数学建模队员的选派.docx
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数学建模队员的选派
队员的选派
摘要
新一届的数学建模大赛即将开始,现某校有20名同学报名参加,要求为学校从20名同学中选出18名并且组成6个队。
因此经过分析,我们把该数学建模参赛队员的选派问题分为队员选拔和组队,而队员选拔是个评价问题,队员组队是个决策问题。
所以对于参赛队员的选派,我们用灰色关联度分析法以及层次分析法进行综合评价,最后用matlab、编程对其求解,选出队员并组成6个队。
针对问题一,经过初步分析,参赛队员的选拔问题主要是一个评价性问题,因此我们用灰色关联度度分析法建立起每个人各指标关联系数的初等数学模型。
我们用matlab编程对其进行求解。
对于该问题,首先我们是确定参考数列,然后用求两级最大差和最小差的公式,得到最大差及最小差的值,再通过关联系数公式得出比较数列对参考数列的关联系数,最后计算出20名同学各项指标的关联度。
在不考虑各指标权重的情况下,我们将其中6、8关联系数相对较小的两名同学剔除,从而选出18名参赛队员。
针对问题二,在问题一的基础上进一步分析,队员的组队问题是决策性问题,因此我们用层次分析法建立起决策模型。
首先,我们把影响数学建模的因素分为了三类:
建模、编程、写论文,建立起队员选拔的层次结构图。
其次,我们用matlab编程计算出准则层二对准则层一的权重。
然后再通过权重及问题一中选出的18名队员,将其选出的队员分为:
编程、建模、写论文三大组。
最后,我们再用编程求解,得出如下两组组队方案,第一种:
14、5、9;18、1、12;15、10、11;3、13、16;17、7、2;20、19、4。
第二种:
19、16、5;20、17、1;3、2、9;7、18、12;13、15、14;4、10、11。
第一种组队方案,每队的每个成员的角色已定且一到六组的实力依次递减;而第二种方案中,每队的每个成员的角色是随机,可以经过商量各司其职,其中六个组的实力相当。
用灰色关联分析法对问题一建立的模型,最后求解得到的选拔结果对其队员更公平、公正。
而问题二用层次分析法对建立的模型,对于得出的两种方案,第二种比第一种更具有随机性。
关键词:
灰色关联度分析法 层次分析法 权重 逐次优选
一、问题重述
新一届的全国大学生数学建模竞赛即将开始,现某学校有20名学生报名参加,学校根据数学建模的选拔指标:
学习成绩、专业知识、计算机水平、写作能力、创新能力、合作能力、英语水平等对其参赛队员进行选拔。
他们的学习成绩、专业知识、计算机水平、写作能力、创新能力、合作能力、英语水平的数据已给出。
但由于数学建模比赛规定:
每对参赛队员只能由3名同学组成,因此现要从20名同学中选出18名参赛队员,组成6个队。
现要解决如下问题:
1、如何在这20名同学中选出这18名参赛;
2、选出后又改如何将这18名参赛队员组成6个队。
二、问题分析
结合本题,考虑到是帮助学校选出新的一届全国大学生数学建模竞赛参赛队员,并且每队只能有3名队员,而总共有20个人员报名,分成6组。
我们把问题分成两个小问题,问题一是为了该学校从20名中选出18名参赛队员,所以我们把该问题归结为一个综合评价性的问题。
因此我们将用灰色关联分析对其综合评价,通过用matlab编程分别得到20名学生的综合水平值,最后选出符合要求的18名参赛队员。
通过问题一,选出了18名队员后,而问题二是要求我们对选出的18名参赛队员组成6个队,每个队3人。
因此我们将影响数学建模的因素分为:
建模、编程、写论文三大类,然后将用层次分析法算出各因素的在数学建模中所占权重。
再计算出18名队员分别在建模、编程、写论文中所占的水平值。
最后通过matlab编程,将实力相当的分为一组,最后的出6个组。
三、基本假设
1、参照数列的各元素为10,且各项指标的数值越接近10越好;
2、假设各项指标之间相互独立互不影响;
3、假设每个队员都能正常发挥如表中的水平;
4、假设每个队员在参赛以前接受相同的培训,相同的外部环境,在参赛过程中不考虑随机因素。
四、符号说明
准则层一的第
个因素的一致性指标
准侧层一的第
个因素的随机一致性指标
准则层一的第
个因素的一致性比率
准则层二第
个因素对准则层一
的重要性
的权向量
学生
的指标
的得分
数列
对参考数列
在
时刻的关联系数
对参考数列
的关联度
准则层二
对准则层一
成对比较的值
的最大特征根
分辨系数
个人的平均实力
个队员的总体平均实力
最小标准差之和
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1模型的建立
通过初步对题目的分析,在合理假设的基础上,对于问题一,我们先用灰色关联度分析法对20位学生进行综合评价,通过综合水平好坏,从20人中剔除2位综合水平相对较差的,因此设其评价指标为
。
首先为数学建模的选拔的七个指标设定了参考数列:
(1.1)
我们用公式
进行数据处理,然后通过公式计算出两级最小差
和两级最大差
:
(1.2)
通过两级最大差和两级最小差,写出比较数列
对参考数列
在
时刻的关联系数
:
(1.3)
由于每个时刻都有一个关联系数,所以第四步求的关联系数显得过于分散,不便于比较,于是我们根据以下公式定义
对参考数列
的关联度:
(1.4)
因为按该学校的选拔要求,我们需要从20个人中选出18个人,在不考虑指标权重的情况下,只对每个人的综合指标进行排序,然后剔除最后两名。
5.1.2模型的求解
我们用灰色关联度对问题一简化分析,通过matlab编程对其模型进行求解。
(求解过程见附录一)首先通过编程求出两级最大差和最小差,再通过两级最大差和最小差求出关联系数(其中令
)如下表所示:
表一 关联系数表
关联系数
编号
1
0.64286
1
0.5625
0.5
0.64286
0.75
0.375
2
0.81818
0.5625
0.5
0.75
0.52941
0.5625
0.75
3
0.6
0.5
0.9
0.45
0.52941
0.64286
0.5625
4
0.64286
0.6
0.6
0.75
0.45
0.5625
0.64286
5
0.9
0.81818
0.64286
0.6
0.75
0.75
0.45
6
0.69231
0.5625
0.45
0.52941
0.52941
0.64286
0.64286
7
0.5625
0.5625
0.69231
0.64286
0.6
0.5
0.5625
8
0.47368
0.5
0.5625
0.47368
0.5625
0.5
0.45
9
0.9
0.75
0.45
0.81818
0.64286
0.6
0.69231
10
0.64286
0.69231
0.64286
0.6
0.75
0.45
0.52941
11
0.6
0.5
0.75
0.9
0.5
0.64286
0.6
12
0.69231
0.64286
0.5625
0.75
0.6
0.64286
0.9
13
0.75
0.64286
0.375
0.69231
0.6
0.64286
0.69231
14
0.75
0.81818
0.81818
0.40909
0.64286
0.5
0.52941
15
0.5625
0.5625
0.69231
0.64286
0.5625
0.6
0.81818
16
0.52941
0.5625
0.5
0.9
0.5625
0.64286
0.6
17
0.69231
0.81818
0.5625
0.47368
0.47368
0.5625
0.64286
18
0.5625
0.6
0.75
0.5
0.69231
0.5625
0.52941
19
0.69231
0.64286
0.5625
0.81818
0.47368
0.375
0.69231
20
0.75
0.64286
0.52941
0.64286
0.40909
0.5625
0.6
最后通过关联系数,编程求出20人中每个人各指标的平均关联系数即关联度
,如表二所示:
表二每个人的各指标的关联度表
0.639
0.638
0.598
0.606
0.701
0.578
0.589
0.503
0.693
0.615
0.641
0.684
0.629
0.638
0.634
0.613
0.603
0.599
0.608
0.591
因为我们的参照数列各元素为10,且各项指标值越接近10越好。
而我们得出的是20名同学的综合水平因此我们通过matlab编程(程序见附录一)的出的20人中每个人的各项指标的关联度也越大越好。
所以根据表二中每个人各项指标值的大小,我们可以从中得到
、
的值相对于其他18个数值是较小的,因此我们将学号为6和8的两名同学从中剔除,从而选出18名符合条件的参赛队员。
5.2问题二的模型建立与求解
通过在问题一得基础上更进一步分析,我们只需要得到影响数学建模因素的权重,所以我们决定用层次分析法解出问题二的权重。
首先,我们把选择人员作为目标层,再把影响数学建模的因素先分为三大类:
建模、编程、写论文,建立准则层一;然后再把影响准则层一的各因素(学习成绩、专业知识、计算机水平、写作能力、创新能力、合作能力、英语水平)作为准则层二。
最后得出如下图(图一)的选择人员的层次结构图:
图一、人员选择的层次结构图
对同一层次的各个元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造成对比较阵。
在构造两两比较判断矩阵的过程中,按1~9比例标度对重要性程度进行赋值。
下表三给出1~9标度的含义:
表三 判断矩阵元素
的标度方法表
标度
含义
1
表示两个因素相比,具有同样重要性
3
表示两个因素相比,一个因数比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比,一个因数比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比,一个因数比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比,一个因数比另一个因素极端重要
2,4,6,8
上述两相邻判断的中值
倒数
因素
与
比较的判断
,则因素
与
比较的判断
根据上述给出的标度含义表以及准则层结构图,于是我们分别用准则层二
建立对准则层一
的成对比较阵
,我们通过表1比较各准则层
对目标层
的重要性,即:
(2.1)
对于任何一个准则,几个被比较元素通过两两比较就可以得到一个成对比较阵
:
(2.2)
其中
表示
对
对
的影响之比
表四准则层二对准则层一编程的成对比较阵
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C1
1
3/6
3/7
3
3/4
3
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