中考数学全等三角形复习六包括命题.docx

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中考数学全等三角形复习六包括命题

中考数学全等三角形复习六（包括命题）

31.（2014•湖北宜昌,第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．

（1）求∠CAD的度数；

（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：

DA=DE．

考点：

全等三角形的判定与性质

分析：

（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答；

（2）通过证△ACD≌△ECD来推知DA=DE．

解答：

（1）解：

如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=

∠CAB=30°，即∠CAD=30°；

（2）证明：

∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，

∴∠ECD=90°，

∴∠ACD=∠ECD．

在△ACD与△ECD中，

，

∴△ACD≌△ECD（SAS），

∴DA=DE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

32.（2014•湖南衡阳,第23题6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

求证：

△BED≌△CFD．

考点：

全等三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．

解答：

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS）．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

33.（2014年广西南宁，第23题8分）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．

（1）求证：

△ADE≌△CFE；

（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．.

分析：

（1）由平行线的性质可得：

∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：

△ADE≌△CFE；

（2）由AB∥FC，可证明△GBD∽△FCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．

解答：

（1）证明：

∵AB∥FC，

∴∠A=∠FCE，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS）；

（2）解：

∵AB∥FC，

∴△GBD∽△FCF，

∴GB：

GC=BD：

CF，

∵GB=2，BC=4，BD=1，

∴2：

6=1：

CF，

∴CF=3，

∵AD=CF，

∴AB=AD+BD=4．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．

34．（2014•莱芜，第21题9分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．

（1）求证：

BE=CD；

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

考点：

全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．

分析：

（1）根据旋转可得∠BAE=∠CAD，从而SAS证明△ACD≌△ABE，得出答案BE=CD；

（2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，从而得出∠EBF=∠EFB，则EB=EF，证明得出四边形BDFE为菱形．

解答：

证明：

（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，

∴AB=AC，

∴∠BAE=∠CAD，

在△ACD和△ABE中，

，

∴△ACD≌△ABE（SAS），

∴BE=CD；

（2）∵AD⊥BC，

∴BD=CD，

∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，

∴∠BAE=∠BAD，

在△ABD和△ABE中，

，

∴△ABD≌△ABE（SAS），

∴∠EBF=∠DBF，

∵EF∥BC，

∴∠DBF=∠EFB，

∴∠EBF=∠EFB，

∴EB=EF，

∴BD=BE=EF=FD，

∴四边形BDFE为菱形．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质．

35.（2014•青岛，第21题8分）已知：

如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：

△AOD≌△EOC；

（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=　45　°时，四边形ACED是正方形？

请说明理由．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．

分析：

（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．

∵O是CD的中点，

∴OC=OD，

在△ADO和△ECO中，

，

∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．

∵△AOD≌△EOC，

∴OA=OE．

又∵OC=OD，

∴四边形ACED是平行四边形．

∵∠B=∠AEB=45°，

∴AB=AE，∠BAE=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠COE=∠BAE=90°．

∴▱ACED是菱形．

∵AB=AE，AB=CD，

∴AE=CD．

∴菱形ACED是正方形．

故答案为：

45．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．

36．（2014•湖北黄冈,第18题6分）已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：

DE=DF．

第1题图

考点：

全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

专题：

证明题．

分析：

连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．

解答：

证明：

连接AD，

在△ACD和△ABD中，

，

∴△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE=DF．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

37.（2014•湖北荆门,第19题9分）如图①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE（不必证明）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）后，连结BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？

请说明理由．

第2题图

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．

分析：

根据旋转角求出∠FAD=∠EAB，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF．

解答：

解：

DF=BE还成立；

理由：

∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α，

∴∠FAD=∠EAB，

在△ADF与△ABE中

∴△ADF≌△ABE（SAS）

∴DF=BE．

点评：

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．

38．（2014•陕西,第19题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．

求证：

AB=BF．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，则AB=BF．

解答：

证明：

∵EF⊥AC，

∴∠F+∠C=90°，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠F，

在△FBD和△ABC中，

，

∴△FBD≌△ABC（AAS），

∴AB=BF．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．

39．（2014•四川广安,第19题6分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：

∠PDC=∠PEC．

考点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：

证明题．

分析：

根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．

解答：

证明：

在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，

在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS），

∴∠PDC=∠PBC，

∵PB=PE，

∴∠PBC=∠PEC，

∴∠PDC=∠PEC．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．

40．（2014•浙江绍兴,第23题6分）

（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：

EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

考点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：

证明题．

分析：

（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根据全等三角形的性质求出即可；

（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．

解答：

（1）证明：

在正方形ABCD中，

∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∴∠EAG=90°，

在△FAE和△GAF中，

，

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG

（2）解：

如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．xkb1.com

在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．xkb1

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．

∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32，

∴MN=

点评：

本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．