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初一数学
一元一次方程应用题分类讲评
一元一次方程应用题是初一数学学习的重点,也是一个难点。
主要困难体现在两个方面:
一是难以从实际问题中找出相等关系,列出相应的方程;二是对数量关系稍复杂的方程,常常理不清楚基本量,也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系,导致解题时无从下手。
解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”。
1.行程问题
行程问题中有三个基本量:
路程、时间、速度。
关系式为:
①路程=速度×时间;②速度=
;③时间=
。
如相遇问题中多以路程作相等关系,而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系。
(1)相遇问题:
同时出发开始计时,到相遇时两者所花时间是相等
[相向而行]同时出发开始计时,到相遇时两者所走的路程之和等于全程
例1、甲、乙两人相距285米,相向而行,甲从A地每秒走8米,乙从B地每秒走6米,如果甲先走12米,那么甲出发几秒与乙相遇?
例2、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行,2小时候相遇。
已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米,若设乙的速度为x千米/小时。
则可列方程:
(2)追及问题:
同时出发开始计时,追到时两者所用时间相等
例3、甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,甲让乙先跑5米然后奋力去追,设x秒钟后,甲便追上了乙,则可列方程:
例4、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,从同一起点同时出发,甲的速度是5米/秒,乙的速度是3米/秒。
(1)如果背向而行,两人多久第一次相遇?
(2)如果同向而行,两人多久第一次相遇?
例5、甲乙两人从A、B同时出发,甲骑自行车,乙骑摩托车,沿同一条路线同时相向而行,出发后3小时相遇,已知相遇时乙比甲多走90千米,相遇后经过1小时乙到达A地,问甲乙的速度分别是多少?
若设甲的速度是x千米/小时,则可列方程为
若设乙的速度是x千米/小时,则可列方程为
例6、甲、乙两人分别从相距140千米的A,B两地同时出发,甲的速度:
40千米/小时,乙的速度:
20千米/小时
(1)若相向而行,经过多少小时两人相距20千米?
(2)如果同向而行,经过多少小时两人相距20千米?
例7:
汽车从A地到B地,若每小时行驶40km,就要晚到半小时:
若每小时行驶45km,就可以早到半小时。
求A、B两地的距离。
讲评:
先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题,我们通常都称其为“先后问题”。
在这类问题中主要考虑时间量,考察两者的时间关系,从相隔的时间上找出相等关系。
练习1.从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲乙两地相距x千米,则列方程为________________。
2.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发,相向而行,1小时48分相遇,如果甲比乙早出发40分钟,那么在乙出发1小时30分时两人相遇,求甲、乙两人的速度。
3.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米,可比预定的时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定的时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?
4.在800米跑道上有两人练中长路,甲每分钟跑320米,乙每分钟跑280米,两人同时同地同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于分钟.
2.工程问题:
一般情况下把工作总量看成单位1,公式:
工作时间×工作效率=工作总量(单位1)
如:
一项工程甲队需30天完成任务,则甲每天完成工作量的
,则工作效率为
;如果乙队需要20天完成任务,则甲每天完成工作量的
,则工作效率为
,两人一起可以完成
——工作效率之和,常见的相等关系有两种:
①如果以工作量作相等关系,部分工作量之和=总工作量。
②如果以时间作相等关系,完成同一工作的时间差=多用的时间。
例1、某件文件需要打印,小李独立完成需要6个小时,小王独立完成需要8个小时,如果两人合作的话,需要多少时间可以完成。
设需要x小时两人合作可以完成,则可列方程:
例2、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成,乙队单独需要20天才能完成。
现在由甲队单独工作5天之后,剩下的工作再由两队合作完成,问他们需要合作多少天?
例3.加工某种工件,甲单独作要20天完成,乙只要10就能完成任务,现在要求二人在12天内完成任务。
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务?
讲评:
将全部任务的工作量看作整体1,由甲、乙单独完成的时间可知,甲的工作效率为
,乙的工作效率为
,设乙需工作x天,则甲再继续加工(12-x)天,乙完成的工作量为
,甲完成的工作量为
,依题意有
例4.收割一块麦地,每小时割4亩,预计若干小时割完。
收割了
后,改用新式农具收割,工作效率提高到原来的1.5倍。
因此比预计时间提前1小时完工。
求这块麦地有多少亩?
3.流水行舟问题
①顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);②逆水(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速)。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系:
顺水(风)速度-水流速度(风速)=逆水(风)速度+水流速度(风速)=静水(无风)速度。
例1一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需6小时,逆流航行需8小时,已知水流速度每小时2km。
求甲、乙两地之间的距离。
练习一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时,求两城市间距离。
4.注、放水问题(类似工程问题)
例1.一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙是进水管,丙是排水管,甲单独开需10小时注满一池水,乙单独开需6小时注满一池水,丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开,需多少时间注满水池?
练习已知某水池有进水管与出水管一根,进水管工作15小时可以将空水池放满,出水管工作24小时可以将满池的水放完;
(1)如果单独打开进水管,每小时可以注入的水占水池的几分之几?
(2)如果单独打开出水管,每小时可以放出的水占水池的几分之几?
(3)如果将两管同时打开,每小时的效果如何?
如何列式?
(4)对于空的水池,如果进水管先打开2小时,再同时打开两管,问注满水池还需要多少时间?
5.数字问题
数字问题是常见的数学问题。
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数,要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系:
任何数=∑(数位上的数字×位权),如两位数
=10a+b;三位数
=100a+10b+c。
在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。
例1.一个三位数,三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍。
求这个数。
例2.一个六位数的最高位上的数字是1,如果把这个数字移到个位数的右边,那么所得的数等于原数的3倍,求原数。
讲评:
这个六位数最高位上的数移到个位后,后五位数则相应整体前移1位,即每个数位上的数字被扩大10倍,可将后五位数看成一个整体设未知数。
练习1.有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
2.两个连续奇数的和为156,求这两个奇数,设最小的数为x,列方程得
3.将连续的奇数1,3,5,7,9…,排成如下的数表:
(1)十字框中的五个数的平均数与15有什么关系?
(2)若将十字框上下左右平移,可框住另外的五个数,这五个数的和能等于315吗?
若能,请求出这五个数;若不能,请说明理由.
6.年龄问题
1.小明今年6年,他爷爷今年72岁,问多少年之后小明年龄是他爷爷年龄的
倍?
解:
设x年后小明的年龄是爷爷的
倍,根据题意得方程为:
2.甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是________.
3.小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁,8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁,求小华现在的年龄
7.几何等量变化问题(等周长变化,等体积变化)
常用公式:
三角形面积=,正方形面积
圆的面积,梯形面积
长方形面积柱体体积
1、已知一个用铁丝折成的长方形,它的长为9cm,宽为6cm,把它重新折成一个宽为5cm的长方形,
则新的长方形的宽是多少?
设新长方形长为xcm,列方程为
2、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12cm2,问量筒中水面升高了多少cm?
3、如图所示,两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一,相当于小长方形面积的四分之一,阴影部分的面积为224cm2,求重叠部分面积。
8.配套问题:
1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?
2.包装厂有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片,或长方形铁片80片,将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶,问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套?
3.某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争,若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋,如何安排好人力,才能使装泥和抬泥密切配合,而正好清场干净。
4.某车间加工机轴和轴承,一个工人每天平均可加工15个机轴或10个轴承。
该车间共有80人,一根机轴和两个轴承配成一套,问应分配多少个工人加工机轴或轴承,才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。
9.调配问题:
1.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?
2.甲队人数是乙队人数的2倍,从甲队调12人到乙队后,甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。
求甲、乙两队原有人数各多少人?
3.甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。
10.分配问题:
4.学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位,如果每室住9人,则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
5.学校春游,如果每辆汽车坐45人,则有28人没有上车;如果每辆坐50人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐12人,问共有多少学生,多少汽车?
6.小明看书若干日,若每日读书32页,尚余31页;若每日读36页,则最后一日需要读39页,才能读完,求书的页数。
11.增长率问题:
1.某化肥厂去年生产化肥3200吨,今年计划生产3600吨,今年计划比去年增产%
2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米,现在加工大米100公斤,设要这种大米x公斤,则列出的正确的方程是。
。
3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册,而第四季度印刷了58万册,求季度的增长率是多少?
4.甲、乙两厂去年完成任务的112%和110%,共生产机床4000台,比原来两厂任务之和超产400台,问甲厂原来的生产任务是多少台?
5.某村去年种植的油菜籽亩产量达150千克,含油率为40﹪。
今年改种新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克,含油率提高了10百分点。
今年与去年相比,油菜的种植面积减少了40亩,而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20﹪。
(1)求今年油菜的种植面积。
设今年油菜的种植面积是x亩。
完成下表后再列方程解答。
亩产量
(千克/亩)
种植面积
(亩)
油菜籽总产量
(千克)
含油率
产油量
(千克)
去年
150
40﹪
今年
x
(2)已知油菜种植成本为200元/亩,菜油收购价为6元/千克。
试比较这个村去今两年种植油菜的纯收入。
12.教育储蓄关系式有:
①利息=本金×利率×期数;②利息税=利息×税率;③本息和(本利)=本金+利息-利息税。
1、张叔叔购买了10000元3年期的债劵,到期后,得到本息和为10720元,这种债劵的年利率是多少?
2、小明的爸爸为她存了一笔3年期的教育储蓄,年利率为2.7%,3年后能取出5405元,他开始时存入了多少元?
3.某人将2000元人名币按一年期存入银行,到期后扣除20%的利息税后,得本息和为2160元,求这种存款方式年利率.
4、章叔叔买年利率为3.0%的6年期国库券,如果他想6年后得到23600元,则现在章叔叔应该买这种国库券多少元?
5、某电脑公司向工商银行申请了两种贷款,共计68万元。
到期后共要付利息8.4万元,甲种贷款每年利率12%,乙种贷款每年利率使13%,求两种贷款数额是多少?
13.销售利润问题。
利润问题中有四个基本量:
成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率。
基本关系式有:
①利润=销售价(收入)-成本(进价)【成本(进价)=销售价(收入)-利润】;②利润率=
【利润=成本(进价)×利润率】。
在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价×折扣率。
打折问题中常以进价不变作相等关系。
1.一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价,又以八折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为_________.
2.某件商品9折降价销售后每件商品售价为
元,则该商品每件原价为()
3.某商场将进价为每件X元的上衣标价为m元,在此基础上再降价10%,顾客需付款270元。
已知进价x元时标价m元的60%,则x的值是()
4.某商品的销售价格每件900元,为了参加市场竞争,商店按售价的九折再让利40元销售,些时仍可获利10%,此商品的进价为______.
5.如果某商品进价的降低5%,而售价不变,利润率可提高15个百分点,求此商品的原来的利润率
6.某商品进价1500元,提高40%后标价,若打折销售,使其利润率为20%,则此商品是按几折销售的?
7.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
7、一商店把彩电按标价的九折出售,仍可获利20%,若该彩电的进价是2400元,那么彩电的标价是多少元?
8、某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?
9.某学校准备组织教师和学生去旅游,其中教师22名,现有甲、乙两家旅行社,其定价相同,并且都有优惠条件,甲旅行社表示教师免费,学生按八折收费;乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费,经核算后,甲、乙实际收费相同,问共有多少学生参加旅游?
10、某服装商店出售一种优惠购物卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家商店8折购物,什么情况下买卡购物合算?
讲评:
购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。
设购物x元买卡与不买卡效果一样,买卡花费金额为(200+80%x)元,不买卡花费金额为x元,故有
200+80%x=x ∴ x=1000
当x>1000时,如x=2000 买卡消费的花费为:
200+80%×2000=1800(元)
不买卡花费为:
2000(元) 此时买卡购物合算。
当x<1000时,如x=800 买卡消费的花费为:
200+80%×800=840(元)
不买卡花费为:
800(元) 此时买卡不合算。
14.日历中的方程
1、王老师要参加三天培训,这三天恰好在日历的一竖排上且三个数字相连,并且这三个日子的数字之和是36,你知道王老师都要在几号参加培训吗?
2、小明和小红作游戏,小明拿出一张日历说;“我用笔圈出了2╳2的一个正方形,它们数字的和是76,你知道我圈出的是哪几个数字吗?
”你能帮小红解决吗?
15.古典数学:
1.100个和尚100个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚,多少小和尚。
2.有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?
16.方案设计与成本分析:
1.我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售每吨获利7500元。
当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨,该企业加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨,如果进行细加工,每天可以加工6吨,但两种加工方式不能同时进行。
受季节条件限制,企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕,企业研制了三种可行方案。
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:
尽可能多的对蔬菜进行精加工,来不及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售;
方案三:
将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天。
你认为哪种方案获利最多?
为什么
2.牛奶加工厂现有鲜奶8吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售8吨),每吨可获利润500元;制成酸奶销售,每加工1吨鲜奶可获利润1200元;制成奶片销售,每加工1吨鲜奶可获利润2000元.该厂的生产能力是:
若制酸奶,每天可加工3吨鲜奶;若制奶片,每天可加工1吨鲜奶;受人员和设备限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.
请你帮牛奶加工厂设计一种方案,使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕,又能获得你认为最多的利润.
3.电信部门推出两种电话计费方式如下表:
A
B
月租费(元/月)
30
0
通话费(元/分钟)
0.40
0.5
(1)当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多?
解:
设当通话时间是x分钟时两种方式收费一样多,根据题意得:
解方程得:
x=
(2)当通话时间时,A种收费方式省钱;当通话时间时,B种收费方式省钱.
4、据电力部门统计,每天8︰00至21︰00是用点高峰期,简称“峰时”,21︰00至次日8︰00是用电低谷期,简称“谷时”。
为了缓解供电需求紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体见下表:
时间
换表前
换表后
峰时(8︰00—21︰00)
谷时(21︰00—8︰00)
电价
每度0.52元
每度0.55元
每度0.30元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算,经测算比换表前使用95度电节约了5.9元,问小明家使用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度?
5、小明想在两种灯中选购一种,其中一种是10瓦(即0.01千瓦)的节能灯,售价50元,另一种是100瓦(即0.1千瓦)的白炽灯,售价5元,两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3000小时内)节能灯售价高,但较省电,白炽灯售价低,但用电多,电费0.5元/千瓦·时
(1)照明时间500小时选哪一种灯省钱?
(2)照明时间1500小时选哪一种灯省钱?
(3)照明多少时间用两种灯费用相等?
17.比值问题:
技巧在于根据比值来设未知数
1、如果两个课外兴趣小组共有人数54人,两个小数的人数之比是4:
5;如果设人数少的一组有4x人,
那么人数多的一组有________人,可列方程为:
______________________
2、甲乙两人身上的钱数之比为7:
6,两人去商店买东西后,甲花去50元,乙花去60时,此时他们身上的钱数之比为3:
2,则他们身上余下的钱数分别是多少?
设甲余钱元,乙余钱元,列方程为
18.比赛积分问题:
1、某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:
每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作,得了103分,则这个人选错了多少道题。
2、某学校七年级8个班进行足球友谊赛,采用胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1场后,以不败的战绩积17分,那么该班共胜了几场比赛?
练习:
1.一个两位数,个位数字是十位数字的4倍,如果把个位数字与十位数字对调,那么得到的新数比原数大54,求原来的两位数。
2、某种商品进价为1600元,按标价的8折出售利润率为10%,问它的标价是多少?
3、某厂生产一批西装,每2米布可以裁上衣3件,或裁裤子4条,现有花呢240米,为了使上衣和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米?
4.一批宿舍,若每间住1人,有10人无处住,若每间住3人,则有10间无人住,那么这批宿舍有多少间,人有多少个?
5.某队有林场108公顷,牧场54公顷,现在要栽培一种一种新果树,把一部分牧场改为林场,使牧场面积只占林场面积的20%,改为林场的牧场面积是多少公顷?
6.一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地,原路返回需要11小时才能到达甲地,已知水流速度为2千米/时,求轮船在静水中的速度。
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