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正方形知识总结
华师大版八年级下册19.3正方形单元复习材料一、知识辨析
1.正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
1边:
四边相等,对边平行
2角:
四个角都是直角
3对角线:
互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度。
4正方形是轴对称图形,有四条对称轴
3.正方形的判定
1菱形+矩形的一条特征
2菱形+矩形的一条特征
3平行四边形+一个直角+一组邻边相等
说明一个四边形是正方形的一般思路是:
先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形
4.正方形对角线产生的三角形特点
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形
5.正方形常用的辅助线添加方法
1正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题
2有垂直时做垂线构造正方形
3有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用
4利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件
基本方法
围绕正方形的边展开的计算和论证
H
G
(1)
判断直线
(2)
B
F
EFGH面积的最小值.
求四边形
(3)
G
0
E
B
C
在正方形
E
F
)
D
B
£
AF、BF、
EG是否经过一个定点,并说明理由
是ABBCCD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH
ABCD中,G是BC上任意一点,连接
求证:
四边形EFGH
AG,DE丄AG于E,BF//DE交AG于F,探究线段
ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别
正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB
试题2、(2015四川凉山州第21题8分)如图
试题3、(2015湖北十堰,第10题3分)如图
试题1、(2015江苏泰州,第25题12分)如图,正方形
I是正方形;
EF三者之间的数量关系,并说明理由
AD上,若CE=3j^,且/ECF=45°贝UCF的长为
A.2—B.
C.
D.
试题4、(2015,广西玉林,18,3分)如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且
BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值
时,四边形AEPQ的面积是3
试题5、(2015北海,第16题3分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于
合,BP的垂直平分线分别交CDAB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH丄AB于H.
(1)求证:
HF=AP;
(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.
4
M
试题7、(2015广东东莞21,7分)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△
ADE沿AE对折至△AFE延长EF交边BC于点G,连接AG.
(1)求证:
△ABG么AFG;
(2)求BG的长.
2、围绕正方形的角展开的计算和论证
是90°.
试题2、(2015鄂州,第18题8分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接
BE,CE.
(1)求证:
BE=CE
(2)求/BEC的度数.
试题3、(2015黄冈,第12题3分)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC
交于点E,若ZCBF=20。
,贝U/AED等于度.
BC交于点G.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若/ABE=55°求/EGC的大小.
3、围绕正方形的对角线展开的计算和论证
试题1、(2015济南,第13题3分)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
ZACB的角平分线分别交ABCD于M、N两点•若AM=2,则线段ON的长为()
A.2B.C.1D.J
2
DCDC
试题2、(2014山西,第10题3分)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EO2AE,直
角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BCDC于点M、N.若正方形ABCD的变长为a,则重叠
试题3、(2014年四川资阳,第15题3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一
点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,贝U△BEQ周长的最小值为
试题4、(2014黑龙江哈尔滨,第19题3分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB
边上,EF丄AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为_5
试题5、(2014重庆A,第18题4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线ACBD的
交点,点E在CD上,且DE=2CE过点C作CF丄BE,垂足为F,连接OF,贝卩OF的长为
5
试题6、(2014四川广安,第19题6分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,连
接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证:
/PDC=ZPEC.
4、围绕正方形的平移和旋转变换展开的计算和论证
试题1、(2015枣庄,第9题3分)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。
后得到正
方形ABiCiDi,边BiCi与CD交于点O,则四边形ABiOD的面积是()
试题2、(20i5青岛,第i2题3分)如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点
A,B的坐标分别为(i,i),(-i,i),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45。
得正方形
AB'C则正方形ABCD与正方形A'B'重叠部分所形成的正八边形的边长为2「-2.
试题3、(20i5恩施州第i8题8分)如图,四边形ABCDBEFG均为正方形,连接AG、CE
(i)求证:
AG=CE
(2)求证:
AG丄CE
试题4、(2015•江苏连云港,26题12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边
长为2的正方形ABCD与边长为2「的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG丄BE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与厶BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
试题5、(2015齐齐哈尔,第26题8分)如图1所示,在正方形ABCD和正方形CGE冲,点B、
C、G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM,易证:
DM=FM,DM丄FM(无需写证明过程)
(1)如图2,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究
线段DM与FM有怎样的关系?
请写出猜想,并给予证明;
(2)如图3,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不
变,探究线段DM与FM有怎样的关系?
请直接写出猜想.
试题6、(2014山东威海,第24题11分)猜想与证明:
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不变,
则DM和ME的关系为DM=DE.
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明
(1)中的结论仍然成立.
试题7、(2015辽宁省盘锦,第17题3分)如图,直线y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点
A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形
ABCD,点C落在双曲线y=;(k刊上,将正方形
5、综合运用
任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM丄CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作
MN//OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.
(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).
(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?
并说明理由.
CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()
A
试题3、(2014黑龙江龙东,第20题3分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且
CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列结论:
①厶ABG^AAFG;②BG=CG;③AG//CF;④S^egc=Gafe;⑤/AGB+ZAED=145°
其中正确的个数是()
A.2B.3C.4D.5
试题4、(2014山东烟台,第25题10分)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(〔)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立
吗?
(请你直接回答是”或否”,不需证明)
吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,
使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图•若AD=2,试求出线段CP的最小值.
试题5、(2014年湖北咸宁24.(12分))如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(-4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线I相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).
(1)/PBD的度数为45°,点D的坐标为(t,t)(用t表示);
(2)当t为何值时,△PBE为等腰三角形?
(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?
若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.
试题6、(2014山东临沂,第25题11分)【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分/DAM.
【探究展示】
(1)证明:
AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示
(1)、
(2)中的
结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
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