全国卷Ⅲ高考理科数学试题与答案.docx
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全国卷Ⅲ高考理科数学试题与答案
2017年全国卷Ⅲ高考理科数学试题与答案
(考试时间:
120分钟试卷满分:
150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=
,B=
,则A
B中元素的个数为
A.3B.2C.1D.0
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=
A.
B.
C.
D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.(
+
)(2
-
)5的展开式中
3
3的系数为
A.-80B.-40C.40D.80
5.已知双曲线C:
(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
且与椭圆
有公共焦点,则C的方程为
A.
B.
C.
D.
6.设函数f(x)=cos(x+
),则下列结论错误的是
A.f(x)的一个周期为−2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=
对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在(
π)单调递减
7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,
则输入的正整数N的最小值为
A.5B.4
C.3D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A.
B.
C.
D.
9.等差数列
的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则
前6项的和为
A.-24B.-3C.3D.8
10.已知椭圆C:
,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线
相切,则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
有唯一零点,则a=
A.
B.
C.
D.1
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
=
+
,则
+
的最大值为
A.3B.2
C.
D.2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若
,
满足约束条件
,则
的最小值为__________.
14.设等比数列
满足a1+a2=–1,a1–a3=–3,则a4=___________.
15.设函数
则满足
的x的取值范围是_________。
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所称角的最小值为45°;
④直线AB与a所称角的最小值为60°;
其中正确的是________。
(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+
cosA=0,a=2
b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD
AC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线C:
y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数
=x﹣1﹣alnx.
(1)若
,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,
﹤m,求m的最小值.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4
4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
(t为参数),直线l2的参数方程为
.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:
ρ(cosθ+sinθ)-
=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
23.[选修4
5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空,求m的取值范围.
参考答案:
一、选择题:
1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A
11.C12.A
11、【解析】由条件,
,得:
∴
,即
为
的对称轴,
由题意,
有唯一零点,
∴
的零点只能为
,
即
,
解得
.
12、【解析】由题意,画出右图.
设
与
切于点
,连接
.
以
为原点,
为
轴正半轴,
为
轴正半轴建立直角坐标系,
则
点坐标为
.
∵
,
.
∴
.
∵
切
于点
.
∴
⊥
.
∴
是
中斜边
上的高.
即
的半径为
.
∵
在
上.
∴
点的轨迹方程为
.
设
点坐标
,可以设出
点坐标满足的参数方程如下:
而
,
,
.
∵
∴
,
.
两式相加得:
(其中
,
)
当且仅当
,
时,
取得最大值3.
二、填空题:
13.
14.
15.
16.②③
16、【解析】由题意知,
三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1,
故
,
,
斜边
以直线
为旋转轴旋转,则
点保持
不变,
点的运动轨迹是以
为圆心,1为半径的圆.
以
为坐标原点,以
为
轴正方向,
为
轴正方向,
为
轴正方向建立空间直角坐标系.
则
,
,
直线
的方向单位向量
,
.
点起始坐标为
,
直线
的方向单位向量
,
.
设
点在运动过程中的坐标
,
其中
为
与
的夹角,
.
那么
在运动过程中的向量
,
.
设
与
所成夹角为
,
则
.
故
,所以③正确,④错误.
设
与
所成夹角为
,
.
当
与
夹角为
时,即
,
.
∵
,
∴
.
∴
.
∵
.
∴
,此时
与
夹角为
.
∴②正确,①错误.
三、解答题:
17.
(1)由
得
,
即
,又
,
∴
,得
.
由余弦定理
.
又∵
代入并整理得
,故
.
(2)∵
,
由余弦定理
.
∵
,即
为直角三角形,
则
,得
.
由勾股定理
.
又
,则
,
.
18.⑴易知需求量
可取
.
则分布列为:
⑵①当
时:
,此时
,当
时取到.
②当
时:
此时
,当
时取到.
③当
时,
此时
.
④当
时,易知
一定小于③的情况.
综上所述:
当
时,
取到最大值为
.
19.
⑴取
中点为
,连接
,
;
为等边三角形
∴
∴
.
∴
即
为等腰直角三角形,
为直角又
为底边
中点
∴
令
,则
易得:
,
∴
由勾股定理的逆定理可得
即
又∵
由面面垂直的判定定理
可得
⑵由题意可知
即
到平面
的距离相等
即
为
中点
以
为原点,
为
轴正方向,
为
轴正方向,
为
轴正方向,设
,
建立空间直角坐标系,
则
,
,
,
,
易得:
,
,
设平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,
则
,解得
,解得
若二面角
为
,易知
为锐角,
则
20.⑴显然,当直线斜率为
时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
设
,
,
,
联立:
得
,
恒大于
,
,
.
∴
,即
在圆
上.
⑵若圆
过点
,则
化简得
解得
或
①当
时,
圆心为
,
,
,
半径
则圆
②当
时,
圆心为
,
,
,
半径
则圆
21.⑴
,
则
,且
当
时,
,
在
上单调增,所以
时,
,不满足题意;
当
时,
当
时,
,则
在
上单调递减;
当
时,
,则
在
上单调递增.
①若
,
在
上单调递增∴当
时
矛盾
②若
,
在
上单调递减∴当
时
矛盾
③若
,
在
上单调递减,在
上单调递增∴
满足题意
综上所述
.
⑵当
时
即
则有
当且仅当
时等号成立
∴
,
一方面:
,
即
.
另一方面:
当
时,
∵
,
,
∴
的最小值为
.
22.⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
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