学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系212.docx
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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系212
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
学习目标
1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角.
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?
答案 平行与相交.
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线;六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义:
不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图
(1)
(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分:
②从是否共面的角度来分:
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内,直线a,b,c,若a∥b,b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立?
答案 成立.
梳理 平行公理的内容
(1)文字表述:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)符号表示:
⇒a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行,
这两组角的大小关系如何?
答案 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180°.
梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补.
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1—ABCD中,BC1∥AD1,则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等?
答案 相等.
梳理
定义
前提
两条异面直线a,b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ,则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.
类型一 异面直线的判断
例1 如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )
答案 C
解析 本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS相交.故选C.
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线.
跟踪训练1 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?
分别是哪几对?
解 还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
类型二 公理4及等角定理的应用
例2 已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点.
(1)求证:
四边形BB′E′E为平行四边形;
(2)求证:
∠BEC=∠B′E′C′.
证明
(1)如图所示,因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形.
所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.
又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,
所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.
所以四边形BEE′B′是平行四边形.
(2)由
(1)知,四边形BB′E′E为平行四边形,所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B′E′C′.
引申探究
本例2中取C′D′的中点G′,求证四边形ACG′E′为梯形.
证明 连接A′C′.
∵E′,G′分别为A′D′,C′D′的中点,
∴E′G′綊
A′C′.
∵AA′綊CC′,
∴四边形ACC′A′是平行四边形,
∴A′C′綊AC,∴E′G′綊
AC,
∴四边形ACG′E′是梯形.
反思与感悟
(1)公理4的作用
公理4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.
(2)剖析“等角定理”
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相反,那么这两个角相等.
跟踪训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:
△EFG∽△C1DA1.
证明 如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,
所以GF綊
B1C.
又ABCD—A1B1C1D1为正方体,
所以CD綊AB,A1B1綊AB,
由公理4知CD綊A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D綊B1C.又B1C∥FG,
由公理4知A1D∥FG.
同理可证:
A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
类型三 求异面直线所成的角
例3 空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
解 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,
则EG綊
AB,GF綊
CD,
由AB=CD知EG=FG,
从而可知∠GEF为EF与AB所成角,∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
∵AB与CD所成角为30°,
∴∠EGF=30°或150°,
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:
根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:
求角度,常利用三角形.
(3)确定角:
若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
跟踪训练3 在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且
=
=
,EF=
,求AB和CD所成角的大小.
解 如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于O,连接OF.
因为EO∥AB,
所以
=
=
,
=
=
.
又因为AB=3,所以EO=2.
又
=
,所以
=
,
所以OF∥DC,所以OE与OF所成的角即为AB和CD的成的角,
=
=
.
因为DC=3,所以OF=1.
在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(
)2=5,
所以OE2+OF2=EF2,∠EOF=90°,
所以AB和CD所成的角为90°.
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案 D
解析 由平行直线的定义可得.
2.若OA∥O′A′,OB∥O′B′,且∠AOB=130°,则∠A′O′B′为( )
A.130°B.50°
C.130°或50°D.不能确定
答案 C
解析 根据定理,∠A′O′B′与∠AOB相等或互补,即∠A′O′B′=130°或∠A′O′B′=50°.
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
答案 D
解析 画出图形,得到结论.
如图
(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图
(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
答案
(1)平行
(2)异面 (3)相交 (4)异面
解析
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
解
(1)如图所示,连接AC,AB1.
由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,
∴AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,
可知∠B1CA=60°,
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示,连接BD.
由
(1)知AC∥A1C1,
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD,∴AC⊥EF,∴EF⊥A1C1,
即A1C1与EF所成的角为90°.
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角的范围为(0°,90°],解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.
作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
课时作业
一、选择题
1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
答案 D
解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明,a、b异面,直线c的位置可如图所示.
2.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )
A.全等B.不相似
C.仅有一个角相等D.相似
答案 D
解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.
3.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
答案 C
解析 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾,故选C.
4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形
答案 B
解析 如图,易证四边形EFGH为平行四边形.
又∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC.
又FG∥BD,
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.
而AC与BD所成的角为90°,
∴∠EFG=90°,
故四边形EFGH为矩形.
5.如图是无盖正方体纸盒的平面展开图,则直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )
A.平行B.相交且垂直
C.异面D.相交成60°角
答案 D
解析 如图,连接AC,得正三角形ABC,∴AB,CD在原正方体中相交成60°角.
6.如图所示,已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定正确的是( )
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成角为30°
D.l与BD垂直
答案 B
解析 由l与AB既不平行也不相交,故l与AB一定互为异面直线.
7.下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面;
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.
8.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案 C
解析 如图,连接BC1,A1C1.
∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.
在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,
∴∠A1BC1=60°.
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
9.如图,在三棱锥D—ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 B
解析 如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.
∵E,F分别是为CD,AB的中点,
∴FG∥AC,EG∥BD,
且FG=
AC,EG=
BD.
又∵AC=BD,∴FG=EG,
∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.
∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,
∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.
二、填空题
10.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有______对.
答案 3
解析 PA与BC,PB与AC,PC与AB互为异面直线.∴共3对.
11.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.
答案 ②④
解析
(1)中HG∥MN,(3)中GM∥HN且GM≠HN,所以直线HG与MN必相交.
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)AC与DD1所成的角为________;
(2)AC与D1C1所成的角为________.
答案
(1)90°
(2)45°
解析
(1)DD1和AC是异面直线,因为AA1∥DD1,所以∠A1AC为DD1和AC所成的角.因为AA1⊥AC,所以∠A1AC=90°,所以DD1和AC所成的角是90°.
(2)因为DC∥D1C1,所以∠ACD是AC和D1C1所成的角.又∠ACD=45°,所以AC和D1C1所成的角是45°.
三、解答题
13.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=
,求AD与BC所成角的大小.
解 如图,取BD的中点G,连接GE,GF.
因为BE=EA,BG=GD,
所以GE∥AD,GE=
AD=1.
因为DF=FC,DG=GB,
所以GF∥BC,GF=
BC=1.
所以∠EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角.
在△GEF中,GE=1,GF=1,EF=
(如图),
取EF的中点O,连接GO,
则GO⊥EF,EO=
EF=
.
所以sin∠EGO=
=
,所以∠EGO=60°,所以∠EGF=2∠EGO=120°,
所以异面直线AD与BC所成的角是180°-120°=60°.
四、探究与拓展
14.在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30°B.45°C.90°D.60°
答案 D
解析 连接AD1,D1C,BC1.因为M,N分别为BC和CC1的中点,所以C1B∥MN,又C1B∥AD1,所以AD1∥MN,所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边三角形,所以∠D1AC=60°,即异面直线AC和MN所成的角为60°.
15.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊
AD,BE綊
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)判断C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH綊
AD.又BC綊
AD,∴GH綊BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 由BE綊
AF,G为FA的中点知,BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.
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