学年数学高考一轮复习训练高考大题专项练3 高考中的数列.docx
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学年数学高考一轮复习训练高考大题专项练3高考中的数列
高考大题专项练三 高考中的数列
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设
是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,Sn+1=3Sn+3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
求数列{bn}的前n项和Tn.
3.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+.
(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设双曲线x2-
=1的离心率为en,且e2=2,求
+…+
.
4.已知数列{an}的首项a1=
an+1=
(n∈N+).
(1)求证:
数列
是等比数列;
(2)求数列
的前n项和Sn.
5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:
an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明:
等差数列{an}是“P(3)数列”;
(2)若数列{an}既是“P
(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{an}是等差数列.
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.
(1)求an;
(2)设bn=
数列{bn}的前n项和为Tn,求证:
Tn>
(n∈N+).
7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=
(n≥2).
(1)求证:
{
}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记数列
的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,不等式4Tn 8.(2017山东潍坊一模)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令cn= 求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案 高考大题专项练三 高考中的数列 1.解 (1)依题意得, 解得 故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1. (2)由题意可知 =3n-1,则bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1. 故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,① 3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,② ①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n =3+2· -(2n+1)3n=-2n·3n, 因此,Tn=n·3n. 2.解 (1)(方法一)∵Sn+1=3Sn+3,∴Sn+1+ =3 . ∴Sn+ 3n-1= ×3n-1= . ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1= =3n,a1也适合.∴an=3n. (方法二)由Sn+1=3Sn+3(n∈N+), 可知当n≥2时,Sn=3Sn-1+3, 两式相减,得an+1=3an(n≥2). 又a1=3,代入Sn+1=3Sn+3得a2=9,故an=3n. (2)∵bn= ∴Tn= ① ∴ Tn= ② 由①-②,得 Tn= 解得Tn= . 3.解 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n≥1都成立. 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3. 所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1. (2)由 (1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2- =1的离心率en= . 由e2= =2,解得q= . 所以 +…+ =(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)] =n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+ =n+ (3n-1). 4. (1)证明∵an+1= ∴ . ∴ -1= .又a1= ∴ -1= . ∴数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列. (2)解由 (1)知 -1= 则 +1.故 +n. 设Tn= +…+ ① 则 Tn= +…+ ② 由①-②得 Tn= +…+ =1- ∴Tn=2- . 又1+2+3+…+n= ∴数列 的前n项和Sn=2- . 5.证明 (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d, 从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差数列{an}是“P(3)数列”. (2)数列{an}既是“P (2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'. 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d', 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d', 所以数列{an}是等差数列. 6. (1)解设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 解得 故an=a1+(n-1)d=2n+1. (2)证明∵a1=3,d=2,∴Sn=na1+ d=n(n+2). ∴bn= . ∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn = 故Tn> . 7.解 (1)因为an= 所以Sn-Sn-1= 即 =1,所以数列{ }是首项为 =1,公差为1的等差数列,得 =n,所以an= =n+(n-1)=2n-1(n≥2), 当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1. (2)因为 所以Tn= +…+ . 所以Tn< .要使不等式4Tn 故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 8.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q>0, 且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7. ∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴an=-1-2(n-1)=1-2n,bn=2n. (2)cn= ①当n=2k(k∈N+)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k+ +…+ 令Ak= +…+ ∴ Ak= +…+ ∴ Ak= +4 +…+ +4× 可得Ak= . ∴Tn=T2k=2k+ . ②当n=2k-1(k∈N+)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k-2+a2k-1=2(k-1)+ +2=2k+ . ∴Tn= k∈N+.
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