

二．基于VisualC++的非线性电路实验7

（一）电路实验及模拟实验算法分析8

（二）模拟实验算法分析9

（三）实验室结果与模拟结果对比分析11

二．基于蔡氏电路的混沌仿真与分析17

（一）蔡氏电路模型18

（二）蔡氏电路仿真研究23

三．基于Matlab的混沌系统仿真与分析24

（一）混沌系统的Matlab分析25

（二）参数A=0.6时系统的混沌特性分析28

（三）系统的庞加莱截面29

参考文献34

引言

非线性是自然界中普遍存在的自然现象，正视非线性现象才构成了变化莫测的世界。

长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述运动，即确定的运动有一个完美确定的解析解。

但是自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。

1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。

于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。

从此非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。

该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。

混沌通常相应于不规则和非周期性，这是由非线性系统产生的。

绝大多数的电子电路与系统本身是非线性的，但电子工程师仍然把更多的注意力投入到线性的现象和模型研究与应用中，虽然解决了实际中的一些工程问题，但这是以忽略非线性因素为代价的，或者仅仅考虑了弱非线性。

对线性模型的进一步研究，可以发现仅考虑线性特性有很大的局限性，尤其它将阻碍对非线性系统特性的研究，而这种非线性系统的复杂性在信息的传输、编码、存储、安全等方面具有很大的优势。

今天，世界各国有关研究非线性的组织已经意识到开发非线性动力系统的潜力，欧洲、美国、日本的科学家们也正进行一些相关非线性的意义重大的项目研究。

非线性电路中混沌现象的发现也是出于偶然。

1927年，范德坡（VanDerPol）无意中听到氖灯中张弛振荡器的“一种不规则的噪声”，他当时没有认识到这就是混沌现象，反而称之为“次要的险象”。

1978年日本京都大学上田宗亮（YoshisukeUeda）对非线性电感加上正弦电压的电路做仿真实验，发现以杜芬（Duffing）方程描述的非线性电路中有7/3阶超次谐波振荡和随机转变过程。

1980年上田和赤松（N.Akamatsu）对负阻元件与电容并联后通过电阻电感加上正弦电压的电路做仿真实验，发现以范德坡方程描述的非线性电路中的奇异吸引子和拟周期振荡。

1981年麻省理工学院林塞（P.S.Linsay）对变容二极管通过电阻电感加上正弦电压的电路作实验，证实了费根包姆关于周期倍增导致混沌的预言，并验证了费根包姆数。

这是分叉与混沌的第一个实验。

虽然人们对非线性电路实验研究了数十年，但这还是首次发现这样的分频和混沌现象。

1983年美国加州大学伯克利分校的蔡少棠（L.O.Chua）教授设计了一个能够产生复杂混沌现象的最简单的三阶自治电路──蔡氏电路（Chuascircuit），该电路分别被计算机数值模拟和实际电路中首次观察到的混沌现象所确认，并给出了严格的数学证明。

[1]因为蔡氏电路能够展现出最丰富的混沌动力学特性，它成了人们研究混沌机理的范例，[2][3][4][5]而且在它的基础上，不断有人提出新的混沌电路实现方案，[6]为混沌的实际应用打下了基础。

[7][8]1990年，混沌控制方法和混沌同步思想的先后提出，拉开了利用混沌的序幕。

随混沌控制方法和同步技术的发展，大大推进了混沌在保密通信、密码学、自动控制、人工智能、信号分析和处理等方面的应用。

“简单电路是否产生混沌现象”是混沌工程学极富挑战性的课题之一。

混沌学与工程领域相互结合，产生了各种新颖的理论与技术。

例如：

混沌计算机图形学、混沌生物工程学、混沌图象处理技术、混沌控制理论、混沌噪声理论、计算机非线性分析理论与技术（下一代人工智能）等。

混沌的研究对现代科技已经和正在发挥巨大而广泛的作用，涉及到电子、信息、控制等诸多应用领域，电路中混沌的研究和讨论无疑是非常有意义的工作。

非线性电路涉及到非线性微分方程，除少数情况外，非线性微分方程一般都无精确的解析解，因此，常用计算机进行模拟，观察解的表现，以判断是否存在混沌现象。

本文在对三阶蔡氏电路的分析和MATLAB仿真的基础上，构造一个以非线性荷控电容为核心，与“蔡氏电路”具有相同的元件个数、同样紧凑结构的三阶变形蔡氏电路。

采用分段线性化方法和四阶龙格-库塔算法，用MATLAB进行分析与仿真其通向混沌的道路。

二、非线性电路简介

含有除独立电源之外的非线性元件的电路。

电工中常利用某些元器件的非线性。

这里的非线性元件不包括独立电源。

例如，避雷器的非线性特性表现为高电压下电阻值变小，这可用于保护雷电下的电工设备。

非线性元器件在电工中得到广泛应用。

例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这性质被用来保护雷电下的电工设备；铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这性质被用来制造直流电流互感器。

非线性电路的研究和其他学科的非线性问题的研究相互促进。

20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。

非线性元件电路是指由非线性元件构成的电路,如线圈,电容等够成的LR,CR,LC,LCR电路等,这些可构成微分电路或积分电路,这就是非线性电路。

特点

稳态不唯一

　　用刀开关断开直流电路时，由于电弧的非线性使这时的电路出现由不同起始条件决定的两个稳态——一个有电弧，因而电路中有电流；另一个电弧熄灭，因而电路中无电流。

　　线性电路通常只有一个稳态。

但有些非线性电路的稳态可以不止一个。

例如，用刀开关断开某个直流电路，当开关的刀和固定触头之间的距离不够大（例如距离为d）时,刀与触头之间可以出现稳定的电弧，电路中有电流，这是电路的一个稳态；增加上述距离使电弧熄灭后,再使此距离减少到d,却见不到电弧,电路中没有电流，这是另一个稳态。

电弧的非线性特性使这个电路有两个稳态。

电路处于何种稳态由起始条件决定。

自激振荡

　　在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压（或电流）却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。

音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件，可产生其波形接近正弦的周期振荡。

　　在含有直流独立电源的线性电路中，稳态下的电压、电流是不随时间变化的直流电压、直流电流。

但在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压（或电流）却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。

例如，音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路。

这个电路可以产生其波形接近正弦的周期振荡。

自激振荡可以分为两种。

软激励：

电路接通后就能激起振荡。

硬激励：

电路接通后，一般不能激起振荡，电路处于直流稳态。

必须另外加一个幅度较大、作用时间很短的激励，电路里才会激起振荡。

在这样的电路中便有两个稳态：

一个是直流稳态，一个是含周期振荡的稳态。

谐波

　　正弦激励作用于非线性电路且电路有周期响应时，响应的波形一般为非正弦的，含有高次谐波分量或次谐波分量。

例如，整流电路中的电流常会有高次谐波分量。

也可以有频率低于激励频率的次谐波分量。

整流电路中的电流常会有高次谐波分量。

将铁心线圈和合适的电容器串联接到正弦电压源上，构成铁磁谐振电路，其中的电流可含有频率是电源频率1/3的次谐波分量，称1/3次谐波。

跳跃现象

　　非线性电路中，参数（电阻、电感、振幅、频率等）改变到分岔值时响应会突变，出现跳跃现象。

铁磁谐振电路中就会发生电流跳跃现象。

电路的响应与电路的各种参数有关。

电阻、电感、正弦电源的振幅和频率都是参数。

当某个参数有微小变化时，响应一般也有微小变化。

但在非线性电路里，当参数改变到分岔值时，响应会突变，出现跳跃现象。

考虑一个有合适电容值的铁磁谐振电路，以正弦电压源的有效值U作为控制参数。

平滑地、缓慢地改变U时,电流有效值I一般随之平滑地变化，图中两条实线表示这种变化，箭头代表变化方向。

当电压U由0增加时，电流按曲线①变化。

当U达到分岔值U2时,电流会突然增加,以后电流沿曲线②变化。

当U由大于U2的值减少到分岔值U1时,电流会突然减少。

电流跳跃性变化用图中虚线表示。

平滑地改变电源的频率，也可以看到类似的现象。

频率捕捉

　　正弦激励作用于自激振荡电路时，若激励频率与自激振荡频率二者相差很小，响应会与激励同步。

正弦激励作用于自激振荡电路时，看来有两种频率的振荡在电路里起作用，一个是激励的频率，一个是自激振荡频率。

但当二者相差很小时，电路里只存在频率为激励频率的振荡：

响应与激励同步。

这种现象称为频率捕捉。

混沌

20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程，成为研究混沌现象的先声。

　　非线性电路可以出现的一种稳态响应波形，看似无规律可循，类似随机输出。

它的频谱中有连续频谱成分。

响应对起始条件极为敏感。

在两组相差极微小的起始条件下，经过较长的时间以后两个响应的波形差别很大。

这种稳态响应是一种混沌现象。

在三阶（或三阶以上）自治电路和二阶（或二阶以上）非自治电路里可以出现混沌。

低阶电路的混沌常作为理论研究对象。

三、基于VisualC++的非线性电路实验

在VisualC++开发环境下,通过龙格库塔方法求解非线性电路微分方程组,得到数值解并模拟显示李萨茹图形。

在相同线路参数下模拟结果与实验室实验中观察到的结果一致,同时模拟显示可以容易地得到稳定的X,Y方向上的输出波形。

通过该模拟实验可以很好地观察研究非线性电路中的混沌现象。

1非线性电路实验模型

该实验基本电路采用蔡氏电路模型,其结构如图1所示。

其中含有一个非线性元件R,它是一个有源非线性负阻器件,同时含有三个储能元件C1,C2,L和一个可变电阻Rv,实验中即是通过改变Rν来观测实验现象。

实验中需测量非线性负阻元件的伏安特性曲线,先假设其伏安特性曲线表达式为:

I=F（U）;同时为了保证数值模拟尽量与实验室实验结果相吻合,该模拟实验增加考虑了电感电阻的影响。

线路的非线性动力学方程为:

式中U1,U2分别表示加在电容C1,C2上的电压;iL表示流过电感L的电流,R0为电感电阻,如

图1所示。

现以x代替U1,y代替U2,z代替iL,方程可化简如下:

化简后的偏微分方程组中仅含有x,y,z三个变量,其余均为线路决定的常数。

2电路实验及模拟实验算法分析

非线性电路实验

实验室中使用NCE21型非线性电路混沌实验仪[5],电路如图2所示。

其中电容C1为100nF,电容C2为10nF;电感L=17.5mH（可设定）;电阻Rv为可调电阻,实验中把Rv更换为电阻箱。

非线性元件伏安特性曲线及其负压方向上表达式如图3所示。

在实验中记录下图形随电阻箱阻值变化的图像及对应阻值。

模拟实验算法分析

实验室中通过示波器测得的x,y端波形频率约为3kHz,相应的周期为0.33ms。

要完成微分方程组（4）、（5）、（6）的求解,可采用四阶龙格库塔方法[5]。

由于该算法中数据是离散化的,方程中自变量t是均匀变化（时间均匀流失）,故并未对方程作进一步化简。

如果要合成李萨如图形,至少要求x,y端输出一个完整的波形,考虑到最终波形的完整性以及程序计算起步阶段的不稳定性,可考虑选取12个周期,也即0.33×12=3.96ms,该延迟时间可与示波器刷新的频率吻合,在现今计算机运算速度下,可设时间变化步长h=100ns,每个周期内计算33000次左右,这样模拟输出点（x,y）的个数=12×33000≈40万。

由于在实验室实验中,观察波形时,示波器x方向上倍率为1V（2V）,y方向上倍率为0.5V（1V）,为体现模拟图像与实验图像的一致,在算法中,当要显示坐标点时,x坐标的值除以2。

程序运行结果表明,这样的设定符合要求,并有很好的视觉效果。

（主程序见附录）

实验室结果与模拟结果对比分析

模拟实验一

该组实验中,测得电感L=16.9mH;电感电阻R0=2.6Ω;由于原实验箱只作定性观察,其中电容和电感误差允许10%[5]。

其中电感通过串联谐振法已测得,考虑到非线性电路本身（非线性负阻元件近似线性拟合,线路自身电阻,电感电容随电流的变化等等）的各种不确定因素,对各个变量进行准确测量不一定会提高实验精度,本程序即通过“倒过来验证”的方法确定C1,C2。

在对模拟数据的测试过程中,发现当改变C1为10.96nF时,模拟实验与实验室实验结果吻合的较好。

并且在改变电感的下组实验中较好吻合。

所以可以认为这些参数设定能够近似代表实验室线路。

　说明:

（1）在出现双吸引子后没有一直减小可变电阻。

（2）模拟实验与实验室实验中,均可看到电阻变小到一定程度时出现类似于磁滞回线的图像。

（3）当电阻较大时,模拟实验也可观察到一个大斑点,与实验室情况相似。

（4）部分具有代表性波形合成图像所示。

其中左侧为示波器上对应阻值的照相图像,右侧为对应阻值模拟显示的截屏图。

模拟实验二

该组实验中,电感变为21.78mH,电感电阻R0=2.6Ω,其他线路参数与第一组实验相同。

该组实验中,模拟与实验室结果对比。

说明:

（1）第一组说明中的a,b,c在此均符合。

（2）模拟实验中,可以观察到“被切割”的合成图像,随着电阻变小图像又自动慢慢“修复”。

与实验室中示波器观察到的现象一致。

（3）模拟实验中,阵发混沌期间会在小范围内再次出现4倍周期图像,阻值在1988附近,同样在实验室中,当阻值在1986附近也出现类似情况。

（4）部分具有代表性的波形合成图像如图5所示。

相应电阻虽有所差异,但误差并不大。

模拟结果补充说明

在实验室实验中由于示波器扫描频率不符合等原因,当分别观察每个示波器输入端的波形时,很难观察到正常的波形。

在模拟实验中,由于数值计算的结果方便显示,可观察到完整稳定的波形。

此处以第一组实验中双吸引子为对象。

模拟显示波形如下:

其中,水平方向为y方向（U2）上输出,垂直方向为x方向（U1）上输出,中间为合成图像。

通过图像可以清晰地看到各输出端的波形。

实验中通过改变C1,C2,L等参数可以清楚地看到非线性电路对这些参数的极度敏感性;在一定范围内,通过在0附近设定不同的线路初值（x,y,z）,可以看到波形输出的一致性;在观察计算机绘出图形的过程中,可以看到线条“行走”的连续渐变;观察双吸引子时,可看到线条对称出现,对称中心处出现拐点等现象。

诸多现象说明了

混沌现象的有序性,并有着自身演变规律。

印证了“混沌现象并不是杂乱无章的,而是按照一定的规律在变化着。

”

实验室与计算机上分别模拟了三组数据,上面仅给出两组。

各组结果均吻合的很好。

模拟实验充分说明了计算机模拟非线性混沌问题的可行性,方便性。

由此也可看出非线性电路的丰富内容。

基于蔡氏电路的混沌仿真与分析

混沌是非线性系统中的常见现象。

该文对产生混沌现象的最简单三阶自治电路———蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型对其进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。

蔡氏电路模型

自治动力系统产生混沌现象需要以下条件:

系统至少有三个状态变量,并且存在一定的非线性环节。

蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻,电路如图1所示。

可以把电路分为线性部分和非线性部分。

其中线性部分包括:

电阻R、电感L（含内阻r）和两个电容C1与C2;非线性部分只有一个分段线性电阻Rn,其伏安特性如图2所示,非线性电阻采用如图3所示的电路。

　电路图中选用的具体参数或器件为:

r=10Ω,C1=4700pF,C2=0.1μF,L=8.2mH,R1=R2=300Ω,R3

=1.2k,R4=R5=3.3k,R6=R7=47k,VC=-VE=9V,运算放大器采用LM741,二级管采用IN4148,为了调节混沌现象出现的条件,R采用

图3非线性电阻的实现电路可变电阻,调节范围为0到3K。

下面分析图3中非线性电阻的伏安特性:

二极管D1和D2都截至时,A和B点的电压为:

VA=VE×R4/（R4+R6）

VB=VC×R5/（R5+R7）

当vC1≥E（=VD+VB）时,其中VD为二极管导通电压,vC1为

电容C1两端的电压。

D1截止,D2导通,

m0=i/vC1=1/R5-R2/（R1R3）

当|vC1|≤E时,D1、D2截止:

m1=i/vC=-R2/（R1R3）

当vC1≤-E时,D1导通,D2截止:

m2=i/vC1=1/R4-R2/（R1R3）=m0

这样,电流i对于电压vC1的函数可以表示为:

式

（1）也可以用下式表示:

i（vC1）=m0vC1+（m1-m0）（|vC1+E|-|vC1-E|）/2

这样就可以得到如图2所示的非线性电阻伏安特性。

可以通

过调节电阻R的阻值来改变vC1的大小,非线性电阻中的运

放LM741工作在线性放大区域中,由它及和其相连的电阻组

成线性负阻,运放本身并没有产生非线性。

蔡氏电路（图1）的电路模型为:

其中vC2为电容C2两端的电压,iL为通过电感L的电流。

　蔡氏电路数学模型及其分析

式

（2）中,取x1=vC1,x2=vC2,x3=RiL/C2,τ=t/RC2,a=m1R,b=m0R,α=C2/C1,β=R2C2/L,其中x1、x2、x3为系统状态变量,自变量τ为时间,可以得到蔡氏电路的数学模型:

其中

式中微分都是相对变量τ。

将（3）式可以化为:

令X=（x1,x2,x3）T考虑平衡态ÛX=0,即:

根据f（x）的不同形式,在R3的三个子空间:

中都有唯一的平衡点,分别是:

P+=（k,0,-k）∈D1

O=（0,0,0）∈D0

P-=（-k,0,k）∈D-1

其中k=（b-a）/（b+1）。

在三个子空间中,（5）式为线性方程,令K=（k,0,-k）T,（5）式可以改写为

其中

在子空间D0中c=a,子空间D1和D-1中c=b。

参数α,β,a,b可以根据前面的电路参数求得,分别为21.3,23.9,-1.1,-0.7。

子空间D1和D-1中平衡点处的特征值为-8.46,0.54±j4.21。

子空间D0中平衡点处的特征值为4.08,-1.47±j3.21。

由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点。

到目前为止,还不知道系统是否出现混沌现象,还需要进一步判断。

Lyapunov指数是判断系统混沌现象的最常见方法,它能够定量地描述动力系统在相空间中相邻轨道的发散程度。

若动力系统在一定区域内的第一个Lyapunov指数λ1>0,则动力系统在这个